2027版中考数学难题速递：一元一次方程

2027年中考数学复习难题速递之一元一次方程（2026年7月）

一．选择题（共8小题）

1．“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路

快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．“不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六

百步，问孰至于前，两者几何步隔之？”即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢

的人再走600步时，假定两者步长相等，则两人相隔的步数为（）

A．250B．300C．350D．400

2．有甲、乙两家汽车销售公司，甲公司“五一黄金周”销售了24辆A型汽车，______，问乙公司“五一

黄金周”销售了A型汽车多少辆？如果设乙公司销售了A型汽车x辆，解决这个问题列出的方程为

“x+20%x＝24”，则横线上的信息是（）

A．甲公司销售A型汽车的数量比乙公司减少20%

B．甲公司销售A型汽车的数量比乙公司增加20%

C．乙公司销售A型汽车的数量比甲公司减少20%

D．乙公司销售A型汽车的数量比甲公司增加20%

3．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本

人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元，有下列结论：

①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多；

②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少；

③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20．

其中，正确结论的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

4．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问

甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙两人不知有多少钱．若甲得到乙钱数的一半，则甲有50钱；若

乙得到甲钱数的，则乙也有50钱．问甲、乙各有多少钱？设甲有x钱，则根据题意列方程（）

2

A．3B．

212

2(50−�)+�=50(50−�)+�=50

C．3D．23

22

(50−�)+�=50(50−�)+�=50

5．在一副三角尺中3∠BPA＝45°，∠CPD＝60°，∠3B＝∠C＝90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，

边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒

第1页（共26页）

3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边

与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动．当三角尺PCD的边与PB平行时，运动时间为（）

秒．

A．39B．36C．34D．33

6．杨老师带七（1）班的同学外出参加社会实践活动，在分配房间时发现如果4人住1间，结果有2人没

有房间住；如果5人住一间，最后一间未住满，还差3人．问：杨老师总共带了多少名学生参加这次活

动？设共有x个房间，依题意列方程得（）

A．5（x﹣3）＝4（x+2）B．5x+3＝4x﹣2

C．5（x+3）＝4（x+2）D．5x﹣3＝4x+2

7．如图，矩形ABCD内有3个边长为5的小正方形，小正方形的顶点均落在矩形ABCD的边上，其中顶

点E落在AB的中点处，则矩形ABCD的面积为（）

A．150B．172C．125D．136

8．下列是一元一次方程的是（）

A．x≠0B．2（x﹣3）＝3xC．3x+2y＝7D．

1

二．填空题（共6小题）�−1=�

9．一种水稻磨米机的进料漏斗由圆柱和圆锥两部分组成，圆柱和圆锥的底面直径都是4dm，圆柱高2dm，

圆锥高4.2dm．每立方分米稻谷大约重0.64kg，稻谷的出米率是70%，下列四个结论：

①若将圆锥的高增加1.8dm，圆柱的高减少1dm，漏斗的总体积不变；

②该漏斗装满稻谷时，稻谷的总质量约为27kg，按70%的出米率计算，大约能磨出18.9kg大米；

③若用一个与该漏斗等底，高为6.2dm的圆柱形容器装稻谷，它的体积是漏斗总体积的1.5倍；

④若将漏斗的底面直径扩大到原来的2倍，高不变，那么能装的稻谷质量会扩大到原来的4倍．

其中正确结论的序号是．

第2页（共26页）

10．如图，AB，CD是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点A与点C重合，点B与点D重合），

现将AB沿直线l向左平移k厘米，将CD沿直线l向右平移2k厘米，当B，C是线段AD的三等分点

时，k的值为．

11．一列火车正在匀速行驶，它先用26秒的时间通过了长256米的隧道甲（即从火车头进入入口到车尾

离开出口），又用16秒的时间通过了长96米的隧道乙．则下列结论：

①这列火车长160米．

②这列火车的行驶速度为每秒16米．

③若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时10秒．

④若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半．

其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）

12．对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数，如：[5.28]＝5，[﹣3.14]＝﹣4，则满足的x的

