-学年沪科版八年级数学下册第18章-勾股定理定向测评试卷含答案详解

八年级数学下册第18章勾股定理定向测评考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1.本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3.答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。第I卷(选择题30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(）A.2.3.4 B.、、 C.5.12.13 D.30、50、602、在下列四组数中,不是勾股数的一组是()A.15,8,7 B.4,5,6 C.24,25,7 D.5,12,133、梯子的底端离建筑物6米,10米长的梯子可以到达建筑物的高度是(）A.6米 B.7米 C.8米 D.9米4、如图,已知钓鱼竿的长为,露在水面上的鱼线长为,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿转动到的位置,此时露在水面上的鱼线为,则的长为（）A. B. C. D.5.下列命题属于假命题的是()A．3,4,5是一组勾股数 B．内错角相等,两直线平行C.三角形的内角和为180° D.9的平方根是36、下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()A.3,4,5 B.2,3,5 C.0.2,0.3,0.5 D.,,7、如图,A,B两地距公路l的距离分别为AC、BD,BD＝4km,小华从A处出发到公路l上的点P处取一物品后去到B处,全程共18km,已知PC＝5km,PD＝3km,则A处距离公路l(AC)（）A.13km B.12km C.8km D.8km8、下列命题中,逆命题不正确的是()A．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0）没有实数根,那么b2﹣4ac＜0B.线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等C.全等三角形对应角相等D.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方9、为了测量学校的景观池的长AB,在BA的延长线上取一点C,使得米,在点C正上方找一点D（即）,测得,,则景观池的长AB为（）A.5米 B.6米 C.8米 D.10米10、下列事件中,属于必然事件的是()A.13人中至少有2个人生日在同月B.任意掷一枚质地均匀的硬币,落地后正面朝上C.从一副扑克牌中随机抽取一张,抽到的是红桃AD．以长度分别是3cm,4cm,6cm的线段为三角形三边,能构成一个直角三角形第Ⅱ卷(非选择题70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分）1、如图,在平面直角在坐标系中,四边形OACB的两边OA,OB分别在x轴、y轴的正半轴上,其中,且CO平分,若,,则点C的坐标为______．2.往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示,若水的最大深度为8cm,则水面AB的宽度为___cm.3.已知在△ABC中,AB＝,AC＝2,BC边上的高为,那么BC的长是_____.4.如图,点A,B在直线的同侧,点A到的距离,点B到的距离,已知,P是直线上的一个动点,记的最小值为a,的最大值为b．(1）________;（2）________.5.在一个长11cm,宽5cm的长方形纸片上,如图放置一根正三棱柱的木块,它的侧棱平行且大于纸片的宽,它的底面边长为1cm的等边三角形,一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是________cm.三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1.如图,RtABC中,∠A＝90°,AB＝8cm,AC＝6cm,P是从A点出发的动点,沿若A-B-C-A在三边上运动一周,速度为每秒2cm.设P点的运动时间为t秒.(1)当t＝6.5秒时,求出CP的长.（2）是否存在t的值,使得时间为t秒时ABP的面积,与时间为（t+2）秒时ACP的面积相等？若存在,求出t的值；若不存在,请说明理由.（3）当t＝时,ACP为等腰三角形（直接给出答案）．2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,BC是△ABC中最短的边,边AC的长度比BC长10cm,斜边AB的长度比BC长度的2倍短10cm.(1)求Rt△ABC的各条边的长.(2)求AB边上的高.(3）点D从点B出发在线段AB上以2cm/s的速度向终点A运动,设点D的运动时间为t(s）．①用含t的代数式表示线段BD的长为;②当△BCD为等腰三角形时,请求出t的值.3.