2027版中考数学难题速递：图形的相似

2027年中考数学复习难题速递之图形的相似（2026年7月）

一．选择题（共10小题）

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，

使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩

形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去，则边AC2026的长为（）

A．B．

5202652026

C．5×(2)D．2×(2)

20262026

2．如图，5×点2E为正方形ABCD上一点，2BE＝CE，2连×接(A5E)，点F为点B关于AE的对称点，连接BF并

延长，交CD于点G，连接AG，过点B作BH⊥AG于点H，连接DH，则的值为（）

�△𝐺�

�△𝐺�

A．B．C．D．

4753

．如图，在△中，＝2＝，∠＝°，以点为圆心，长为半径作圆弧交于，连接

33ABCACBC8C906AAC8ABE

CE，再分别以C、E为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC与点D，

1

𝐶

连接DE，则下列说法中错误的是（2）

第1页（共49页）

A．DE＝CDB．△BDE∽△BACC．AB＝AC+DED．

4．如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，连接AF，BG，C�H�，=D8E，2形−成8四边形MNPQ．设

四边形MNPQ的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，则（）

�1

=

�2

A．B．C．D．

1111

5．如图3，正方形ABCD中，E4为AB边上一点，连接5CE、BD交于点G，过6点B作BF⊥CE于点F，过点

D作DH⊥BF，交BF的延长线于点H，连接AH，若，则的值为（）

𝐶1��

=

��4��

A．B．C．D．

172172162202

．如图，在△中，是∠的平分线，与交于点，∠＝∠，下列结论中正确的个

640ABCAD32BACCE17ADMACE17B

数是（）

①△ACM∽△ABD；

②△ACE∽△ABC；

③△AEM∽△CDM；

④△AME∽△ACD．

第2页（共49页）

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．如图，在矩形ABCD中，过点A作AE⊥BD，垂足为F，交BC于点E，CE＝3BE，下列结论：①△

BEF∽△DBA；②3BF＝DF；③：：；④S四边形CDFE：S△ABF＝9：2，其中正确的结论有

（）��𝐺=125

A．4个B．3个C．2个D．1个

8．某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体．即

��

=

，在数轴（如图2）上最接近的点是（）��

5−15−1

22

A．PB．QC．MD．N

9．如图，在矩形ABCD中，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB于点F，连接BE，CF，下列结论：

①△AEF∽△CDA；②DF平分∠AFC；③∠ACF＝∠ABE；④若F是AB的中点，则．其中

𝐺2

=

正确的结论有（）𝐺3

A．1个B．2个C．3个D．4个

10．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正

第3页（共49页）

方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，在EA的延长线上取点F，使EF＝BE，以AF为边作正方形

AFGH．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

二．填空题（共5小题）

11．如图，在正方形ABCD中，，点E为正方形ABCD外一点，连接AE分别交BD，CD于点F，

��=25

G．若∠AFD+∠AEC＝180°，，则CE的长为．

��2

=

𝐺3

12．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），以AB为边在第一象限内

作正方形ABCD，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形A'B'C'D'，使其与正方形ABCD位似，

且OA：OA'＝2：1，则点C'的坐标是．

13．如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH，连接AG

并延长交线段BC于点P，当BP：PC＝2：3时，．

��

=

��

第4页（共49页）

14．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．一次游戏中，小明的手BE距离墙壁2米（即BE

与DC之间的距离为2米），光源A与小明手之间的距离为3米（即点A到BE的距离），如图所示．若

在光源不动的情况下，小明的手BE＝12cm，则手影CD的长为cm．

15．如图，O与正八边形ABCDEFGH的边AH和EF分别相切于点A和点E，劣弧AE的长为，则

32�

正八边形⊙的边长为．

ABCDEFGH2

三．解答题（共5小题）

16．【材料理解】

素材1：凸多边形是指多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧（北师大数学七年级上册教材P128）．

