2026年江苏省苏教版高二数学选修四第四章同步练习题

2026年江苏省苏教版高二数学选修四第四章同步练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在苏教版高二数学选修四第四章中，若函数f(x)=sin(x+π/3)的图像经过点(π/6,a)，则a的值为（）A.1/2B.√3/2C.-1/2D.-√3/2解析：由f(π/6)=sin(π/6+π/3)=sin(π/2)=1，得a=1，故选A。2.设集合A={x|x²-3x+2>0}，B={x||x-1|<2}，则A∩B等于（）A.(-∞,1)∪(2,+∞)B.(0,2)C.[1,2]D.(-1,3)解析：A={x|x<1或x>2}，B={x|-1<x<3}，故A∩B=(-1,1)∪(2,3)，选项D正确。3.在等差数列{aₙ}中，若a₅+a₇=24，a₄•a₈=64，则该数列的公差d等于（）A.2B.4C.-2D.-4解析：由a₅+a₇=2a₆=24，得a₆=12；由a₄•a₈=(a₆-2d)(a₆+2d)=64，解得d=±2，故选A。4.已知向量a=(3,-1)，b=(-2,k)，若a⊥b，则实数k的值为（）A.2/3B.-3/2C.3/2D.-2/3解析：由3×(-2)+(-1)k=0，得k=-6/(-1)=6，选项无正确答案，需修正题目。5.在苏教版选修四第四章中，函数y=log₃(x²-2x+3)的定义域为（）A.RB.(-∞,1)∪(1,+∞)C.[1,3]D.(-1,3)解析：x²-2x+3>0恒成立，故定义域为R，选A。6.若复数z=1+i满足z²+az+b=0（a,b∈R），则a+b的值为（）A.-1B.1C.2D.-2解析：z²=-2i，代入得-2i+ai+b=0，得a=2,b=2，故a+b=4，需修正题目。7.在苏教版选修四第四章中，若圆(x-1)²+(y+2)²=5与直线y=kx+1相切，则k的值为（）A.±√15/5B.±2√5C.±√10/5D.±3√5/5解析：圆心(1,-2)到直线kx-y+1=0的距离d=√5，得|k×1-(-2)+1|/√(k²+1)=√5，解得k=±√15/5，故选A。8.已知函数f(x)=x³-3x+1，则f(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为（）A.3,-5B.3,-7C.5,-5D.5,-7解析：f'(x)=3x²-3，驻点x=±1，f(-2)=-5,f(-1)=2,f(1)=-1,f(2)=3，故最大值3，最小值-5，选A。9.在苏教版选修四第四章中，若三角形ABC的三边长分别为5,7,8，则其面积等于（）A.15√3B.20√3C.25√3D.30√3解析：半周长s=(5+7+8)/2=10，面积S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]=√[10×(10-5)×(10-7)×(10-8)]=√[10×5×3×2]=10√3，需修正题目。10.已知f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为（）A.1B.3C.2D.4解析：分段函数f(x)={-2x-1,x<-2;3,-2≤x≤1;2x+1,x>1}，最小值3，选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像周期为π/2，且过点(0,1)，则φ的值为______。解：ω=4，φ=π/2+2kπ，故填π/2。2.已知集合A={x|x²-x-6>0}，B={x|ax=1}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是______。解：A=(-∞,-2)∪(3,+∞)，若A∪B=R，需B⊆A，故a=1/3或a=-1/2，填{1/3,-1/2}。3.在等比数列{aₙ}中，若a₃•a₇=64，则a₅的值为______。解：a₅²=a₃•a₇=64，故a₅=±8，填±8。4.已知向量a=(1,2)，b=(k,1)，若|a+b|=√5，则实数k的值为______。解：a+b=(1+k,3)，|a+b|=√[(1+k)²+9]=√5，解得k=0或k=-2，填0或-2。5.函数y=√(x²-4x+3)的定义域为______。解：x²-4x+3≥0，解得x≤1或x≥3，填(-∞,1]∪[3,+∞)。6.若复数z=2+i满足z²+az+b=0（a,b∈R），则|a|+|b|的值为______。解：z²=-3-4i，-3-4i+az+b=0，得a=-4,b=-3，故|a|+|b|=7，填7。7.圆(x-2)²+(y-1)²=4与直线3x-4y+m=0相切，则实数m的值为______。解：圆心(2,1)到直线距离d=2，得|3×2-4×1+m|/√(3²+4²)=2，解得m=±10，填±10。8.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值为______，最小值为______。解：f'(-1)=9,f'(0)=0,f'(2)=-4，f(-1)=0,f(0)=2,f(2)=-2,f(3)=2，故最大值2，最小值-2，填2,-2。9.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b的值为______。解：由正弦定理a/sinA=b/sinB，得b=a•sinB/sinA=√3×√2/2÷√3/2=√2，填√2。10.已知f(x)=|x-1|+|x+1|，则f(x)在区间[-2,2]上的值域为______。解：f(x)在[-2,-1]上递减，值为4；[-1,1]上恒为2；[1,2]上递增，值为4，值域[2,4]，填[2,4]。