湖北襄阳市太平店教育集团2026-2027学年九年级上学期开学数学收心练习（含解析）

2026-2027学年度九年级上学期数学入学测试题总分值：120分一、单选题（共30分）1.已知是整数，则满足条件的最小正整数n为（）．A.8 B.2 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次根式的化简、完全平方数以及正整数的概念等知识点，能够将已知的二次根式化简是解题的关键．由是整数，可知是完全平方数，则可得出满足条件的最小正整数n为2．【详解】解：先把化简成，再根据是整数分析最小正整数的值即可．∵且是整数，∴是完全平方数，∴正整数的最小值是，故选：B．2.由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（）A. B.，，C. D.【答案】A【解析】【分析】通过验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，判断三角形是否为直角三角形，找出不符合的选项即可.【详解】解：A、最长边为，，，，不能构成直角三角形，符合要求.B、最长边为，，能构成直角三角形，不符合要求.C、最长边为，，能构成直角三角形，不符合要求.D、最长边为，，能构成直角三角形，不符合要求.3.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的一半得出结论．【详解】解：∵四边形为矩形，∴OB=OD=OA=OC，在△EBO与△FDO中，∵，∴△EBO≌△FDO（ASA），∴阴影部分的面积=，∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的一半，∴．故选：C．本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．4.矩形具有而菱形不具有的性质是（）．A.两组对边分别平行 B.对角线相等C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等【答案】B【解析】【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项解析判断后利用排除法求解：【详解】A．矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误，不符合题意；B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确，符合题意；C．矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误，不符合题意；D．矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误，不符合题意．故选B．5.用配方法解方程，下列配方正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先把移项，再配方，得，即可作答．【详解】解：∵，∴，则，即，故选：C6.如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得，由，可得，，由直角三角形两锐角互余可得，．本题主要考查了平行四边形的性质和直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故选：A．7.有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及流感传染问题.初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人，经过两轮传染后总患者数为，据此建立方程．【详解】解：∵初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人，∴第一轮后患者总数为：人，第二轮传染时，有个患者，每人传染x人，∴第二轮新增患者为：人，∴两轮后总患者为：人，故方程为：．故选：C．8.将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案．【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是，故选：C．9.已知是一元二次方程的一个根，则的值为（）A.任意实数 B.3或 C.3 D.【答案】D【解析】【分析】将代入方程，得到关于m的方程，再结合一元二次方程的定义（二次项系数不为零）确定m的值．本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解．解题的关键在于深刻理解一元二次方程的定义．【详解】解：∵是方程的一个根，∴，即，∴，∴或．又∵方程为一元二次方程，∴二次项系数，即，∴，故选D．10.如图，函数和的图象相交于点，则的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定和的交点，作出的大体图象，然后根据图象判断．【详解】解：∵的图象经过点，∴，当时，，即在函数的图象上．又∵在的图象上．∴与相交于点．则函数图象如图．则不等式的解集为．二、填空题（共15分）11.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，，且，解得．故答案为：．12.某地招录教师要进行笔试和面试，其中笔试占，面试占．莫小贝也参与了这次教师招录考试，她的笔试成绩80分，面试成绩90分，莫小贝的最后成绩是_________分．【答案】【解析】【分析】根据加权平均数的计算公式计算最终成绩即可．【详解】解：由题意得，笔试权重为，面试权重为，则最后成绩为：．13.一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，则三角形的周长为__________．【答案】10【解析】【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．本题主要考查了解一元二次方程以及三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：解方程，得，．∵三角形两边长分别为3和4，∴第三边需满足第三边，因此符合条件，不符合，∴三角形的周长为．故答案为：10．14.如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是和，则四边形中的边的长是__________．【答案】【解析】【分析】利用矩形对边平行的性质证明四边形为平行四边形，再结合两个矩形全等（宽相等）证明邻边相等，从而判定四边形为菱形，设，在直角三角形中利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，，，，四边形为平行四边形，，，四边形为菱形，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得，的长是．15.如图，在正方形中，，其外部有一个正方形，对角线的延长线经过点，．（1）对角线的长为___；（2）连接，点是的中点，点是边的中点，则线段的长为___．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）由四边形是正方形得，，再利用勾股定理即可求的长；（2）连接、，先通过证明得，再结合正方形对角线性质和勾股定理求出的长度，最后利用三角形中位线定理求出的长度．【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴，，∴；（2）如图，连接，，交于点，∵四边形和都是正方形，∴，，，∴，即，∴，∴，∵是正方形的对角线交点，∴，，，∴，在中，，∴，∴，∵点是的中点，点是的中点，∴是的中位线，∴．三、解答题（共75分）16.计算：（1）；（2）；（3）用配方法解方程：；（4）用公式法解方程：．