例：如图1，四边形ABCD是凸四边形，四边形EFPQ不是凸四边形．

素材2：过多边形的一个顶点的线段把该多边形分成相似的两部分，则称该多边形为“顶似多边形”，

这条过顶点的线段称为“顶似线”．

【特例感知】

如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，则△ABC是“顶似三角形”．

分析：∽，相似比是．

则等腰△ABC是“顶似三角形”，AD是它的“顶似线”．

第5页（共49页）

（1）请补充以上分析过程中横线上的内容．

【问题解决】

（2）如图3，在Rt△DEF中，∠E＝90°，△DEF是“顶似三角形”吗？请证明你的结论．

【拓展延伸】

（3）如图4，在△PMN中，∠N＝45°，∠M＝105°，．

①直接写出：PN＝𝑀，=PM2＝，△PMN的面积

为；

②凸四边形MNPQ是“顶似四边形”，它的唯一一条“顶似线”过点M．请在△PMN的基础上，用

直尺作出凸四边形MNPQ，并求出它的面积．

17．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．

（1）发现：如图1所示，BD是矩形ABCD的对角线，过点A作AE⊥BD交BD于点E，交BC于点F，

则∠BAE与∠CBD的数量关系是，写出一个与△ABF相似的三角

形；

（2）探究：如图2，点G是矩形ABCD边BC上一点，连接DG，过点A作AE⊥DG于点E，交BC于

点F，BG＝GF，求BG的长；

（3）拓展：点P为BC边上的三等分点，点E是AD中点，点F在BC上，将矩形ABCD沿直线EF

翻折，点P恰好落在边CD上的点Q处，求PF的长．

第6页（共49页）

18．黄金矩形是一种特殊的长方形，它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．数学活动课上，老师

5−1

带领同学们运用已学的二次根式知识，按如下方式构造了黄金矩形，步骤如下：

ABCD2

①作正方形ABEF，边长AB＝1；

②取AF的中点M；

③以M为圆心，ME为半径画弧，交AF延长线于点D；

④过点D作AD的垂线，交BE延长线于点C．

经计算，该矩形的宽与长的比值为：，所以ABCD为黄金矩形．

��125−1

=5+1==

𝐺5+12

2

素材1：；素材2：．

15+15+1

(5−1)(5+1)=4==

请选用以上任一素材解决以下问题：5−1(5−1)(5+1)4

（1）化简：；

1111

+++⋯+

（2）判断图中2的+1长方形3+EF2DC2是+否3是黄金矩形2，02并6+说2明0理25由．

19．在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，过点D作DE⊥OA，

垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G．

【观察猜想】

第7页（共49页）

如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系：；

【类比探究】

如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然

成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明；

【拓展应用】

当0°＜∠AOB＜180°，且∠AOB≠90°时，若EG＝2EF，请直接写出的值．

𝐺

��

20．在四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直

线BC，CD于点F，G．

（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：BF＝CG；

（2）若四边形ABCD是矩形，且AB＝3，BC＝4．

①如图2，当点F在CB的延长线上时，求的值；

𝐸

②当CG＝1时，请直接写出CE的长度．��

第8页（共49页）

2027年中考数学复习难题速递之图形的相似（2026年7月）

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

题号12345678910

答案ACDCDBCCBB

一．选择题（共10小题）

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，

使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩

形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去，则边AC2026的长为（）

A．B．

5202652026

C．5×(2)D．2×(2)