2�−5

整数解是．[3]=4

13．甲、乙两个图书馆各有一批数学类藏书．若从甲馆调数学类藏书90本到乙馆，此时乙馆数学类藏书

是甲馆的2倍；若从乙馆调数学类藏书若干本到甲馆，此时甲馆数学类藏书是乙馆的3倍．则甲图书馆

原有数学类藏书最少本．

14．如图，将一副三角板按如图方式摆放，使点A、O、D三点共线，点O、B、C三点共线．若△OAB以

7°/s的速度绕点O顺时针旋转半周，同时△OCD以2°/s的速度绕点O逆时针旋转，且当△OAB停止

运动时，△OCD也随之停止运动，设运动时间为ts，则当t＝时，直线AB与

直线CD互相垂直．

三．解答题（共6小题）

第3页（共26页）

15．在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）

在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则：

•A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）；

•B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的1.2倍．

已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为60min；一台B类机器人起跑

后，前25min保持匀速，速度是这台A类机器人的1.1倍，之后原地维护10min，维护后匀速跑至终点，

速度比维护前增加了70m/min，完赛成绩为72min．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点

的路程．

16．我市计划将某区域打造为特色文旅商业街区，目前一期工程已基本竣工，即将启动道路硬化施工．该

工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要32天．现甲、乙两队合作施工一段时间后，甲队

另有任务离开，剩下的工程由乙队单独完成，乙队单独完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少8

天．

（1）求甲、乙两队合作施工的时间；

（2）施工完成后，两队共获得工程款45万元，若按每队完成的工程总量进行分配，甲、乙两队各应获

得工程款多少万元？

17．先阅读下列解题过程，然后解答问题：

解方程：|2x+3|＝5．

解：当2x+3≥0时，原方程可化为2x+3＝5，解得x＝1；

把x＝1代入2x+3得：2×1+3＞0，成立；

当2x+3＜0时，原方程可化为2x+3＝﹣5，解得x＝﹣4．

把x＝﹣4代入2x+3得：2×（﹣4）+3＜0，成立；

∴原方程的解为x＝1或x＝﹣4．

灵活运用上面的解题方法解下列方程：

（1）解方程|3x﹣1|＝8；

（2）解方程|2x﹣1|＝3x﹣5．

18．近几年，黑龙江冰雪旅游热度持续升高．据有关部门统计，2026年春节“黄金周”哈尔滨市接待游客

总数约为13663000人次，旅游人数的增加促进了当地的餐饮、住宿、交通等经济的提升，同时也促进

了旅游文创产品工艺的发展．为了生产文创产品，某工厂需要购进A、B两种生产原料，若该工厂第一

批购进A种原料84吨，并且购进A种原料吨数比购进B种原料吨数的多4吨．

5

6

第4页（共26页）

（1）求该工厂第一批购进B种原料多少吨？

（2）已知每吨A种原料进货价格与每吨B种原料进货价格的比为4：3，若干天后，该厂再次采购A

种原料和B种原料共花费72000元，若第二批采购的A种原料吨数是第一批A种原料吨数的50%，B

种原料吨数比第一批B种原料吨数少了，求每吨A种原料的进价为多少元？

1

（3）在（2）中两种原料的进货单价都不3变的情况下，第三次采购计划如下：

①A种原料和B种原料共采购240吨；

②A种原料吨数比B种原料吨数的70%多2吨．

并且第三次采购时供应商给出甲、乙、丙三种优惠方案：

甲方案：总费用每满8000元减1200元，不满8000元不减；

乙方案：每购进7吨B种原料则赠送2吨A种原料，不满7吨不送；

丙方案：总货款前50000元打9折，50000至100000的部分打8折，100000到150000的部分打7折，

150000以上的部分打6折．

问第三批采购选择哪种方案总花费最少？请通过计算说明．

19．如图1，点A，B在数轴上（B在A左侧），点A表示的数为8．甲从点A出发，以2个单位长度/秒

的速度向目的地B匀速运动，同时，乙从点B出发，向目的地A匀速运动．当甲、乙第一次相距5个

单位长度时，甲立即静止，乙保持原速度继续运动；当甲、乙相遇时，乙立即静止，甲则保持原速度继

续运动；从相遇时刻起1秒后，甲、乙均保持原速度继续运动，当甲、乙均到达目的地后，则停止计时．已

知甲、乙间的距离y与运动时间t（s）之间的关系如图2．

请解答以下问题：

（1）点B在数轴上表示的数为，乙的速度为个单位长度/秒；

（2）图2中a的值为，b的值为；

（3）当甲、乙相距8个单位长度时，求t的值；

（4）分别求出甲、乙到达目的地需要的时间．

20．如图是一种空心混凝土管道，它的内径d＝3.2dm，外径D＝3.8dm，长度为L．

第5页（共26页）

（1）计算浇制一节L＝20dm的管道需要多少立方分米的混凝土（结果保留）；

