第4章 二次函数 单元测试（含答案）湘教版（2024）数学九年级上册

湘教版（2024）九年级上第4章二次函数单元测试一．选择题（共12小题）1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．yB．x2-y+2=0C．y=2x+1D．y2=x2-12．抛物线y=2（x-2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（-2，1）C．（1，2）D．（1，-2）3．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（-1，0），点B（3，0），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是（）A．x1=-1，x2=3B．x1=1，x2=-3C．x=1D．x=-34．已知二次函数y=x2+mx+n（m,n是常数）的图象与x轴的交点横坐标为1和t,若2＜t＜4，则m的取值范围是（）A．-3＜m＜0B．-5＜m＜-3C．3＜m＜5D．-5＜m＜35．下列函数：①y=x2；②y=x2+1；③y=（x+1）（x-1）；④y=1x2；⑤y=x2+4；⑥y=x2+2a2+A．3个B．4个C．5个D．6个6．抛物线y=ax2+c的顶点坐标是（0，2），且形状及开口方向与抛物线y=-12x2相同，则a,cA．-12，B．-12，C．12，D．12，7．在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+3的图象大致是（）A．B．C．D．8．（2026•香坊区校级开学）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对称轴是直线x=-1，下列结论正确的是（）A．b2-4ac＜0B．a+b+c＞0C．abc＜0D．b=2a9．某抛物线与抛物线y=12x2A．yB．yC．yD．y10．如图，二次函数y=ax2-4ax+3（a＜0）的图象所在坐标系的原点可能是（）A．点O1B．点O2C．点O3D．点O411．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y=mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（-3，-1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx-mx≤0的解集是（）A．x≤-3或x≥0B．x≤-1或x≥0C．-3≤x≤0D．-1≤x≤012．设函数y1=−（x−a1）2，y2=−（x−a2）2，直线x=1的图象与函数A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1二．填空题（共5小题）13．（2026•香坊区校级开学）二次函数y=-2（x-1）2+3的顶点坐标是______．14．抛物线y=（x+2m）2-1，当x＜4时，y随x增大而减小，则m的取值范围是______．15．将函数y=3x2的图象向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______．16．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=2，若该抛物线与x轴的一个交点为（5，0），则由图象可知，方程ax2+bx+c=0的解是______．17．如图，直线y1=mx+n与抛物线y2=ax2+bx+c相交于点A（3，0），B（-2，5）．下面四个结论：

①m＜0；

②当-2＜x＜3时，ax2+bx+c＜mx+n；

③方程ax2+bx+c=0的解为x1=-2，x2=3；

④当x三．解答题（共5小题）18．（2026秋•同步）写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

（1）y=−12（x−5）2；

（2）y=3（19．实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小哲在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m,实心球运动至最高点时距地面3.4m,距出手点的水平距离为4m.设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m），实心球距出手点的水平距离为x（m）．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．

（1）求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式．

（2）若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到12.4m为满分，请判断小哲第一次投掷实心球能否得满分．20．抛物线的图象经过点A（-1，0），点B（0，3），点C（3，0）．

（1）求抛物线的表达式．

（2）点D（0，d）在y轴上，过点D作x轴的平行线，与抛物线相交于P，Q两点（P在Q左侧），若点D为线段PQ的三等分点，求d的值．

（3）若点M（m,y1）和点N（m+1，y2）均为图象上的点，且0＜y2＜y1，请直接写出m的取值范围．21．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-2，0），B（6，0），与y轴交于点C，直线y=kx+3过点B和点C．点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m,过点P作PQ⊥BC于点Q，连接PC．

（1）求a,b,k的值；

（2）求PQ的最大值；

（3）当m≤x≤3时，y的取值范围是t1≤y≤t2，且t1+t22．如图1，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A（-4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P是直线AC下方抛物线上的点．

（1）求a+b的值；

（2）连接AP，CP，BC，过点P作PF⊥x轴于点F，交AC于点E，若S△PAC=45S△ABC，求点P的坐标；

（3）如图2，点湘教版（2024）九年级上第4章二次函数单元测试

(参考答案)一．选择题（共12小题）1、B 2、A 3、A 4、B 5、C 6、A 7、C 8、D 9、C 10、B 11、C 12、C 二．填空题（共5小题）13、（1，3）； 14、m≤-2； 15、y=3x2-2； 16、x1=-1，x2=5； 17、①②④； 三．解答题（共5小题）18、解：（1）∵抛物线y=−12（x−5）2，

∴开口向下，对称轴是直线x=5，顶点坐标为（5，0）；

（2）∵抛物线y=3（x-4）2，

∴开口向上，对称轴是直线x=4，顶点坐标为（4，0）；

（3）∵19、解：（1）由题意，可知抛物线最高点的坐标为（4，3.4），

设抛物线的表达式为y=a（x-4）2+3.4，

将（0，1.8）代入y=a（x-4）2+3.4，得16a+3.4=1.8，

解得a=-0.1，

∴第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为y=-0.1（x-4）2+3.4；

（2）令-0.1（x-4）2+3.4=0，

解得x=4+34（负值已舍去），

∴实心球出手点与着陆点的水平距离为（4+34）m，

∵34＜20、解：（1）抛物线的图象经过点A（-1，0），点B（0，3），点C（3，0）．设二次函数表达式为y=ax2+bx+c,将点A，点B，点C的坐标分别代入得：

{a−b+c=0c=39a+3b+c=0，

解得：{a=−1b=2c=3，

∴二次函数表达式为y=-x2+2x+3；

（2）由（1）得y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴抛物线对称轴为直线x=1，

∵PQ∥x轴，

∴P，Q关于直线x=1对称，

设P（xP，d），Q（xQ，d），则xP+xQ=2，

∵点D为线段PQ的三等分点，且P在Q的左侧，

∴点D在P，Q之间，且xP＜0＜xQ，

若PD=13PQ，则0−xP=13（xQ−xP），即xQ=-2xP，

联立xP+xQ=2，

解得：xP=-2，

当x=-2时，d=-（-2）2+2×（-2）+3=-5，

若PD=23PQ，则0−xP=23（xQ−xP），即xP=-2xQ，

联立xP+xQ=2，

解得：xQ=-2，与xQ＞0矛盾，舍去，

∴d=-5；21、解：（1）把A（-2，0），B（6，0）代入y=ax2+bx+3得，{4a−2b+3=036a+6b+3=0，

解得{a=−14b=1，

把B（6，0）代入y=kx+3得，6k+3=0，

解得k=−12，

∴a=−14，b=1，k=−12．

（2）过点P作PD⊥AB交AB于D，交CB于点H，

∵点P的横坐标为m,

∴P（m,−14m2+m+3），H（m,−12m+3），

∴PH=（−14m2+m+3）−（−12m+3）=−14m2+32m=−14（m−3）2+94．

∴当m=3时，PH有最大值为94．

∵PQ⊥BC，

∴∠PQH=90°=∠BOC，

∴∠QPH+∠PHQ=90°，

∵PD⊥AB，

∴∠PDB=90°，

∴∠ABC+∠BHD=90°，

∵∠PHQ=∠BHD，

∴∠QPH=∠ABC，

∴△PQH∽△BOC，

∴PQBO=PHBC，

∵抛物线y=−14x2+x+3与y轴交于点C，

当x=0时，y=3，

∴C（0，3），

∴OC=3，

∵B（6，0），

∴OB=6，

∴BC=OB2+OC2=62+32=35，

22、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A（-4，0），B（1，0），

∴{16a−4b−3=0a+b−3=0，

解得{a=34b=94，

∴a+b=34+94=3；

（2）由（1）得抛物线