20262026

【考点5】×2相似多边形的性质；规律型：图形的变化2类×；(矩5)形的判定与性质．

【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力．

【答案】A

【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解

决问题．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD⊥DC，

∴AC，

2222

∵按逆=时�针�方+向�作�矩=形A1BC+D2的=相似5矩形ACC1B1，

∴矩形ACC1B1的边长和矩形ABCD的相似比为：2，

∴矩形ACC1B1的对角线和矩形ABCD的对角线的5比：2，

5

第9页（共49页）

∵矩形ABCD的对角线为，

5

∴矩形ACC1B1的对角线AC1，

55

依此类推，矩形AC1C2B2的对=角线5×和矩2形=A2CC1B1的对角线的比为：：2，

25

∴矩形AC1C2B2对角线AC2（），

5

5

=×3

∴矩形AC2C3B3的对角线AC3（2），

5

5

=×n

按此规律第n个矩形的对角线An2（），

5

5

2026∁=×

∴AC2026（）．2

5

故选：．=5×

A2

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质“相似多边形对应边的比叫做相似比”，

解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．

2．如图，点E为正方形ABCD上一点，2BE＝CE，连接AE，点F为点B关于AE的对称点，连接BF并

延长，交CD于点G，连接AG，过点B作BH⊥AG于点H，连接DH，则的值为（）

�△𝐺�

�△𝐺�

A．B．C．D．

4753

【考点】相似三角形的判定2与性质；正方形的性质；轴对称的性质．

368

【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．

【答案】C

【分析】证明△CBG≌△BAE（ASA），推出CG＝BE，设CG＝BE＝a，求得，利用等积法

求得，利用勾股定理求得，再求得，再利用��同=高的13两�个三角形面积

913�613�713�

的比等��于=底的1比3即可求解．��=13��=13

【解答】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，

解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题．解：∵正方形ABCD，

∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，

第10页（共49页）

∵点F为点B关于AE的对称点，

∴BG⊥AE，

∴∠CBG＝90°﹣∠AEB＝∠BAE，

∴△CBG≌△BAE（ASA），

∴CG＝BE，

设CG＝BE＝a，

∴CE＝2BE＝2a，

∴AB＝BC＝CD＝DA＝3a，

∴DG＝2a，

∴，

22

∵B�H�⊥=AG�，�+��=13�，

11

�△���=��×��=��×��

∴2，2

��×��3�⋅3�913�

��===

∴��13�13，

222913�2613�

��=��−��=(3�)−()=

∴13，13

613�713�

∴��=��−��=．13�−13=13

�△𝐺���7

==

故选�△：𝐺C�．��6

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正

确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题．

3．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠C＝90°，以A点为圆心，AC长为半径作圆弧交AB于E，连接

CE，再分别以C、E为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC与点D，

1

𝐶

连接DE，则下列说法中错误的是（2）

A．DE＝CDB．△BDE∽△BACC．AB＝AC+DED．

𝐺=82−8

第11页（共49页）

【考点】相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；作图—基本作图．

【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；尺规作图；运算能力；

推理能力．

【答案】D

【分析】由题意得到AP垂直平分CE，推出DE＝CD，判定△AED≌△ACD（SSS），得到∠AED＝∠

ACB＝90°，判定△BDE∽△BAC，判定△BED是等腰直角三角形，得到BE＝DE，因此AB＝AC+DE，

由△ABC是等腰直角三角形，求出ABAC＝8，得到DE＝BE＝AB﹣AE＝88，由垂线段最

短得到BD＞88．=222−

【解答】解：由2题−意得到AP垂直平分CE，

∴DE＝CD，

故A不符合题意；

∵AC＝AE，CD＝ED，AP＝AP，

∴△AED≌△ACD（SSS），

∴∠AED＝∠ACB＝90°，

∴∠BED＝180°﹣90°＝90°，

∴∠BED＝∠ACB，

∵∠DBE＝∠ABC，

∴△BDE∽△BAC，

故B不符合题意；

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B＝45°，

∵∠BED＝90°，

∴△BED是等腰直角三角形，

∴BE＝DE，

∵AB＝AE+BE，AE＝AC，

∴AB＝AC+DE，

故C不符合题意；

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴ABAC＝8，

=22第12页（共49页）

∴BE＝AB﹣AE＝88，

∴DE＝88，2−

∵DE⊥AB2，−

∴BD＞DE，

∴BD＞88，

故D符合题2意−．

故选：D．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形，作图﹣基本作

图，关键是判定AP垂直平分CE．

4．如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，连接AF，BG，CH，DE，形成四边形MNPQ．设