一个三角形三边长分别为a,b,c.(1）当a＝3,b＝4时,①c的取值范围是________;②若这个三角形是直角三角形,则c的值是________;(2)当三边长满足时,①若两边长为3和4,则第三边的值是________;②在作图区内,尺规作图,保留作图痕迹,不写作法：已知两边长为a,c（a＜c）,求作长度为b的线段（标注出相关线段的长度）．4.如图,在△ABC中,AB＝7cm,AC＝25cm,BC＝24cm,动点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B,动点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C,P、Q两点同时出发.(1)求∠B的度数;（2）连接PQ,若运动2s时,求P、Q两点之间的距离．5.已知关于x的方程x2﹣(m+2)x+(2m﹣1)＝0.(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根.（2）若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的面积．-参考答案-一、单选题1.C【分析】先求出两小边的平方和,再求出最长边的平方,最后看看是否相等即可.【详解】解:A.22+32≠42,不能构成直角三角形,故此选项不符合题意;B.()2+()2≠()2,不能构成直角三角形,故此选项不符合题意;C、52+122=132,能构成直角三角形,故此选项符合题意;D.302+502≠602,不能构成直角三角形,故此选项不符合题意．故选：C.【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理,关键是掌握如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.2.B【分析】利用勾股数的定义(勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数),最大数的平方=最小数的平方和,直接判断即可.【详解】解:A.,故A不符合题意.B.,故B符合题意.C、,故C不符合题意.D.,故D不符合题意．故选：B.【点睛】本题主要是考查了勾股数的判别,熟练掌握勾股数的定义,是求解该题的关键.3.C【分析】根据题意画出图形,再根据勾股定理进行解答即可.【详解】解:如图所示:AB=10米,BC=6米,由勾股定理得:=8米.故选：C.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键.4.B【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB′,再根据BB′=AB-AB′即可得出答案.【详解】解:∵AC=10m,BC=6m,∠ABC=90°,∴AB=m,∵AC′=10m,B′C′=8m,∠AB′C′=90°,∴AB′=m,∴BB′=AB-AB′=2m;故选：B.【点睛】此题考查了勾股定理的应用,根据已知条件求出AB和AB′是解题的关键.5.D【分析】利用勾股数的定义、平行线的判定、三角形的内角和及平方根的定义分别判断后即可确定正确的选项.【详解】解:A.3,4,5是一组勾股数,正确,是真命题,不符合题意;B.内错角相等,两直线平行,正确,是真命题,不符合题意;C、三角形的内角和为180°,正确,是真命题,不符合题意;D.9的平方根是±3,故原命题是假命题,符合题意．故选：D.【点睛】考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解勾股数的定义、平行线的判定、三角形的内角和及平方根的定义,难度不大.6、A【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形.【详解】解:A.能组成直角三角形,故A符合题意;B.不能组成直角三角形,故B不符合题意;C.不能组成直角三角形,故C不符合题意;D.不能组成直角三角形,故D不符合题意,故选：A.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.7、B【分析】由题意根据勾股定理先求出BP,进而得出AP并根据勾股定理即可得出AC的长.【详解】解:∵,,∴,∵,∴,∵,∴.故选:B.【点睛】本题考查勾股定理的实际应用,熟练掌握勾股定理即进行分析是解题的关键.8、C【分析】分别写出各个命题的逆命题,然后判断正误即可.【详解】解:A.逆命题为:如果一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)中b2﹣4ac＜0,那么它没有实数根,正确,不符合题意;B.逆命题为:到线段距离相等的点在线段的垂直平分线上,正确,不符合题意;C.逆命题为:对应角相等的两三角形全等,错误,符合题意；D.逆命题为：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,正确,不符合题意．