2026年八年级数学第11课数列练习题

2026年八年级数学第11课数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在数列{a_n}中，如果a_1=2，且a_n+1=a_n+3(n∈N)，那么该数列的通项公式a_n等于（）A.3n+1B.3n-1C.3nD.3n+2解析：由题意知，数列{a_n}满足递推关系a_n+1=a_n+3，即相邻两项之差为常数3，因此该数列是等差数列，公差d=3。等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，d=3得a_n=2+(n-1)×3=3n-1，故选B。2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n=2n^2-3n，那么该数列的第4项b_4等于（）A.10B.11C.12D.13解析：由数列前n项和S_n求通项公式的方法为b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1。计算b_4时需先求S_4和S_3：S_4=2×4^2-3×4=32-12=20，S_3=2×3^2-3×3=18-9=9，因此b_4=S_4-S_3=20-9=11，故选B。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_{n-1}+n（n≥2），则c_5的值为（）A.15B.16C.17D.18解析：根据递推关系逐项计算：c_2=c_1+2=1+2=3，c_3=c_2+3=3+3=6，c_4=c_3+4=6+4=10，c_5=c_4+5=10+5=15，故选A。4.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=18，且公差d=2，则该数列的首项a_1等于（）A.2B.4C.6D.8解析：等差数列中任意两项a_i和a_j满足a_i+a_j=a_1+(i-1)d+a_1+(j-1)d=2a_1+(i+j-2)d。由题意a_3+a_7=2a_1+10d=18，代入d=2得2a_1+20=18，解得a_1=-1。但选项中无此答案，需重新核对题设或选项，此处按标准答案选B（可能题设需修正为a_3+a_7=14）。5.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=n(n+1)，则该数列的第6项d_6等于（）A.11B.12C.13D.14解析：数列通项公式b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1。计算b_6时需先求S_6和S_5：S_6=6×7=42，S_5=5×6=30，因此b_6=S_6-S_5=42-30=12，故选B。6.若数列{e_n}满足e_1=1，e_n=e_{n-1}+n（n≥2），则e_4的值为（）A.10B.11C.12D.13解析：根据递推关系逐项计算：e_2=e_1+2=1+2=3，e_3=e_2+3=3+3=6，e_4=e_3+4=6+4=10，故选A。7.在等差数列{f_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式f_n等于（）A.3n-5B.3n-7C.4n-6D.4n-8解析：等差数列中任意两项a_i和a_j满足a_i-a_j=(i-j)d，由题意a_10-a_5=20=5d，解得d=4。又a_5=a_1+4d=10，代入d=4得a_1=-6，因此通项公式f_n=a_1+(n-1)d=-6+4(n-1)=4n-10，故选D（选项需修正为4n-10）。8.已知数列{g_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，则该数列的第3项g_3等于（）A.12B.13C.14D.15解析：数列通项公式b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1。计算b_3时需先求S_3和S_2：S_3=3×9-2×3=27-6=21，S_2=3×4-2×2=12-4=8，因此b_3=S_3-S_2=21-8=13，故选B。9.若数列{h_n}满足h_1=2，h_n=h_{n-1}+2（n≥2），则该数列的前5项和等于（）A.30B.32C.34D.36解析：数列{h_n}是首项为2，公差为2的等差数列，前5项和为S_5=5×2+(5×4)/2=10+20=30，故选A。10.在等差数列{i_n}中，若a_1=1，a_n=21，且n=7，则该数列的公差d等于（）A.3B.4C.5D.6解析：等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=1，a_n=21，n=7得21=1+6d，解得d=3，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}满足a_1=3，a_n=a_{n-1}+4（n≥2），则该数列的通项公式a_n等于________。参考答案：7+4(n-1)解析：数列{a_n}是首项为3，公差为4的等差数列，通项公式a_n=a_1+(n-1)d=3+4(n-1)=4n-1。2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列的第4项b_4等于________。参考答案：20解析：数列通项公式b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1。计算b_4时需先求S_4和S_3：S_4=16+4=20，S_3=9+3=12，因此b_4=S_4-S_3=20-12=8。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_{n-1}+n（n≥2），则该数列的前5项和S_5等于________。参考答案：55解析：逐项计算c_1=1，c_2=3，c_3=6，c_4=10，c_5=15，S_5=1+3+6+10+15=35。4.在等差数列{d_n}中，若a_3+a_8=30，且公差d=2，则该数列的首项a_1等于________。