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x²+px+q在x=1处取得极值，则p²-4q=1。（×）解：极值点处导数为0，得p=-2，但p²-4q=-4+4q≠1，故错误。2.集合A={x|x²-1>0}与集合B={x|x²+x-2>0}相等。（√）解：A=(-∞,-1)∪(1,+∞)，B=(-∞,-2)∪(1,+∞)，故A=B，正确。3.在等差数列{aₙ}中，若a₁+a₅=10，则a₃=5。（√）解：a₁+a₅=2a₃=10，故a₃=5，正确。4.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁•z₂=2。（√）解：z₁•z₂=1²+1²=2，正确。5.圆(x-1)²+(y-2)²=1与直线x+y=0相切。（√）解：圆心(1,2)到直线距离d=√2=半径，正确。6.函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上单调递增。（×）解：f'(-1)=-6<0，存在减区间，故错误。7.若向量a=(1,2)，b=(3,4)，则a•b=11。（√）解：a•b=1×3+2×4=11，正确。8.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，边a=1，则边b=√3。（√）解：由正弦定理a/sinA=b/sinB，得b=a•sinB/sinA=1×√3/2÷1/2=√3，正确。9.函数f(x)=|x-1|+|x+1|在R上为增函数。（√）解：分段函数在每段上单调，整体为增函数，正确。10.若复数z=a+bi（a,b∈R）满足z²=a²-b²+2abi，则a=0。（×）解：z²=(a+bi)²=a²-b²+2abi，得a²=-b²，故a=0或a²+b²=0，需修正题目。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图像经过点(π/4,0)，且在x=π/6时取得最大值，求φ的值。解：由f(π/4)=sin(π/2+φ)=0，得φ=kπ-π/2；由f(π/6)=sin(π/3+φ)=1，得π/3+φ=2kπ+π/2，解得φ=2kπ+π/6，故φ=π/6。2.在等比数列{aₙ}中，若a₂•a₈=64，且公比q>1，求该数列的前5项和S₅。解：a₂•a₈=a₅²=64，得a₅=±8，因q>1，故a₅=8；由a₅=a₁q⁴，得a₁=8/q⁴，S₅=a₁(1-q⁵)/(1-q)=8(1-q⁵)/(1-q)。3.已知向量a=(3,-1)，b=(1,k)，若a//b，求实数k的值。解：a//b，得3k=-1，故k=-1/3。4.求函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值与最小值。解：f'(-1)=9,f'(0)=0,f'(2)=-4，f(-1)=0,f(0)=2,f(2)=-2,f(3)=2，故最大值2，最小值-2。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，(1)求f(x)的最小值；(2)解不等式f(x)<5。解：(1)分段函数f(x)={-2x-1,x<-2;3,-2≤x≤1;2x+1,x>1}，最小值为3。(2)由分段解得：当x<-2时，-2x-1<5⇒x>-3；当-2≤x≤1时，3<5恒成立；当x>1时，2x+1<5⇒x<2，综上，解集为(-3,2)。2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b和边c的长度。解：由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，得b=a•sinB/sinA=√3×√2/2÷√3/2=√2；由C=180°-60°-45°=75°，得c=a•sinC/sinA=√3×sin75°/√3/2=2sin75°=2×(√6+√2)/4=√6/2+√2/2。3.已知复数z₁=2+i，z₂=1-i，求复数z=z₁/z₂的模长和辐角主值。解：z=(2+i)/(1-i)=3/2+1/2i，模长|z|=√[(3/2)²+(1/2)²]=√10/2；辐角主值arg(z)=arctan[(1/2)/(3/2])=arctan(1/3)。4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像经过点(π/4,1)，且周期为π/2，(1)求f(x)的解析式；(2)解方程f(x)=0在[0,2π]上的解集。解：(1)ω=4，f(π/4)=sin(π/4+φ)=1⇒π/4+φ=π/2+2kπ⇒φ=π/4+2kπ，取k=0，得f(x)=sin(4x+π/4)；(2)sin(4x+π/4)=0⇒4x+π/4=kπ⇒x=kπ/4-π/16，在[0,2π]上解集为{π/16,3π/16,5π/16,7π/16,9π/16,11π/16,13π/16,15π/16}。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.D3.A4.D5.A6.C7.A8.A9.C10.B二、填空题1.π/22.{1/3,-1/2}3.±84.0或-25.(-∞,1]∪[3,+∞)6.77.±108.2,-29.√210.[2,4]三、判断题1.×2.√3.√4.√5.√6.×7.√8.√9.√10.×四、简答题1.φ=π/6，因f(π/4)=sin(π/2+φ)=0⇒φ=kπ-π/2，f(π/6)=sin(π/3+φ)=1⇒π/3+φ=2kπ+π/2，解得φ=π/6。2.S₅=8(1-q⁵)/(1-q)，因a₂•a₈=a₅²=64，得a₅=8；a₅=a₁q⁴⇒a₁=8/q⁴。3.k=-1/3，因a//b⇒3k=-1⇒k=-1/3。4.最大值2，最小值-2，因f'(-1)=9>0,f'(0)=0,f'(2)