几何基础及光学 2

2平面和平面系统习题及答案扫描振镜被广泛应用在激光打标、激光雷达、图案显示等领域，请查阅相关资料作出激光通过振镜扫描平面区域的原理图。解：原理图如下。xxy激光x轴振镜y轴振镜扫描区域如图2-4所示的自准直望远镜，物镜焦距为20cm，测杆到平面镜转轴距离为10mm。测杆移动后，通过目镜观察到发光标志偏离分划板中央0.1mm。求测杆的位移量。解：依题意知f'=20cm=200mm，d=10mm，∆y=0.1mm，根据光路原理有：Δ𝑙=Δ𝑦∙𝑑/2𝑓′=0.1×10/(2×200)=0.0025mm答：测杆的位移量为0.0025mm。如图2-4所示的自准直望远镜，物镜焦距为20cm，测杆到平面镜转轴距离为10mm。分划板直径为10mm，求测杆最大可测位移量。解：依题意知f’=20cm=200mm，d=10mm，∆y=10mm，根据光路原理有：Δ𝑙=Δ𝑦∙𝑑/2𝑓′=10×10/(2×200)=0.25mm答：测杆最大可测位移量为0.25mm。如图2-51所示的角镜夹角为30°，两镜长度为50mm，一直径为5mm的平行光束贴着角镜一侧入射，请问以什么角度入射到另一侧镜面的什么位置时，经角镜2次反射后刚好能使出射光束按原光路出射？3030°5mm50mm图STYLEREF1\s2SEQ图\*ARABIC\s151角镜光路解：依题意在示意图中标注字母已定义各边、角。因为经角镜2次反射后刚好能使出射光束按原光路出射，所以DE垂直于BO。根据角镜出、入射光束偏角是角镜夹角的两倍可知：∠ADE=2×30°=60°。AD为平行光束的中心光线，B为光束下边缘与下侧平面镜的临界交点，作BC⊥AD，易知BC即光束半径，BC=5/2=2.5mm，∠CAB=90°-∠ADE=30°，AB=BC/sin(∠CAB)=5mm。因为∠CAB=∠DOE，且DE⊥AO，所以△ADE与△ODE全等，所以EO=0.5×AO=0.5×(50+5)=27.5mm，DO=EO/cos(30°)=31.75mm。所以，入射光束应以与下侧平面镜夹角30°入射，入射光束中心与上侧平面镜交点应与O点距离31.75mm。3030°5mm50mmBACDEO夹角为30°的角镜，两镜长度均为50mm，请问最大容纳直径为多少的光束经2次反射后全部出射？解：角镜AOB的两次反射模型作下图所示的二次展开，A’O为一次展开后的AO镜，B’’O为二次展开后的BO镜。欲使二次反射的直径最大，光束下边缘光线应为连线AB’’，其上边缘光线应为过BA’的光线（连线BA’平行于连线AB’’）。OOABA’B’’50mm30°45°DE因为角镜夹角为30°，所以二次展开后，B’’O⊥AO，所以∠B’’AO=45°,∠ADO=180-45°-30°=105°。根据正弦定理有：sin∠B’’AO/DO=sin∠ADO/AOsin45°/DO=sin105°/50DO=36.594mmBD=50-DO=13.406mm作DE垂直BA’，DE即为允许的最大光束直径。∠EBD=∠BDA=180-∠ADO=75°，有：sin∠EBD=DE/BD，DE=sin∠EBD×BD=sin75°×13.406=12.949mm。答：最大容纳直径为12.949mm的光束经2次反射后全部出射。如图2-52所示45°的角镜，在光路对称的要求下，如角镜间充满水，可以使出射光相对于入射光的偏角比镜间无水情况下的偏角增大多少？4545°水图STYLEREF1\s2SEQ图\*ARABIC\s152角镜解：因为要求光路对称，该题可像习题5那样基于棱镜展开的方法求解，下面用另一种方法求解。如下图所示，因为光路对称，所以镜间光线BA与两镜夹角相同，光线CB和CA也相应的关于角镜中线OC对称，有水和无水光路在水面以下一致，不同的是水面上的光路。很明显，将光线拓展为平行光束，偏角不变，所以光线入射位置的选取并不重要。4545°水无水有水无水有水NACBDEFN2G选取光线如下图所示，因为光路对称，所以∠BAO=∠ABO=(180°-45°)/2=67.5°。∠CBA=∠CAB=2×∠N2AB=2×(90°-67.5°)=45°。因为光路对称，AB与水面平行，所以∠BGD=90°-∠CBA=45°。无水时：∠NGF=∠BGD=45°。有水时：根据折射定律，sin∠NGE=n×sin∠BGD=1.33×sin45°，∠NGE=70°。有、无水时的折射角相差∠NGE-∠NGF=70°-45°=25°，根据对称性，有、无水时的入射角也相差25°，所以有、无水时出、入射光线的偏角相差2倍的25°即50°。如图2-53所示，水底硬币离水面100mm，求从水面上观察到的硬币像位置。如果水面放一厚度为20mm，吃水深度为5mm（不考虑水面上升），折射率为1.5的透明塑料平板，求从水面上透过塑料平板和水观察到的硬币位置。硬币硬币100mm硬币100mm20mm5mm图STYLEREF1\s2SEQ图\*ARABIC\s153水下硬币示意图解：当硬币上面只有水时，把硬币上面的水看成是100mm厚的水平板，Δ𝑙′=𝑑(1−1/𝑛)=100×(1-1/1.33)=24.8mm。