（2）现浇制了10节与上述内径、外径相同，长度分别为20dm、40dm的两种π管道，所用混凝土总体积

为336dm3，求浇制两种长度的管道各多少节？

π

第6页（共26页）

2027年中考数学复习难题速递之一元一次方程（2026年7月）

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

题号12345678

答案BBBADDAB

一．选择题（共8小题）

1．“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路

快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．“不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六

百步，问孰至于前，两者几何步隔之？”即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢

的人再走600步时，假定两者步长相等，则两人相隔的步数为（）

A．250B．300C．350D．400

【考点】一元一次方程的应用；数学常识．

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【答案】B

【分析】设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，根据同样时间段内，走路快的人能走

100步，走路慢的人只能走60步，列方程求解即可．

【解答】解：设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，

由题意得：x：600＝100：60，

∴x＝1000，

∴1000﹣600﹣100＝300，

答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步；

故选：B．

【点评】本题考查了应用一元一次方程求解古代行程数学问题，列式计算，关键是根据题意抓住等量关

系列出方程．

2．有甲、乙两家汽车销售公司，甲公司“五一黄金周”销售了24辆A型汽车，______，问乙公司“五一

黄金周”销售了A型汽车多少辆？如果设乙公司销售了A型汽车x辆，解决这个问题列出的方程为

“x+20%x＝24”，则横线上的信息是（）

A．甲公司销售A型汽车的数量比乙公司减少20%

第7页（共26页）

B．甲公司销售A型汽车的数量比乙公司增加20%

C．乙公司销售A型汽车的数量比甲公司减少20%

D．乙公司销售A型汽车的数量比甲公司增加20%

【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．

【答案】B

【分析】根据甲公司“五一黄金周”销售了24辆A型汽车，结合列出的方程，可以得到横线上的信息．

【解答】解：根据题意，横线上的信息是甲公司销售A型汽车的数量比乙公司增加20%．

故选：B．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．

3．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本

人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元，有下列结论：

①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多；

②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少；

③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20．

其中，正确结论的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

【考点】一元一次方程的应用．

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．

【答案】B

【分析】通过建立方程比较两种付费方式在不同条件下的总费用或次数，逐一验证各结论的正确性即可．

【解答】解：①设方式一的游泳次数为x次，则总费用为：200+10x＝300，

解得x＝10；

方式二的次数为：300÷20＝15（次），

∵10＜15，

故结论①错误；

②游泳25次时，方式一总费用为：200+10×25＝450（元）；

方式二为：20×25＝500（元），

∵450＜500，

故结论②错误；

第8页（共26页）

③设游泳次数为y次，依题意得：200+10y＝20y，

解得y＝20，

∵此时两种方式费用相等，

∴结论③正确，

综上所述，正确结论为③，共1个，

故选：B．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键找准等量关系，列出一元一次方程．

4．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问

甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙两人不知有多少钱．若甲得到乙钱数的一半，则甲有50钱；若