【答案】（1）（2）2（3），（4），【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程：（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式；（2）利用平方差公式进行简便计算；（3）利用配方法解方程；（4）利用公式法解方程．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：，，，，或，，；【小问4详解】解：，，，，，，，．17.如图，是的中线，点是中点，过作交的延长线于，连．（1）直接写出与的关系__________；（2）若，请判断四边形的形状，并说明理由．【答案】（1）且（2）四边形是菱形，理由如下：∵，∴，又∵是的中线，∴，∵四边形为平行四边形，∴四边形为菱形．【解析】【分析】（1）证明，得到，再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形为平行四边形，进而可得且；（2）由，是边上的中线，可得，然后结合四边形是平行四边形，可得四边形是菱形．【小问1详解】∵点E是中点，∴，∵，∴，在和中∵，∴．∴，∵是的中线，∴，∴，又∵，∴四边形为平行四边形，∴且．故答案为：且．【小问2详解】略本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．18.劳动教育能够提升学生的创造力，强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长为24米，边长为7米，蔬菜区的边长为20米，边长为15米，．（1）求小路的长；（2）求的度数和蔬菜区的面积．【答案】（1）小路的长为25米（2）的度数为，蔬菜区的面积为150平方米【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．（1）根据勾股定理求解即可；（2）根据（1）所求可证明，则由勾股定理的逆定理可得，再根据三角形面积计算公式求解即可．【小问1详解】解：∵，米，米，∴(米)，答：小路的长为25米．【小问2详解】解：∵的边长为20米，边长为15米，边长为25米，∴，，∴，∴，∴(平方米)．答：的度数为，蔬菜区的面积为150平方米．,19.某校为了解本校学生对“二十大”的关注程度，对八、九年级学生进行了“二十大”知识竞赛（百分制），从中分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩，整理、分析如下，共分成四组：，，，，其中八年级10名学生的成绩分别是96，80，96，90，100，86，96，82，90，84；九年级学生的成绩在组中的数据是91，92，90．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数方差八年级9090b42.4九年级90c10037.8根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述a，b，c的值：______，______，______；（2）你认为这次竞赛中哪个年级成绩更好，为什么？（3）若该校九年级共800人参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩优秀的九年级学生有多少人？【答案】（1）40；96；91.5（2）九年级成绩相对更好，理由如下：①九年级测试成绩的中位数和众数大于八年级；②九年级测试成绩的方差小于八年级；（3）估计竞赛成绩优秀的九年级学生大约有560人．【解析】【分析】本题考查了方差，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义和方差的意义是解题的关键．（1）用1分别减去其它三组所占百分比即可得出的值，根据众数和中位数的定义即可得出、的值；（2）可从平均数、众数、中位数和方差角度分析求解；（3）利用样本估计总体即可．【小问1详解】解：由题意可知，，故；八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是96分，故众数；九年级10名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为91、92，故中位数为，故答案为：40；96；91.5；【小问2详解】略【小问3详解】解：（人．答：估计竞赛成绩优秀的九年级学生大约有560人．20.已知：关于的一元二次方程有两个实数根．（1）求的取值范围．（2）设方程的两根为，且满足，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等：（1）一元二次方程有两个实数根，则根的判别式大于等于0，结合被开方数大于等于0，即可求解；（2）由一元二次方程根与系数的关系，可得，，再利用完全平方公式的变形得出，结合即可求解．【小问1详解】解：有两个实数根，，，又中，的取值范围为．【小问2详解】解：方程的两根为，，，，，，．21.如图，在中，于点，延长至点使，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求的长．【答案】（1）证明：在中，于点，延长至点使∴即在中，且∴且．∴四边形是平行四边形∵，∴∴四边形是矩形；（2）【解析】【分析】本题考查矩形的判断，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理．（1）先证四边形是平行四边形，再结合即可；（2）先用勾股定理的逆定理证明，再根据等面积法即可．【小问1详解】略【小问2详解】∵四边形是矩形，，∴∵，∴，∴，∵，∴的面积∴．22.武汉洪湖养殖场，每年秋季都有大量螃蟹上市，为进一步拓宽市场，产区组织20辆同规格的冷藏车装运A，B两种螃蟹运往外地销售．每辆冷藏车满载装运同一种产品，每辆汽车的运载量（吨）及每吨螃蟹的利润（万元）如表所示：

每辆汽车运载量/吨23每吨螃蟹利润万元0.50.4根据表格中提供的信息，解答以下问题：（1）设安排辆冷藏车装运种螃蟹，20辆车运送的螃蟹总利润为y元，直接写出关于的函数关系式；（2）若规定装运每种螃蟹的冷藏车都不少于6辆，求自变量的取值范围；（3）在（2）的前提下，若要使此次销售获利最大，应如何安排车辆？并求出最大利润．【答案】（1）（2）的取值范围为，且为整数（3）安排6辆车装运A种螃蟹，14辆车装运B种螃蟹，最大利润为228000元【解析】【分析】本题考查一次函数的实际应用：（1）设安排x辆冷藏车装运A种螃蟹，则装运B种螃蟹的车为辆，则y等于A种螃蟹总利润与B种螃蟹总利润之和；（2）根据装运每种螃蟹的冷藏车都不少于6辆，列不等式组，即可求解；（3）根据可得随的增大而减小，当取最小值6时，取最大值．【小问1详解】解：设安排x辆冷藏车装运A种螃蟹，则装运B种螃蟹的车为辆，由题意知：，即关于的函数关系式为，其中，且为整数；【小问2详解】解：由题意得，解得，故自变量的取值范围为，且为整数；【小问3详解】解：由（1）知，，，随的增大而减小，当取最小值6时，取最大值，最大值为：（元），综上可知，安排6辆车装运A种螃蟹，14辆车装运B种螃蟹，最大利润为228000元．23.四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．（1）【探究发现】如图1，小明将沿翻折得到，点的对应点为，将纸片展平后，连接并延长交边于点，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为__________；（2）【类比探究】如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点，请你猜想线段，，之间的数量关系并证明；（3）【拓展延伸】在（2）的翻折过程中，正方形的边长为，．如图3，若线段恰好经过点，直接写出的长．【答案】（1）（2）证明：，理由如下，∵四边形是正方形，∴，，∵将四边形沿所在直线翻折得到四边形，∴，∴，∴，如图，过点作，垂足为点，∴，∴，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，即，∴；（3）【解析】【分析】（1）由翻折的性质及正方形的性质证明，进而得解；（2）先证，过点作，垂足为点，证明，进而得解；（3）设上点的对应点为点，连接，，交于点