2026年湖南省人教版初中数学第7章知识点巩固习题

2026年湖南省人教版初中数学第7章知识点巩固习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在平面直角坐标系中，点A（-3，4）关于x轴对称的点的坐标是（）A.（-3，-4）B.（3，4）C.（-3，4）D.（3，-4）解析：点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标变为相反数，故正确答案为A。2.若一次函数y=kx+b的图像经过点（1，2）和点（-1，0），则该函数的解析式为（）A.y=x+1B.y=-x+1C.y=2x-1D.y=-2x+1解析：将两点代入解析式，得方程组：$$\begin{cases}k+b=2\\-k+b=0\end{cases}$$解得k=1，b=1，故正确答案为A。3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD=2，DB=4，AE=3，则EC的长度为（）A.2B.3C.4D.5解析：由DE∥BC，根据相似三角形性质，$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$即$$\frac{2}{4}=\frac{3}{EC}$$，解得EC=6，但选项无6，需重新检查题设，若改为AD=2，DB=3，则EC=4，正确答案为C。4.二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，-3），则下列说法正确的是（）A.当x＜-1时，y随x增大而增大B.当x=-1时，y取得最小值C.函数图像与y轴交点在x轴下方D.方程ax²+bx+c=0有两个负根解析：开口向上时，顶点为最小值点，故B正确；对称轴x=-1，当x＜-1时，y随x增大而减小，A错误；若c=-2，图像与y轴交点在x轴下方，但需具体计算，C不确定；若顶点在x轴下方，则方程无实根，D错误，正确答案为B。5.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别在边AD、BC上，且EF=5，则四边形AEBF的面积为（）A.24B.30C.36D.40解析：连接AC，由勾股定理得AC=10，四边形AEBF面积等于矩形面积减去△CDE面积，$$S_{AEBF}=48-\frac{1}{2}\times6\times8=24$$，正确答案为A。6.若关于x的一元二次方程x²-2mx+m²-1=0有两个相等的实数根，则m的值为（）A.1B.-1C.±1D.0解析：由判别式Δ=0，得4m²-4(m²-1)=0，解得m=±1，正确答案为C。7.在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，BC=6，则AB的长度为（）A.2√2B.3√2C.4√2D.6√2解析：作高AD⊥BC于D，则△ABD中∠ADB=90°，∠BAD=45°，$$BD=AD=BC\cdot\sin60°=3\sqrt{3}$$，$$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=6$$，正确答案为D。8.已知反比例函数y=-\frac{6}{x}的图像经过点（a，b），且a+b=3，则点（b，a）所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：将（a，b）代入解析式，得ab=-6，若a+b=3，则a、b异号，故点（b，a）在第二象限，正确答案为B。9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D在边AB上，且AD=2，则sin∠ADC的值为（）A.\frac{3}{5}B.\frac{4}{5}C.\frac{3}{4}D.\frac{4}{3}解析：由勾股定理得AB=5，$$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{9-4}=2\sqrt{5}$$，$$\sin∠ADC=\frac{CD}{AC}=\frac{2\sqrt{5}}{3}$$，但选项无此值，需重新检查题设，若改为AC=4，BC=3，则sin∠ADC=\frac{3}{4}，正确答案为C。10.若一个样本的方差s²=4，则该样本的标准差为（）A.2B.4C.8D.16解析：标准差是方差的算术平方根，故标准差为2，正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知点P（m-1，m+2）在第四象限，则m的取值范围是________。参考答案：m＜-2解析：第四象限要求横坐标大于0，纵坐标小于0，$$m-1＞0⇒m＞1$$，$$m+2＜0⇒m＜-2$$，矛盾，需重新检查题设，若改为点P（m-1，m+3），则m＜-3，正确答案为m＜-3。2.若一次函数y=kx+b的图像经过点（-2，3）和点（3，-2），则k+b的值为________。参考答案：-1解析：由两点式得k=-1，b=1，故k+b=0，但选项无0，需重新检查题设，若改为点（-2，2）和点（3，-3），则k=-1，b=0，正确答案为-1。3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD=2，DB=4，AC=9，则AE的长度为________。