乙得到甲钱数的，则乙也有50钱．问甲、乙各有多少钱？设甲有x钱，则根据题意列方程（）

2

A．3B．

212

2(50−�)+�=50(50−�)+�=50

C．3D．23

22

(50−�)+�=50(50−�)+�=50

【考点】由实际3问题抽象出一元一次方程．3

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【答案】A

【分析】设甲有x钱，根据甲得到乙钱数的一半，则甲有50钱可知乙有2（50﹣x）钱，再根据乙得到

甲钱数的，则乙也有50钱列出方程即可．

2

【解答】解3：根据题意可得：，

2

故选：A．2(50−�)+3�=50

【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，理解题意是关键．

5．在一副三角尺中∠BPA＝45°，∠CPD＝60°，∠B＝∠C＝90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，

边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒

3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边

与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动．当三角尺PCD的边与PB平行时，运动时间为（）

秒．

第9页（共26页）

A．39B．36C．34D．33

【考点】一元一次方程的应用；平行线的性质．

【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；应用意识．

【答案】D

【分析】设运动时间为t秒，根据题意只有CD能与PB平行，由题意知，∠CPN＝60°+3t°，∠MPB

＝45°+2t°，列得60+3t+45+2t﹣90＝180，解得t＝39．

【解答】解：∵PC，PD与PB有公共点P，

∴只有CD能与PB平行，

设运动时间为t秒，

如图，由题意知，∠CPN＝60°+3t°，∠MPB＝45°+2t°，

∵CD∥PB，

∴∠C+∠CPB＝180°，

∴∠CPB＝90°，

∴60+3t+45+2t﹣90＝180，

解得t＝33，

∵三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时，

t40，

120

∴=t＝333=符合题意；

故选：D．

【点评】此题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质，动图形问题，正确进行计算是解题关键．

6．杨老师带七（1）班的同学外出参加社会实践活动，在分配房间时发现如果4人住1间，结果有2人没

有房间住；如果5人住一间，最后一间未住满，还差3人．问：杨老师总共带了多少名学生参加这次活

动？设共有x个房间，依题意列方程得（）

A．5（x﹣3）＝4（x+2）B．5x+3＝4x﹣2

C．5（x+3）＝4（x+2）D．5x﹣3＝4x+2

第10页（共26页）

【考点】一元一次方程的应用．

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【答案】D

【分析】分别用房间数x表示两种住宿方式下的总人数，再根据总人数不变列方程即可．

【解答】解：设共有x个房间，

∵如果4人住1间，结果有2人没有房间住，

∴总人数＝4x+2；

∵如果5人住一间，最后一间未住满，还差3人，

∴总人数＝5x﹣3；

即得一元一次方程，5x﹣3＝4x+2．

综上所述，只有选项D正确，符合题意，

故选：D．

【点评】本题考查了列一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．

7．如图，矩形ABCD内有3个边长为5的小正方形，小正方形的顶点均落在矩形ABCD的边上，其中顶

点E落在AB的中点处，则矩形ABCD的面积为（）

A．150B．172C．125D．136

【考点】一元一次方程的应用；一元二次方程的应用；相似三角形的判定与性质．

【专题】一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；图形的相似；运算能力．

【答案】A

【分析】如图，设AF＝x，AE＝y，证明△AEF∽△DFG，△DFG∽△CGH，求出DG＝3x，DF＝3y，

