初二【数学(人教版)】数学活动：探究比例的性质 教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级八年级学期秋季课题数学活动：探究比例的性质教科书书名：义务教育教科书数学八年级上册出版社：人民教育出版社出版日期：2013年6月教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：能利用特殊值法探究分式的关系，并能用作差法证明猜想教学重点：利用特殊值法探究分式的关系，并能用作差法证明猜想教学难点：根据分式的特点选择恰当的证明方法教学过程时间教学环节主要师生活动7min问题引入试验猜想若，下列各组中的两个分式分别有什么关系？（1）（2）（3）（4）1.使用特殊值法进行试验不妨取a=1，b=3，c=2，d=6，然后将这一组数值带入到四组分式中，看看各组分式的值有什么关系.（1）发现：（2）发现：（3）发现：（4）发现：通过这一组特殊值发现四组分式都分别相等，但是这些相等关系是否具有偶然性呢？不妨再取一组值进行实验，看得到的结果是否仍然是相等的。再取a=5，b=2，c=15，d=6，然后将这一组数值带入到四组分式中，得到：（1）发现：（2）发现：（3）发现：（4）发现：通过第二组取值，发现这四组的结果仍然是相等的.2.提出猜想：任何一组不为0的a、b、c、d，只要满足，就有（1）（2）（3）（4）得出的结论在数学上称之为“猜想”，因为是通过取几组特殊值计算得出的结论，并不能说明对于任意一组满足的a、b、c、d，这个结论都一定成立。15min证明猜想3.用代数的方法来尝试证明这些“猜想”。复习比例的基本性质。代数上，常用“作差法”来比较代数式的大小：①②③接下来利用“作差法”来尝试证明这四个“猜想”：（1）这样就证明了第一个结论对于任意一组满足条件的a、b、c、d都是成立的。接下来请同学们尝试利用老师刚才讲的方法证明第二个猜想。（2）第三个“猜想”：，从形式上已经比前两个要复杂一些了，但是“作差法”并没有限制代数式的复杂程度，所以仍然可以使用“作差法”来尝试证明。（3）这样就完成了第三个猜想的证明，但是通分的过程写起来有点复杂，我们观察发现，利用分式的加法法则，可以得到，而，两个代数式都分离出来一个1，而剩下的部分正好是条件，那么等式两边各加一个1，等式仍然成立，即是成立的。从这个猜想的证明过程中，我们发现，“作差法”是一种普适的方法，而对于有些特殊的问题，如果我们能观察到代数式的特征，对它进行变形处理，例如我们刚才使用的这种“分离常数法”，就能够让问题的解决过程变得简单很多。最后一个猜想，请同学们利用讲的方法尝试证明一下。通过观察，我们发现第四个猜想中的两个分式从形式上看，因为分母上是个多项式，使用刚才的“分离常数法”并不方便，因此我们还是用“作差法”来尝试证明：4.得出结论并回顾刚才的探究过程练习：求证：若，则.介绍比例的等比性质及扩展形式2min课堂总结本节课经历了判断两个代数式大小关系的过程：试验探究——生成猜想——代数证明——得出结论要特别注意的是，在取特殊值进行试验探究时，为了避免结论的偶然性，可以多取几组值进行试验。而在代数证明的过程中，主要学习了一种普适的方法“作差法”，还有针对一些特殊形式