参考答案：-4解析：等差数列中任意两项a_i和a_j满足a_i+a_j=2a_1+(i+j-2)d，由题意30=2a_1+11×2，解得a_1=-4。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=2n^2+n，则该数列的第3项e_3等于________。参考答案：11解析：数列通项公式b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1。计算e_3时需先求S_3和S_2：S_3=18+3=21，S_2=8+2=10，因此e_3=S_3-S_2=21-10=11。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n=f_{n-1}+3（n≥2），则该数列的通项公式f_n等于________。参考答案：3n-1解析：数列{f_n}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式f_n=2+3(n-1)=3n-1。7.在等差数列{g_n}中，若a_4=9，a_9=24，则该数列的公差d等于________。参考答案：3解析：等差数列中任意两项a_i和a_j满足a_i-a_j=(i-j)d，由题意24-9=5d，解得d=3。8.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=n^2+n+1，则该数列的第2项h_2等于________。参考答案：5解析：数列通项公式b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1。计算h_2时需先求S_2和S_1：S_2=4+2+1=7，S_1=3，因此h_2=S_2-S_1=7-3=4。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n=i_{n-1}+2（n≥2），则该数列的前6项和S_6等于________。参考答案：21解析：数列{i_n}是首项为1，公差为2的等差数列，前6项和S_6=6×1+(6×5)/2=6+15=21。10.在等差数列{j_n}中，若a_1=5，a_n=21，且n=6，则该数列的通项公式j_n等于________。参考答案：5+4(n-1)解析：等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_n=21，n=6得21=5+5d，解得d=3，因此j_n=5+4(n-1)=4n+1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，则该数列是等差数列。（）解析：数列{a_n}是等差数列当且仅当其前n项和S_n是n的二次函数且二次项系数为d/2。此处S_n=3n^2-2n，二次项系数为3，若为等差数列则应为3/2，因此该数列不是等差数列，错误。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=2，a_5=12，则该数列的公差为10。（）解析：等差数列公差d=(a_5-a_1)/(5-1)=(12-2)/4=2.5，因此公差不为10，错误。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_{n-1}+n（n≥2），则该数列是等差数列。（）解析：数列{c_n}的递推关系为c_n=c_{n-1}+n，相邻两项之差为n，不是常数，因此该数列不是等差数列，错误。4.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=n(n+1)，则该数列的第3项d_3等于6。（）解析：数列通项公式b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1。计算d_3时需先求S_3和S_2：S_3=12，S_2=6，因此d_3=S_3-S_2=6，正确。5.在等差数列{e_n}中，若a_4+a_7=20，则该数列的公差为4。（）解析：等差数列中任意两项a_i和a_j满足a_i+a_j=2a_1+(i+j-2)d，由题意20=2a_1+11d，若d=4则2a_1+44=20，解得2a_1=-24，a_1=-12，但题目未给出a_1，因此公差不唯一，错误。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n=f_{n-1}+2（n≥2），则该数列的前5项和S_5等于30。（）解析：数列{f_n}是首项为2，公差为2的等差数列，前5项和S_5=5×2+(5×4)/2=10+20=30，正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=1，a_n=21，且n=7，则该数列的通项公式g_n=3n-2。（）解析：等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=1，a_n=21，n=7得21=1+6d，解得d=3，因此通项公式g_n=1+3(n-1)=3n-2，正确。8.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=2n^2+n，则该数列的第4项h_4等于25。（）解析：数列通项公式b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1。计算h_4时需先求S_4和S_3：S_4=36，S_3=24，因此h_4=S_4-S_3=12，因此第4项不为25，错误。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n=i_{n-1}+n（n≥2），则该数列的前6项和S_6等于21。（）解析：逐项计算i_1=1，i_2=3，i_3=6，i_4=10，i_5=15，i_6=21，S_6=1+3+6+10+15+21=56，因此前6项和不为21，错误。10.在等差数列{j_n}中，若a_1=5，a_n=21，且n=6，则该数列的公差为4。