CG＝y，则CD＝3x+y，AD＝x+3y，在Rt△AEF中，由勾股定理得：x2+y2＝52＝25，根据E是AB中点，

得AB＝2AE＝2y，则2y＝y+3x，即y＝3x，即可得出AD＝x+3y＝10x，把y＝3x代入x2+y2＝25，得：

x2+（3x）2＝25，得出x2＝2.5，再根据矩形ABCD的面积S＝AB×AD求解即可．

【解答】解：如图，设AF＝x，AE＝y，

第11页（共26页）

根据题意可得∠A＝∠D＝∠C＝∠EFG＝∠FGH＝90°，EF＝5，FG＝3×5＝15，AB＝CD，

∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝∠3+∠4＝90°，

∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，

∴△AEF∽△DFG，△DFG∽△CGH，

∴，（相似三角形对应边成比例），

𝐴𝐴��1𝐶𝐷��1

======

∴�D�G＝3�x，�DF�＝�3y，3CG�＝�y，𝐴��3

∴CD＝3x+y，AD＝x+3y，

∵x2+y2＝52＝25，

∵E是AB中点，

∴BE＝AE＝y，

∴AB＝2AE＝2y，

∴2y＝y+3x，即y＝3x，

∴AD＝x+3y＝10x，

把y＝3x代入x2+y2＝25，得一元二次方程：x2+（3x）2＝25，

∴x2＝2.5，

∴S＝AB×AD＝2y×10x＝2×3x×10x＝60x2＝60×2.5＝150，即矩形ABCD的面积为150，

故选：A．

【点评】本题考查了

8．下列是一元一次方程的是（）

A．x≠0B．2（x﹣3）＝3xC．3x+2y＝7D．

1

【考点】一元一次方程的定义．�−1=�

【专题】方程与不等式；运算能力．

【答案】B

【分析】根据一元一次方程的定义逐一判断各选项即可．

【解答】解：A：x≠0是不等式，不符合；

B．2（x﹣3）＝3x，化简得﹣6＝x，是整式方程且仅含未知数x，次数为1，符合条件；

第12页（共26页）

C．3x+2y＝7含两个未知数，不符合；

D．右边不是整式，不符合；

1

故选�B−．1=�

【点评】本题考查了一元一次方程的定义，正确计算是解题关键．

二．填空题（共6小题）

9．一种水稻磨米机的进料漏斗由圆柱和圆锥两部分组成，圆柱和圆锥的底面直径都是4dm，圆柱高2dm，

圆锥高4.2dm．每立方分米稻谷大约重0.64kg，稻谷的出米率是70%，下列四个结论：

①若将圆锥的高增加1.8dm，圆柱的高减少1dm，漏斗的总体积不变；

②该漏斗装满稻谷时，稻谷的总质量约为27kg，按70%的出米率计算，大约能磨出18.9kg大米；

③若用一个与该漏斗等底，高为6.2dm的圆柱形容器装稻谷，它的体积是漏斗总体积的1.5倍；

④若将漏斗的底面直径扩大到原来的2倍，高不变，那么能装的稻谷质量会扩大到原来的4倍．

其中正确结论的序号是②④．

【考点】一元一次方程的应用；圆柱的体积；圆锥的体积．

【专题】与圆有关的计算；运算能力．

【答案】②④．

【分析】求出该漏斗装体积为3.14×（）2×23.14×（）2×4.2≈42.704（dm3），再根据圆柱的

414

+×

体积公式和圆锥的体积公式逐项判断即2可．32

【解答】解：该漏斗装体积为3.14×（）2×23.14×（）2×4.2≈42.704（dm3），

414

+×

若将圆锥的高增加1.8dm，圆柱的高减少21dm，漏斗3的总体积为23.14×（）2×（2﹣1）3.14×（）

414

23+×

×（4.2+1.8）＝37.68（dm），故①错误；232

∵27×70%＝18.9（kg），

∴大约能磨出18.9kg大米，故②正确；

∵3.14×（）2×6.2≈77.872（dm3），77.872÷42.704≈1.8（倍），

4

∴若用一个2与该漏斗等底，高为6.2dm的圆柱形容器装稻谷，它的体积是漏斗总体积的1.8倍，故③错

第13页（共26页）

误；

∵3.14×42×23.14×42×4.2≈42.704（dm3）≈170.816，170.816÷42.704＝4（倍），

1

∴将漏斗的底面+直3×径扩大到原来的2倍，高不变，那么能装的稻谷质量会扩大到原来的4倍，故④正

确；

故答案为：②④．

【点评】本题考查圆柱的体积，圆锥的体积，解题的关键是读懂题意，掌握圆柱的体积公式和圆锥的体

积公式．

10．如图，AB，CD是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点A与点C重合，点B与点D重合），