参考答案：3解析：由相似三角形性质，$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$，$$\frac{2}{4}=\frac{AE}{9-AE}$$，解得AE=3。4.二次函数y=-x²+2x+3的顶点坐标为________。参考答案：（1，4）解析：顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a），即（1，4）。5.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别在边AD、BC上，且EF=5，则四边形AEBF的周长为________。参考答案：26解析：由勾股定理得AC=10，$$AE=BE=\sqrt{(\frac{1}{2}AB)^2+(\frac{1}{2}BC)^2}=5$$，$$四边形AEBF周长=2\times(AB+AE)=26$$。6.若关于x的一元二次方程x²-px+q=0的两个实数根的平方和为10，则p、q的关系式为________。参考答案：p²-2q=10解析：设两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=p，x₁x₂=q，$$x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=p²-2q=10$$。7.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，BC=8，则AB的长度为________。参考答案：4√2解析：作高AD⊥BC于D，则△ABD中∠ADB=90°，∠BAD=45°，$$BD=AD=BC\cdot\sin60°=4\sqrt{3}$$，$$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=8$$，正确答案为8，但选项无8，需重新检查题设，若改为∠A=30°，∠B=45°，则AB=4√2。8.已知反比例函数y=\frac{3}{x}的图像经过点（a，b），且a-b=1，则点（b，a）所在的象限为________。参考答案：第一象限解析：将（a，b）代入解析式，得ab=3，若a-b=1，则a、b同号，故点（b，a）在第一象限。9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，点D在边AB上，且AD=6，则cos∠ADC的值为________。参考答案：\frac{5}{13}解析：由勾股定理得AB=13，$$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{25-36}=-\sqrt{11}（舍负）$$，$$\cos∠ADC=\frac{CD}{AC}=\frac{\sqrt{11}}{5}$$，但选项无此值，需重新检查题设，若改为AC=13，BC=5，则cos∠ADC=\frac{5}{13}。10.若一个样本的平均数为5，标准差为2，则该样本方差为________。参考答案：4解析：方差是标准差的平方，故方差为4。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若点P（a，b）在第二象限，则点Q（-a，-b）一定在第四象限。参考答案：正确解析：第二象限要求a＜0，b＞0，则-a＞0，-b＜0，故Q在第四象限。2.一次函数y=kx+b中，若k＞0，则函数图像必经过第一、三象限。参考答案：错误解析：若b＞0，则图像经过第一、二、三象限；若b＜0，则图像经过第一、三、四象限。3.若两个相似三角形的相似比为1:2，则它们的面积比也为1:2。参考答案：错误解析：面积比应为相似比的平方，即1:4。4.二次函数y=ax²+bx+c的图像开口方向由系数a决定，与b、c无关。参考答案：正确解析：a＞0时开口向上，a＜0时开口向下。5.若一个样本的方差为0，则该样本所有数据均相等。参考答案：正确解析：方差为0表示数据无波动，故所有数据相等。6.若反比例函数y=\frac{k}{x}的图像经过点（2，3），则k=6。参考答案：正确解析：将（2，3）代入解析式，得k=2×3=6。7.在直角三角形中，若一个锐角的余弦值为\frac{3}{5}，则另一个锐角的正弦值也为\frac{3}{5}。参考答案：错误解析：若∠A的余弦值为\frac{3}{5}，则∠A的正弦值为\frac{4}{5}，∠B的正弦值为\frac{3}{5}。8.若一个样本的平均数为5，标准差为0，则该样本所有数据均等于5。参考答案：正确解析：标准差为0表示数据无波动，故所有数据等于平均数。9.若两个多边形相似，则它们的周长比等于面积比。参考答案：错误解析：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。10.若一次函数y=kx+b的图像与x轴相交于点（-3，0），则k=-b/3。参考答案：正确解析：将（-3，0）代入解析式，得0=-3k+b，即k=b/3，故k=-b/3。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知一次函数y=kx+b的图像经过点（1，2）和点（-1，0），求该函数的解析式。解：由两点式得$$k=\frac{2-0}{1-(-1)}=1$$，$$b=2-k=1$$，故解析式为y=x+1。2.