（）解析：等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_n=21，n=6得21=5+5d，解得d=3.6，因此公差不唯一，错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.请简述等差数列的定义及其通项公式推导过程。解答：等差数列是指相邻两项之差为常数的数列，该常数称为公差。设等差数列的首项为a_1，公差为d，则第n项a_n与前一项a_{n-1}满足a_n=a_{n-1}+d。通过递推关系可得：a_2=a_1+da_3=a_2+d=a_1+2da_4=a_3+d=a_1+3d...a_n=a_{n-1}+d=a_1+(n-1)d因此等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d。2.请解释数列前n项和S_n与通项公式b_n之间的关系。解答：数列前n项和S_n是前n项a_1,a_2,...,a_n的累加和，即S_n=a_1+a_2+...+a_n。对于等差数列，通项公式b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1。通过前n项和可以求出通项公式，反之通过通项公式也可以求出前n项和。3.请说明如何判断一个数列是否为等差数列。解答：判断数列是否为等差数列的方法有：（1）相邻两项之差为常数；（2）前n项和S_n是n的二次函数且二次项系数为d/2；（3）通项公式a_n可以表示为a_n=a_1+(n-1)d的形式。4.请简述等差数列前n项和S_n的公式及其推导过程。解答：等差数列前n项和S_n的公式为S_n=n/2×(a_1+a_n)，其中a_n=a_1+(n-1)d。推导过程如下：S_n=a_1+a_2+...+a_n将数列倒序相加：S_n=a_n+a_{n-1}+...+a_1两式相加：2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+...+(a_n+a_1)共有n对，每对和为a_1+a_n，因此2S_n=n(a_1+a_n)，即S_n=n/2×(a_1+a_n)。5.请解释数列递推关系与通项公式的关系。解答：数列递推关系是指数列中任意一项与前面一项或多项的关系，如a_n=f(a_{n-1})。通过递推关系可以逐项计算数列的值。通项公式是直接给出数列第n项的表达式，无需逐项计算。对于某些递推关系，可以通过累加、累乘等方法推导出通项公式。6.请简述等差数列的性质及其应用。解答：等差数列的性质包括：（1）任意两项之差为常数；（2）前n项和为n的二次函数；（3）通项公式为a_n=a_1+(n-1)d。应用：等差数列在数学、物理、经济等领域有广泛应用，如计算平均数、预测增长趋势等。7.请说明如何通过数列前n项和S_n求通项公式b_n。解答：通过数列前n项和S_n求通项公式b_n的方法为：（1）当n=1时，b_1=S_1；（2）当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}；需验证b_1是否符合b_n的公式，若符合则统一表示为b_n=S_n-S_{n-1}。8.请简述等差数列中任意两项之和的性质。解答：等差数列中任意两项a_i和a_j满足a_i+a_j=2a_1+(i+j-2)d，即两项之和与它们的序号和有关。特别地，当i+j为常数时，a_i+a_j也为常数。这一性质在解题中常用于简化计算。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加相同的产量，已知第一年产量为10万吨，第三年产量为16万吨，求该工厂第四年的产量。解答：设该工厂每年增加的产量为d万吨，则第三年产量为10+2d=16，解得d=3。因此第四年产量为10+3×3=19万吨。2.某班级学生参加植树活动，第一天种了30棵树，之后每天比前一天多种5棵树，求第六天种的树的数量。解答：设第n天种的树的数量为a_n棵，则a_1=30，d=5。第六天种的树的数量为a_6=30+5×(6-1)=55棵。3.某城市人口增长率为每年2%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解答：设2020年人口为a_1=100万，增长率为r=2%，则2025年人口为a_5=a_1×(1+r)^5=100×(1+0.02)^5≈112.41万。4.某物体自由下落，第一秒下落5米，之后每秒比前一秒多下落9.8米，求第5秒下落的距离。解答：设第n秒下落的距离为a_n米，则a_1=5，d=9.8。第5秒下落的距离为a_5=5+9.8×(5-1)=44.8米。5.某工厂计划投资建设一条生产线，第一年投资100万元，之后每年比上一年多投资20万元，求第五年的投资额。解答：设第n年投资额为a_n万元，则a_1=100，d=20。第五年投资额为a_5=100+20×(5-1)=180万元。6.某班级学生参加数学竞赛，第一天得分60分，之后每天比前一天多得5分，求第六天的得分。解答：设第n天得分为a_n分，则a_1=60，d=5。第六天得分为a_6=60+5×(6-1)=85分。7.某城市地铁线路建设，第一年铺设了20公里，之后每年比上一年多铺设5公里，求第六年铺设的公里数。解答：设第n年铺设的公里数为a_n，则a_1=20，d=5。第六年铺设的公里数为a_6=20+5×(6-1)=45公里。8.某学校图书馆藏书量每年增加相同的数量，已知2020年藏书量为5000册，2023年藏书量为6200册，求2025年的藏书量。解答：设每年增加的藏书量为d册，则2023年藏书量为5000+3d=6200，解得d=400。因此2025年藏书量为5000+5×400=7000册。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.A4.C5.B6.A7.D8.B9.A10.A解析：1.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1。2.数列通项公式b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1。b_4=S_4-S_3=20-9=11。3.数列递推关系c_n=c_{n-1}+n，逐项计算c_5=15。4.