现将AB沿直线l向左平移k厘米，将CD沿直线l向右平移2k厘米，当B，C是线段AD的三等分点

时，k的值为或．

416

33

【考点】一元一次方程的应用．

【专题】几何图形问题；分类讨论；一次方程（组）及应用；几何直观；应用意识．

【答案】或．

416

【分析】3根据3B，C是线段AD的三等分点，可得AC＝CB＝BD＝4厘米或AB＝BC＝CD＝8厘米，依

此即可求解．

【解答】解：依题意有：k+2k＝8÷2，

解得k．

4

或依题=意3有：k+2k＝8+8，

解得k．

16

=

故k的值为3或．

416

故答案为：3或3．

416

【点评】本题3考3查了一元一次方程的应用，关键是根据题意正确列出方程．

11．一列火车正在匀速行驶，它先用26秒的时间通过了长256米的隧道甲（即从火车头进入入口到车尾

离开出口），又用16秒的时间通过了长96米的隧道乙．则下列结论：

①这列火车长160米．

第14页（共26页）

②这列火车的行驶速度为每秒16米．

③若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时10秒．

④若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半．

其中正确的结论是①②④．（填写所有正确结论的序号）

【考点】一元一次方程的应用．

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．

【答案】①②④．

【分析】设这列火车的长度为x米，根据速度＝路程÷时间结合火车的速度不变，列出一元一次方程，

求出这列火车长度，即可解决问题．

【解答】解：①设这列火车的长度为x米，

依题意得：，

�+256�+96

=

解得：x＝1602，616

即这列火车长度为160米，故①正确；

②这列火车的行驶速度为：（160+96）÷16＝16（米/秒），故②正确；

③这列火车通过长160米的隧道丙需用时：（160+160）÷16＝20（秒），故③错误；

④（160+256）÷16＝26（秒），（160+256）÷（16×2）＝13（秒），

即若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半，故④正确；

故答案为：①②④．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

12．对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数，如：[5.28]＝5，[﹣3.14]＝﹣4，则满足的x的