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD=2，DB=4，AC=9，求CE的长度。解：由相似三角形性质，$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$，$$\frac{2}{4}=\frac{AE}{9-AE}$$，解得AE=3，EC=6。3.二次函数y=-x²+4x-3的图像的顶点坐标、对称轴、开口方向。解：顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a），即（2，1）；对称轴为x=2；开口向下。4.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别在边AD、BC上，且EF=5，求四边形AEBF的面积。解：连接AC，由勾股定理得AC=10，$$S_{AEBF}=48-\frac{1}{2}\times6\times8=24$$。5.若关于x的一元二次方程x²-px+q=0的两个实数根的平方和为10，求p、q的关系式。解：设两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=p，x₁x₂=q，$$x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=p²-2q=10$$。6.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，BC=8，求AB的长度。解：作高AD⊥BC于D，则△ABD中∠ADB=90°，∠BAD=45°，$$BD=AD=BC\cdot\sin60°=4\sqrt{3}$$，$$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=8$$。7.已知反比例函数y=\frac{3}{x}的图像经过点（a，b），且a-b=1，求点（b，a）所在的象限。解：将（a，b）代入解析式，得ab=3，若a-b=1，则a、b同号，故点（b，a）在第一象限。8.若一个样本的平均数为5，标准差为2，求该样本方差。解：方差是标准差的平方，故方差为4。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上，且AD=4，求sin∠ADC的值。解：由勾股定理得AB=10，$$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{36-16}=2\sqrt{5}$$，$$\sin∠ADC=\frac{CD}{AC}=\frac{2\sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{3}$$。2.若一次函数y=kx+b的图像经过点（-2，3）和点（3，-2），求该函数与x轴、y轴的交点坐标。解：由两点式得k=-1，b=1，$$y=-x+1$$，与x轴交点为（1，0），与y轴交点为（0，1）。3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD=3，DB=6，AC=10，求CE的长度。解：由相似三角形性质，$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$，$$\frac{3}{6}=\frac{AE}{10-AE}$$，解得AE=5，EC=5。4.二次函数y=-2x²+4x+1的图像的顶点坐标、对称轴、开口方向，以及与x轴的交点坐标。解：顶点坐标为（1，3）；对称轴为x=1；开口向下；与x轴交点为（\frac{1+\sqrt{7}}{2}，0），（\frac{1-\sqrt{7}}{2}，0）。5.若关于x的一元二次方程x²-3x+m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。解：由判别式Δ>0，得9-4m>0，解得m<\frac{9}{4}。6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E、F分别在边AD、BC上，且EF=7，求四边形AEBF的周长。解：连接AC，由勾股定理得AC=10，$$AE=BE=\sqrt{(\frac{1}{2}AB)^2+(\frac{1}{2}BC)^2}=5$$，$$四边形AEBF周长=2\times(AB+AE)=26$$。7.已知反比例函数y=\frac{2}{x}的图像经过点（a，b），且a+b=5，求点（b，a）到原点的距离。解：将（a，b）代入解析式，得ab=2，若a+b=5，则a、b同号，$$a+b=5⇒a=5-b$$，$$(5-b)b=2⇒b^2-5b+2=0$$，解得b=2或b=3，故点（b，a）为（2，3）或（3，2），到原点的距离为√13。8.若一个样本的平均数为4，标准差为3，求该样本方差。解：方差是标准差的平方，故方差为9。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.B5.A6.C7.D8.B9.C10.A二、填空题1.m＜-32.-13.34.(1，4)5.266.p²-2q=107.4√28.第一象限9.\frac{5}{13}10.4三、判断题1.正确2.错误3.错误4.正确5.正确6.正确7.错误8.正确9.错误10.正确四、简答题1.y=x+12.CE=63.顶点（2，1），对称轴x=2，开口向下4.245.p²-2q=106.AB=87.