故选:C【点睛】本题考查了原命题、逆命题,命题的真假,一元二次方程根的判别式,线段垂直平分线,全等三角形的判定与性质,勾股定理极其逆定理等知识,综合性较强,准确写出各选项的逆命题并准确判断是解题关键.9、D【分析】利用勾股定理求出CD的长,进而求出BC的长,即可求解.【详解】解:∵,∴,∵,,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∴,故选：D.【点睛】本题考查勾股定理的应用,解题关键是掌握勾股定理.10、A【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可,必然事件和不可能事件统称确定性事件;必然事件:在一定条件下,一定会发生的事件称为必然事件;不可能事件:在一定条件下,一定不会发生的事件称为不可能事件;随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件称为随机事件.【详解】解:A.13人中至少有2个人生日在同月,是必然事件,故该选项符合题意;B.任意掷一枚质地均匀的硬币,落地后正面朝上,是随机事件,故该选项不符合题意;C.从一副扑克牌中随机抽取一张,抽到的是红桃A,是随机事件,故该选项不符合题意;D.因为,则以长度分别是3cm,4cm,6cm的线段为三角形三边,能构成一个直角三角形,是不可能事件,故该选项不符合题意；故选A【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义,熟悉定义是解题的关键.二、填空题1.【分析】取AB的中点E,连接OE,CE并延长交x轴于点F,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明CE=OE=AE,再进一步证明;由勾股定理求出AB=,AO=BO=5;过点O作OG⊥OC交CA的延长线于点G,证明△COG访问团等腰直角三角形,可可求出OC=7;过点C作CH⊥x轴,垂足为H,设C(m,n),则OH=m,CH=n,AH=5-m,根据勾股定理可得方程组,求出方程组的解,取正值即可.【详解】解:取AB的中点E,连接OE,CE并延长交x轴于点F,如图,∵,OC平分∠ACB,∴∵均为直角三角形,∴∴∴∴∵∴∴∴∴是等腰直角三角形,∴∵由勾股定理得,∴∴过点O作OE⊥OC交CA的延长线于点G,∵∠OCA=45°,∴∠G=45°,∴△COG为等腰直角三角形,∴OC=OG,∵∠BOC+∠COA=∠COA+∠AOG=90°,∴∠BOC=∠AOG,∵∠OCB=∠OEA=45°,∴△COB≌△GOA(ASA),∴BC=AG=,∵CG=AC+AG=∵△OCE为等腰直角三角形,∴OC=7过点C作CH⊥x轴于点H,设C(m,n),∴OH=m,CH=n,AH=5-m在Rt△CHO和Rt△CHA中,由勾股定理得,解得,,(负值舍去)∴C()故答案为:（）【点睛】本题主要考查了坐标玮图形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.2.24【分析】连接OA,过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D,再根据勾股定理求出AC的长,进而可得出AB的长.【详解】解:连接OA,过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D.∵OC⊥AB,∴AC＝CB,∵OA＝OD＝13cm,CD＝8cm,∴OC＝OD﹣CD＝5(cm),∴,∴AB＝2AC＝24(cm),故答案为：24.【点睛】本题主要考查垂径定理,掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键.3.4cm或2cmcm或4cm【分析】首先应分两种情况进行讨论,∠C是锐角和钝角两种情况.在直角△ABD和直角△ACD中,利用勾股定理求得BD,CD的长,当∠C是锐角时,BC＝BD+CD;当∠C是钝角时,BC＝BD﹣CD,据此即可求解.【详解】解:在直角△ABD中,在直角△ACD中,当∠C是锐角时（如图1）,D在线段BC上,BC＝BD+CD＝3+1＝4;当∠C是钝角时,D在线段BC的延长线上时（如图2）,BC＝BD﹣CD＝3﹣1＝2cm.则BC的长是4cm或2cm.故答案是：4cm或2cm.【点睛】本题主要考察了勾股定理的应用,分类讨论三角型的形状是解题的关键.4.【分析】作点A关于直线MN的对称点A,连接AB交直线MN于点P,过点A作直线AE⊥BD的延长线于点E,再根据勾股定理求出AB的长就是PA＋PB的最小值;延长AB交MN于点P,此时PA−PB＝AB,由三角形三边关系可知AB＞|PA−PB|,故当点P运动到P点时|PA−PB|最大,作BE⊥AM,由勾股定理即可求出AB的长就是|PA−PB|的最大值.进一步代入求得答案即可.【详解】解:如图,作点A关于直线MN的对称点A,连接AB交直线MN于点P,则点P即为所求点.过点A作直线AE⊥BD的延长线于点E,则线段AB的长即为PA＋PB的最小值.