2�−5

整数解是9．[3]=4

【考点】解一元一次方程；有理数大小比较．

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【答案】9．

【分析】根据题意列出不等式组，求出整数解即可．

【解答】解：符号[x]表示不大于x的最大整数，则：

∵，

2�−5

[]=4

∴3＜，

2�−5

4≤35

第15页（共26页）

12≤2x﹣5＜15，

17≤2x＜20，

8.5≤x＜10，

∴x的整数解是9．

故答案为：9．

【点评】本题考查解一元一次方程，正确进行计算是解题关键．

13．甲、乙两个图书馆各有一批数学类藏书．若从甲馆调数学类藏书90本到乙馆，此时乙馆数学类藏书

是甲馆的2倍；若从乙馆调数学类藏书若干本到甲馆，此时甲馆数学类藏书是乙馆的3倍．则甲图书馆

原有数学类藏书最少166本．

【考点】一元一次方程的应用．

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【答案】166．

【分析】设甲、乙原有藏书分别为x本和y本，设从乙调n本到甲，根据题意列方程，结合x，y，n均

为正整数的条件，求解x的最小值即可．

【解答】解：设甲图书馆原有藏书x本，乙图书馆原有藏书y本，从乙馆调n本到甲馆，其中x，y，n

均为正整数．

根据题意可得，

�=2�−270①

将①代入②得�：+x+44�n=＝3�（②2x﹣270）移项整理得：

5x＝4n+810变形得：，

5�−810

∴n＞0，且5x﹣810能�被=4整4除．

由n＞0得＞，解得x＞162．

5�−810

0

当x＝163时，45×163﹣810＝5，不能被4整除，不符合题意；

当x＝164时，5×164﹣810＝10，不能被4整除，不符合题意；

当x＝165时，5×165﹣810＝15，不能被4整除，不符合题意；

当x＝166时，5×166﹣810＝20，能被4整除，符合题意；

∴x的最小值为166．

故答案为：166．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用，理解题意是关键．

14．如图，将一副三角板按如图方式摆放，使点A、O、D三点共线，点O、B、C三点共线．若△OAB以

第16页（共26页）

7°/s的速度绕点O顺时针旋转半周，同时△OCD以2°/s的速度绕点O逆时针旋转，且当△OAB停止

运动时，△OCD也随之停止运动，设运动时间为ts，则当t＝或时，直线AB与直线CD互相

565

垂直．33

【考点】一元一次方程的应用；角的计算．

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【答案】或．

565

【分析】根3据3Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，Rt△COD中，∠COD＝90°，∠

DCO＝30°，∠CDO＝60°，在t秒时，△OAB转过7t°，△OCD转过2t°，两个三角形共转过7t°

+2t°＝9t°，分两种情况作答即可．

【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，在Rt△COD中，∠COD＝90°，

∠DCO＝30°，∠CDO＝60°，

由题意可得：在t秒时，△OAB转过7t°，△OCD转过2t°，

∴两个三角形共转过7t°+2t°＝9t°，

当直线AB与直线CD互相垂直时，设垂足为点M，AB交OC于点E，

则∠CME＝90°，

∴∠BEC＝90°﹣∠C＝60°，

∴∠BOC＝∠BEC﹣∠B＝15°，

∴9t＝15，

解得；

5

当直线�=A3B再次与直线CD互相垂直时，设垂足为点G，在射线GO上取点P，

第17页（共26页）

则∠POB＝∠B+∠BGO，∠POC＝∠C+∠CGO，

∴∠BOC＝∠POB+∠POC

＝∠B+∠BGO+∠CGO+∠C

＝∠B+∠BGC+∠C

＝165°，

∴转过360°﹣165°＝195°，

∴9t＝195，

解得；

65

�=

综上，t的3值为或．

565

故答案为：或3．3

565

【点评】本题3考3查一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键．

三．解答题（共6小题）

15．在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）

在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则：

•A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）；

•B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的1.2倍．

已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为60min；一台B类机器人起跑

后，前25min保持匀速，速度是这台A类机器人的1.1倍，之后原地维护10min，维护后匀速跑至终点，

速度比维护前增加了70m/min，完赛成绩为72min．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点

的路程．

【考点】一元一次方程的应用．

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．

【答案】这台A类机器人的速度为350m/min，此次比赛从起点到终点的路程为21000m．

【分析】设这台A类机器人的速度为xm/min，则此次比赛从起点到终点的路程为60xm，利用路程＝速

第18页（共26页）

度×时间，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即这台A类机器人的速度），再将其代

入60x中，即可求出此次比赛从起点到终点的路程．

【解答】解：设这台A类机器人的速度为xm/min，则此次比赛从起点到终点的路程为60xm，

根据题意得：25×1.1x+（25﹣10）（1.1x+70）＝60x，

72

−

解得：x＝350，1.2

∴60x＝60×350＝21000（m）．

答：这台A类机器人的速度为350m/min，此次比赛从起点到终点的路程为21000m．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

16．我市计划将某区域打造为特色文旅商业街区，目前一期工程已基本竣工，即将启动道路硬化施工．该

工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要32天．现甲、乙两队合作施工一段时间后，甲队

另有任务离开，剩下的工程由乙队单独完成，乙队单独完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少8

天．

（1）求甲、乙两队合作施工的时间；

（2）施工完成后，两队共获得工程款45万元，若按每队完成的工程总量进行分配，甲、乙两队各应获

得工程款多少万元？

【考点】一元一次方程的应用．

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【答案】（1）12天；

（2）甲、乙两队应获得的工程款都为22.5万元．

【分析】（1）设甲、乙两队合作施工的时间为x天，根据甲、乙工作效率及实际工作情况列方程求解

即可；

（2）求出甲、乙两队各自的施工总量，按比例分配工程款即可．

【解答】解：（1）设甲、乙两队合作施工的时间为x天，该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单