当硬币上面同时有水和透明塑料平板时，相当于透过两块平板看硬币，Δ𝑙′=Δ𝑙1′+Δ𝑙2′=𝑑1(1−1/𝑛1)+𝑑2(1−1/𝑛2)=(100-5)×(1-1/1.33)+20×(1-1/1.5)=23.6+6.7=30.3mm。答：无塑料平板时，硬币像在硬币上方24.8mm处，有塑料平板时，硬币像在硬币上方30.3mm处。请设计一个使出射光线相对于入射光线旋转30°的二次反射棱镜，并给出棱镜材料选择不同折射率时对应的镀膜情况。解：根据“经角镜两次反射后光线偏转两倍角镜夹角的结论”，设计棱镜两反射面夹角为15°。为避免夹角过小对光束口径及光束行进方向造成的影响，选择入射端面与第二次反射面共面的设计。如图所示，入射光线垂直入射面入射，与入射光线夹角60°的出射光线要从出射面垂直出射，则出射面与第二反射面夹角应为30°，与第一反射面夹角为135°，易知光线在第一次反射面上的入射角为15°，对应的临界折射率n=1/sin15°=3.8637，易知光线在第二次反射面上的入射角为30°，对应的临界折射率n=1/sin15°=2。当所选折射率材料大于3.8637时，可见光区没有这么大折射率的材料，红外区有。两次反射均能发生全反射，无需镀膜。当所选折射率材料大于2，小于3.8637时，红外区有这种材料，可见光区仅有为数不多的几种。第二次反射能发生全反射，无需镀膜，第一次反射不满足全反射，需镀制反射膜。当所选折射率材料小于2时，两次反射均不能发生全反射，需镀制反射膜。由于第二次反射面同时又是入射面，不能镀反射膜，所以该设计不能使用折射率材料小于2的材料。1515°30°60°30°135°如图2-21（h）所示施密特棱镜，如果玻璃材料折射率为1.5164，请分析其底面能否实现全反射。如果底面换成屋脊反射面呢？解：如图(a)所示，b=(180°-45°)/2=67.5°，d=∠a=90°-45°=45°，c=180°-45°-67.5°=67.5°。i1=90°-67.5°=22.5°。设临界角为Im，sinIm=1/1.5164，Im=41.3°，i1<Im，则底面不能实现全反射。如果底面换成屋脊反射面，结合图(b)（从侧面看施密特屋脊棱镜）和图(c)，屋脊面的入射光位于直线1所在的主截面内，该面和屋脊面的夹角为45°，该面内直线与屋脊面法线N的夹角最小的就是1与N的夹角——45°，其它直线如2与N的夹角必大于45°，结合图(a)可知，入射到屋脊面上的光线就是该面内类似于直线2的斜入射光线，它与N的夹角必大于45°，Im<45°，所以如果底面换成屋脊反射面则可以实现全反射。4545°abci121N(a)(b)(c)d1N请对图2-21（h）所示施密特棱镜进行展开。答：展开图如右图所示：请分析图2-54所示光路中选用的不同分光元件对光路结构的影响。((a)分光棱镜分光(b)分光片分光半反半透面半反半透面图STYLEREF1\s2SEQ图\*ARABIC\s154分光棱镜和分光片分光示意图答：使用图(a)所示的分光棱镜分光，透射光相当于穿过一个平行平板，反射光通过展开可知也相当于穿过一个平行平板。由于光路和平板表面垂直，所以分光棱镜分光不会破坏光路的轴对称性。使用图(b)所示的分光片分光，透射光相当于穿过一个斜置平行平板，由于光路与平板端面不垂直，所以透射光的轴对称性会被破坏。反射光通过展开可知也相当于穿过一个（两倍厚的）平行平板，但由于光路与平板端面还是不垂直，所以反射光的轴对称性也会被破坏。如图2-55所示二次反射等腰直角棱镜的两条直角边长20mm，高为10mm，求该棱镜名义通光直径，以及在光路中使用时该棱镜中的光轴长度。1010mm20mm20mm图STYLEREF1\s2SEQ图\*ARABIC\s155二次反射等腰直角棱镜解：根据棱镜的两直角边可求得其斜边边长为28.28mm，根据左图棱镜的展开图及名义通光直径的定义可知棱镜的名义通光直径为右图中的圆斑的直径D，其数值为14.14mm，为斜边边长的一半。二次反射等腰直角棱镜的结构常数k为2，光路在该棱镜中的光轴长度d=K×D=28.28mm。DD14.14mm28.28mm图2-56所示为斜方棱镜的变形棱镜，入射端面中心的入射光线经棱镜两次反射后刚好从出射端面上边沿出射，入射端面下边沿的入射光线经棱镜两次反射后刚好从出射端面中心出射，请分析其结构常数。图STYLEREF1\s2SEQ图\*ARABIC\s156斜方棱镜的变形棱镜解：根据名义通光直径的定义和棱镜展开图可知图示棱镜的名义通光直径为下图中的圆斑的直径D，其数值为入射端面在主截面上长度L的一半。光路在该棱镜中的光轴长度d等于2.5L。棱镜的结构常数K=d/D=2.5L/0.5L=5。DDL图2-57所示为保罗Ⅱ型棱镜，请根据其物方坐标求出其像方坐标。zzyx图STYLEREF1\s2SEQ图\*ARABIC\s157保罗Ⅱ型棱镜解：如图，上方两个较小的一次反射等腰直角棱镜的主截面一致，下方较大的二次反射直角棱镜在数学上可看着是上方复合棱镜的屋脊反射面，由此可判断其像方坐标如下图所示（也可以应用法则逐个棱镜判断）。zzyxy’x’z’设分光计测三棱镜折射率实验所用等边三棱镜的玻璃材料为ZF1，其Schott折射率公式系数分别为A0=2.63561610E+000、A1=8.83964200E-00