等差数列中任意两项a_i和a_j满足a_i+a_j=2a_1+(i+j-2)d，由题意a_3+a_7=2a_1+10d=18，d=2，解得a_1=-4。5.数列通项公式b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1。b_6=S_6-S_5=42-30=12。6.数列递推关系f_n=f_{n-1}+3，逐项计算f_4=10。7.等差数列中任意两项a_i和a_j满足a_i-a_j=(i-j)d，由题意a_10-a_5=20=5d，解得d=4。8.数列通项公式b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1。b_3=S_3-S_2=21-12=9。9.数列递推关系h_n=h_{n-1}+2，逐项计算h_5=15。10.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=1，a_n=21，n=7得d=3，因此j_n=1+3(n-1)=3n-2。二、填空题1.4n-12.83.154.-45.116.3n-17.38.49.2110.4n-2解析：1.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d=3+4(n-1)=4n-1。2.数列通项公式b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1。b_4=S_4-S_3=20-12=8。3.数列递推关系c_n=c_{n-1}+n，逐项计算c_5=1+3+6+10+15=35。4.等差数列中任意两项a_i和a_j满足a_i+a_j=2a_1+(i+j-2)d，由题意30=2a_1+11d，d=2，解得a_1=-4。5.数列通项公式b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1。b_3=S_3-S_2=21-12=9。6.数列递推关系f_n=f_{n-1}+2，逐项计算f_5=1+3+5+7+9=25。7.等差数列中任意两项a_i和a_j满足a_i-a_j=(i-j)d，由题意24-9=5d，解得d=3。8.数列通项公式b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1。b_4=S_4-S_3=36-24=12。9.数列递推关系i_n=i_{n-1}+n，逐项计算i_6=1+2+3+4+5+6=21。10.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_n=21，n=6得d=3.6，因此j_n=5+3.6(n-1)。三、判断题1.×2.×3.×4.√5.×6.√7.√8.×9.×10.×解析：1.数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，二次项系数为3，若为等差数列则应为3/2，因此该数列不是等差数列。2.等差数列公差d=(a_5-a_1)/(5-1)=(12-2)/4=2.5，因此公差不为10。3.数列{c_n}的递推关系为c_n=c_{n-1}+n，相邻两项之差为n，不是常数，因此该数列不是等差数列。4.数列通项公式b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1。计算d_3时需先求S_3和S_2：S_3=12，S_2=6，因此d_3=S_3-S_2=6，正确。5.等差数列中任意两项a_i和a_j满足a_i+a_j=2a_1+(i+j-2)d，由题意20=2a_1+11d，若d=4则2a_1+44=20，解得2a_1=-24，a_1=-12，但题目未给出a_1，因此公差不唯一。6.数列{f_n}是首项为2，公差为2的等差数列，前5项和S_5=5×2+(5×4)/2=10+20=30，正确。7.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=1，a_n=21，n=7得d=3，因此通项公式g_n=1+3(n-1)=3n-2，正确。8.数列通项公式b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1。计算h_4时需先求S_4和S_3：S_4=36，S_3=24，因此h_4=S_4-S_3=12，因此第4项不为25。9.数列递推关系i_n=i_{n-1}+n，逐项计算i_6=1+2+3+4+5+6=21，因此前6项和不为21。10.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_n=21，n=6得d=3.6，因此公差不唯一。四、简答题1.解答：等差数列是指相邻两项之差为常数的数列，该常数称为公差。设等差数列的首项为a_1，公差为d，则第n项a_n与前一项a_{n-1}满足a_n=a_{n-1}+d。通过递推关系可得：a_2=a_1+da_3=a_2+d=a_1+2da_4=a_3+d=a_1+3d...a_n=a_{n-1}+d=a_1+(n-1)d因此等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d。2.解答：数列前n项和S_n是前n项a_1,a_2,...,a_n的累加和，即S_n=a_1+a_2+...+a_n。对于等差数列，通项公式b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且b_1=S_1。通过前n项和可以求出通项公式，反之通过通项公式也可以求出前n项和。3.解答：判断数列是否为等差数列的方法有：（1）相邻两项之差为常数；（2）前n项和S_n是n的二次函数且二次项系数为d/2；（3）通项公式a_n可以表示为a_n=a_1+(n-1)d的形式。4.解答：等差数列前n项和S_n的公式为S_n=n/2×(a_1+a_n)，其中a_n=a_1+(n-1)d。推导过程如下：S_n=a_1+a_2+...+a_n将数列倒序相加：S_n=a_n+a_{n-1}+...+a_1两式相加：2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+...+(a_n+a_1)