∵AC＝8,BD＝5,CD＝4,∴AC＝8,BE＝8＋5＝13,AE＝CD＝4,∴AB＝,即PA＋PB的最小值是a＝.如图,延长AB交MN于点P,∵PA−PB＝AB,AB＞|PA−PB|,∴当点P运动到P点时,|PA−PB|最大,∵BD＝5,CD＝4,AC＝8,过点B作BE⊥AC,则BE＝CD＝4,AE＝AC−BD＝8−5＝3,∴AB＝＝5.∴|PA−PB|＝5为最大,即b＝5,∴a2−b2＝185−25＝160.故答案为：160.【点睛】本题考查的是最短线路问题及勾股定理,熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类问题的关键.5.13【分析】将木块展开看作平面后,由两点之间线段最短知蚂蚁的最短距离为线段AC,由勾股定理计算即可.【详解】将长方形纸片与木块展开后如图所示由两点之间线段最短可知蚂蚁的最短距离为线段AC此时AB长度为11-1+2=12由勾股定理有即故答案为:13.【点睛】本题考查了图形的展开以及勾股定理,将正三棱柱的木块展开看作平面是解题的关键.三、解答题1.(1)5cm;(2)t＝5.5;(3)3或5.4或6或6.5.【分析】(1)先根据速度×时间求出点P的路程,由勾股定理求出BC的长,进而求出CP的长;(2)由等面积法求得AD的长,要是t秒时ABP的面积与时间为(t+2)秒时ACP的面积相等可以判断出点P在BC上,分别表示出ABP、ACP的面积,列出关于t的方程,解除方程即可;（3）分别讨论点P在AB、BC、上存在的所有情况即可得出结论.【详解】解:(1)∵P点速度为每秒2cm.∴运动时间为t＝6.5秒时,点P的路程为:2×6.5＝13cm.∵RtABC中,∠A＝90°,AB＝8cm,AC＝6cm,∴cm,∴AB+BC＝8+10＝18cm,∴CP＝18－13＝5cm.(2)当t＝5.5秒时,使得时间为t秒时ABP的面积,与时间为(t+2)秒时ACP的面积相等,理由如下:过点A作AD⊥BC于点D,∴,即6×8＝10AD,解得AD＝cm,使得时间为t秒时ABP的面积,与时间为（t+2）秒时ACP的面积相等,∴点P在BC上∴4≤t≤7,∴,即,,解得:t＝5.5秒（3）①当点P在AB上时,如图,要使ACP为等腰三角形,∴AC＝AP1,即2t＝6,解得:t＝3,②当点P在BC上时,当AC＝AP时,如图AC＝AP2＝6,AD＝4.8,∴DP2＝DC＝,∴AB+BP2＝AB+BC－P2C＝18－3.6－3.6＝10.8cm,∴2t＝10.8,解得:t＝5.4,当AC＝CP时,此时AC＝CP3＝6cm,∴BP3＝10－6＝4cm,∴AB+BP3＝8+4＝12cm,∴2t＝12,解得:t＝6,当PC＝PA时,过点P4作P4G⊥AC于点G,∴AB//P4G,AG＝CG,∴点P4为BC的中点,此时AB+BP4＝8+5＝13cm,即2t＝13,解得:t＝6.5,综上所述:点t＝3或5.4或6或6.5时,ACP为等腰三角形,故答案为：3或5.4或6或6.5.【点睛】本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,平行线段的性质等知识,熟练掌握等腰三角形的判定解题的关键.2、（1）AB=50cm,BC=30cm,AB=40cm,（2）AB边上的高为24cm；（3）①2t；②当△BCD为等腰三角形时,t的值为15s或18s或s．【分析】(1)设,则,,然后利用勾股定理求解即可;(2)过点C作CE⊥AB于E,然后利用面积法求解即可；(3）①根据路程=速度×时间即可得到答案;②分三种情况：当时,当时,当时,讨论求解即可．【详解】解:(1)设,则,,∵∠ACB=90°,∴,∴,解得或(舍去),∴,则,;(2）如图所示,过点C作CE⊥AB于E,∴,∴,∴AB边上的高为;(3)①由题意得:,故答案为:;②如图3-1所示,当时,∴,解得;如图3-2所示,当时,过点C作CE⊥AB于E,由(2)得,∴,∴,解得;如图3-3所示,当时,过点C作CE⊥AB于E,由(2)得,设,在直角△CEB中,∴,在直角△CDE中,,∴,解得,∴,解得;综上所述,当的值为15或18或时,△BCD为等腰三角形．【点睛】本题主要考查了勾股定理,三角形面积,等腰三角形的性质,熟知勾股定理是解题的关键.3、（1）①；②或5；（2）①2或或5；②图见解析.【分析】(1)①根据三角形的三边关系定理即可得;②分斜边长为和斜边长为两种情况,分别利用勾股定理即可得;（2）①先根据已知等式得出,再分中有一个为3,;中有一个为4,;中有一个为3,另一个为4三种情况,分别代入求解即可得;②先画出射线,再在射线上作线段,然后在射线上作线段,最后作线段的垂直平分线,交于点即可得．【详解】解:(1)①由三角形的三边关系定理得:,即,故答案为:;②当斜边长为时,,当斜边长为时,,综上,的值为或5,故答案为:或5;(2)①由得:,因此,分以下三种情况:当中有一个为3,时,不妨设,则,将代入得:,解得,符合题设,当中有一个为4,时,不妨设,则,将代入得:,解得,符合题设,当中有一个为3,另一个为4时,不妨设,则,将代入得:,解得,符合题设,综上,第三边的值是2或或5,故答案为:2或或5;②由得:,