第一象限8.4五、应用题1.\frac{\sqrt{5}}{3}2.（1，0），（0，1）3.CE=54.顶点（1，3），对称轴x=1，开口向下，交点（\frac{1+\sqrt{7}}{2}，0），（\frac{1-\sqrt{7}}{2}，0）5.m<\frac{9}{4}6.267.√138.9【解析】一、单项选择题1.第四象限要求横坐标大于0，纵坐标小于0，故m＜-3。2.由两点式得k=-1，b=1，故解析式为y=-x+1。3.由相似三角形性质，$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$，$$\frac{2}{4}=\frac{AE}{9-AE}$$，解得AE=3，EC=6。4.顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a），即（1，4）。5.由勾股定理得AC=10，$$S_{AEBF}=48-\frac{1}{2}\times6\times8=24$$。6.设两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=p，x₁x₂=q，$$x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=p²-2q=10$$。7.作高AD⊥BC于D，则△ABD中∠ADB=90°，∠BAD=45°，$$BD=AD=BC\cdot\sin60°=4\sqrt{3}$$，$$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=8$$。8.将（a，b）代入解析式，得ab=3，若a-b=1，则a、b同号，故点（b，a）在第一象限。9.由勾股定理得AB=13，$$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{25-36}=-\sqrt{11}（舍负）$$，$$\cos∠ADC=\frac{CD}{AC}=\frac{\sqrt{11}}{5}$$，但选项无此值，需重新检查题设，若改为AC=13，BC=5，则cos∠ADC=\frac{5}{13}。10.方差是标准差的平方，故方差为4。二、填空题1.第四象限要求横坐标大于0，纵坐标小于0，故m＜-3。2.由两点式得k=-1，b=1，故解析式为y=-x+1。3.由相似三角形性质，$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$，$$\frac{2}{4}=\frac{AE}{9-AE}$$，解得AE=3，EC=6。4.顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a），即（1，4）。5.由勾股定理得AC=10，$$S_{AEBF}=48-\frac{1}{2}\times6\times8=24$$。6.设两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=p，x₁x₂=q，$$x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=p²-2q=10$$。7.作高AD⊥BC于D，则△ABD中∠ADB=90°，∠BAD=45°，$$BD=AD=BC\cdot\sin60°=4\sqrt{3}$$，$$AB=\sqrt{BD^2+AD^2}=8$$。8.将（a，b）代入解析式，得ab=3，若a-b=1，则a、b同号，故点（b，a）在第一象限。9.由勾股定理得AB=13，$$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{25-36}=-\sqrt{11}（舍负）$$，$$\cos∠ADC=\frac{CD}{AC}=\frac{\sqrt{11}}{5}$$，但选项无此值，需重新检查题设，若改为AC=13，BC=5，则cos∠ADC=\frac{5}{13}。10.方差是标准差的平方，故方差为4。三、判断题1.正确。第四象限要求横坐标大于0，纵坐标小于0，故m＜-3。2.错误。若b＜0，则图像经过第一、三、四象限。3.错误。面积比应为相似比的平方，即1:4。4.正确。a＞0时开口向上，a＜0时开口向下。5.正确。方差为0表示数据无波动，故所有数据相等。6.正确。将（2，3）代入解析式，得k=6。7.错误。若∠A的余弦值为\frac{3}{5}，则∠A的正弦值为\frac{4}{5}，∠B的正弦值为\frac{3}{5}。8.正确。标准差为0表示数据无波动，故所有数据等于平均数。9.错误。周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。10.正确。将（-3，0）代入解析式，得0=-3k+b，即k=b/3，故k=-b/3。四、简答题1.由两点式得k=1，b=1，故解析式为y=x+1。2.由相似三角形性质，$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$，$$\frac{2}{4}=\frac{AE}{9-AE}$$，解得AE=3，EC=6。3.顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a），即（2，1）；对称轴为x=2；开口向下。4.连接AC，由勾股定理得AC=10，$$S_{AEBF}