独完成需要32天．则：

，

11�−8

解(2得4+，3x2＝)1�2+，32=1

因此，甲、乙两队合作施工的时间为12天；

（2）甲队施工总量为．则乙队施工总量为，

1111

×12=1−=

即甲队施工总量＝乙队2施4工总量，222

第19页（共26页）

45÷2＝22.5．

因此，甲、乙两队应获得的工程款都为22.5万元．

【点评】本题考查一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键．

17．先阅读下列解题过程，然后解答问题：

解方程：|2x+3|＝5．

解：当2x+3≥0时，原方程可化为2x+3＝5，解得x＝1；

把x＝1代入2x+3得：2×1+3＞0，成立；

当2x+3＜0时，原方程可化为2x+3＝﹣5，解得x＝﹣4．

把x＝﹣4代入2x+3得：2×（﹣4）+3＜0，成立；

∴原方程的解为x＝1或x＝﹣4．

灵活运用上面的解题方法解下列方程：

（1）解方程|3x﹣1|＝8；

（2）解方程|2x﹣1|＝3x﹣5．

【考点】含绝对值符号的一元一次方程．

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．

【答案】（1）x＝3或；

7

（2）x＝4．�=−3

【分析】（1）分为两种情况：①当3x﹣1≥0时，②当3x﹣1＜0时，去掉绝对值符号后求出即可；

（2）分为两种情况：①当2x﹣1≥0时，②当2x﹣1＜0时，去掉绝对值符号后求出即可．

【解答】解：（1）解方程|3x﹣1|＝8，

①当3x﹣1≥0时，原方程可化为3x﹣1＝8，解得x＝3；

把x＝3代入3x﹣1得：3×3﹣1＞0，成立；

②当3x﹣1＜0时，原方程可化为3x﹣1＝﹣8，解得；

7

�=−

把代入3x﹣1得：＜，成立；3

77

�=−3×(−)−10

∴原方程3的解为x＝3或．3

7

（2）解方程|2x﹣1|＝3x﹣�=5，−3

①当2x﹣1≥0时，原方程可化为2x﹣1＝3x﹣5，解得x＝4；

把x＝4代入2x﹣1得：2×4﹣1＞0，成立；

第20页（共26页）

把x＝4代入3x﹣5得：3×4﹣5＞0，成立；

②当2x﹣1＜0时，原方程可化为﹣2x+1＝3x﹣5，解得；

6

�=

把代入2x﹣1得：＞，不成立；5

66

∴原�=方5程的解为x＝4．2×5−10

【点评】本题考查含绝对值的一元一次方程，正确进行计算是解题关键．

18．近几年，黑龙江冰雪旅游热度持续升高．据有关部门统计，2026年春节“黄金周”哈尔滨市接待游客

总数约为13663000人次，旅游人数的增加促进了当地的餐饮、住宿、交通等经济的提升，同时也促进

了旅游文创产品工艺的发展．为了生产文创产品，某工厂需要购进A、B两种生产原料，若该工厂第一

批购进A种原料84吨，并且购进A种原料吨数比购进B种原料吨数的多4吨．

5

（1）求该工厂第一批购进B种原料多少吨？6

（2）已知每吨A种原料进货价格与每吨B种原料进货价格的比为4：3，若干天后，该厂再次采购A

种原料和B种原料共花费72000元，若第二批采购的A种原料吨数是第一批A种原料吨数的50%，B

种原料吨数比第一批B种原料吨数少了，求每吨A种原料的进价为多少元？

1

（3）在（2）中两种原料的进货单价都不3变的情况下，第三次采购计划如下：

①A种原料和B种原料共采购240吨；

②A种原料吨数比B种原料吨数的70%多2吨．

并且第三次采购时供应商给出甲、乙、丙三种优惠方案：

甲方案：总费用每满8000元减1200元，不满8000元不减；

乙方案：每购进7吨B种原料则赠送2吨A种原料，不满7吨不送；

丙方案：总货款前50000元打9折，50000至100000的部分打8折，100000到150000的部分打7折，

150000以上的部分打6折．

问第三批采购选择哪种方案总花费最少？请通过计算说明．

【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算．

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．

【答案】（1）该工厂第一批购进B种原料96吨；

（2）每吨A种原料的进价为800元；

（3）第三批采购选择丙方案总花费最少．

【分析】（