四边形MNPQ的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，则（）

�1

=

�2

A．B．C．D．

1111

【考3点】相似三角形的判定4与性质；正方形的性质5；中点四边形．6

【专题】图形的相似；推理能力．

【答案】C

【分析】先证明△ABF≌△DAE得到∠BAF＝∠ADE，再证明∠AQD＝∠MQP＝90°，同样方法得到∠

QMN＝∠MNP＝90°，则四边形PQMN为矩形，根据平行线分线段成比例定理，由PQ∥MN得到

𝐴

=

1，则AQ＝QM，同样方法得到DP＝PQ，接着证明△ABM≌△DAQ得到AM＝DQ，所以�A�Q＝

𝐶

=

�Q�M＝DP＝PQ，于是可判断四边形PQMN为正方形，设AQ＝x，则PQ＝DP＝x，在Rt△ADQ中利用

勾股定理得到ADx，然后根据正方形的面积公式计算的值．

�1

=5

【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，�2

∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABC＝∠BAD＝90°，

第13页（共49页）

∵E、F分别为AB、BC的中点，

∴AE＝BF，

在△ABF和△DAE中，

，

��=��

∠�𝐸=∠�𝐶

∴�△�=AB�F�≌△DAE（SAS），

∴∠BAF＝∠ADE，

∵∠BAF+∠DAF＝90°，

∴∠ADE+∠DAF＝90°，

∴∠AQD＝90°，

∴∠MQP＝90°，

同理可得∠QMN＝∠MNP＝90°，

∴四边形PQMN为矩形，

∴PQ∥MN，

∴1，

𝐴𝐶

==

即�A�Q＝Q�M�，

同理可得DP＝PQ，

在△ABM和△DAQ中，

，

∠���=∠���

∠���=∠𝐺�

∴�△�=AB�M�≌△DAQ（AAS），

∴AM＝DQ，

∴AQ＝QM＝DP＝PQ，

∴四边形PQMN为正方形，

设AQ＝x，则PQ＝DP＝x，

在Rt△ADQ中，∵AQ＝x，DQ＝2x，

∴ADx，

22

∴=�+(2�)．=5

2

�1�1

=2=

故选�2：C(．5�)5

第14页（共49页）

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公

共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示

线段之间的关系或计算相应线段的长．也考查了正方形的判定与性质．

5．如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE、BD交于点G，过点B作BF⊥CE于点F，过点

D作DH⊥BF，交BF的延长线于点H，连接AH，若，则的值为（）

𝐶1��

=

��4��

A．B．C．D．

172172162202

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

40321717

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力；推理能

力．

【答案】D

【分析】设BE＝m，AD交BH于点Q，由正方形的性质及，得AD＝DC＝BC＝AB＝4BE＝4m，

𝐶1

=

AB∥DC，∠DAB＝∠ABC＝90°，则BDAB＝4m，��CE4m，可证明△BEG

22

2𝐶+��17

∽△DCG，得，则EG=C2Em，再证明=△ABQ≌△BC=E，得AQ＝BE＝m，BQ

��𝐶𝐶1117

=====

＝CEm，��可证明��△AQ�B�∽△4HQD，得55，变形为，而∠AQH＝∠BQD，则△AQH

𝐴𝐴𝐴𝐴

=17==

∽△BQD，求得，则AH𝐴BD��m，进𝐴而求�得�，于是得到问题的答

��𝐴1717434��202

=====

案．𝐺𝐴171717��17

【解答】解：设BE＝m，AD交BH于点Q，

∵四边形ABCD是正方形，E为AB边上一点，，

𝐶1

=

∴AD＝DC＝BC＝AB＝4BE＝4m，AB∥DC，∠�D�AB＝4∠ABC＝90°，

∴BDAB＝4m，CEm，

222222

∵BE∥=DC�，�+��=22=𝐶+��=�+(4�)=17

∴△BEG∽△DCG，

第15页（共49页）

∴，

��𝐶𝐶1

===

∴E��G��CE��CE4m，

1117

∵BF⊥=C1+E4于点=F5，D=H⊥5BF，交BF的延长线于点H，

∴∠DHQ＝∠BFE＝90°，

∵∠ABQ+∠CEB＝90°，∠BCE+∠CEB＝90°，

∴∠ABQ＝∠BCE，

在△ABQ和△BCE中，

，

∠���=∠���

��=��

∴∠△��A�BQ=≌∠�△�B�CE（ASA），

∴AQ＝BE＝m，BQ＝CEm，

∵∠BAQ＝∠DHQ＝90°=，∠1A7QB＝∠HQD，

∴△AQB∽△HQD，

∴，

𝐴𝐴

=

∴𝐴��，

𝐴𝐴

=

∵∠𝐴AQH�＝�∠BQD，

∴△AQH∽△BQD，

∴，

��𝐴�17

===

∴A�H�𝐴BD17�417mm，

1717434

=17=17×2=17

∴434，

��17�202

=17=

��17

故选：D．5�

【点评】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三

第16页（共49页）

角形的判定与性质等知识，正确理解和应用全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题

的关键．

6．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE与AD交于点M，∠ACE＝∠B，下列结论中正确的个

数是（）

①△ACM∽△ABD；

②△ACE∽△ABC；

③△AEM∽△CDM；

④△AME∽△ACD．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【考点】相似三角形的判定．

【专题】图形的相似；推理能力．

【答案】B

【分析】利用两角分别相等的两个三角形相似逐一分析判断即可．

【解答】解：∵∠ACE＝∠B，∠BAC＝∠CAE，

∴△ACE∽△ABC，故②符合题意；

∴∠AEC＝∠ACB，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD＝∠CAM，

∴△ACM∽△ABD，△AEM∽△ACD；故①符合题意，④不符合题意；

△AEM与△CDM只有一组角相等，无法证明相似，

∴故③不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和角平分线的含义是解题的

关键．

第17页（共49页）

7．如图，在矩形ABCD中，过点A作AE⊥BD，垂足为F，交BC于点E，CE＝3BE，下列结论：①△

BEF∽△DBA；②3BF＝DF；③：：；④S四边形CDFE：S△ABF＝9：2，其中正确的结论有

（）��𝐺=125

A．4个B．3个C．2个D．1个

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．

【答案】C

【分析】由四边形ABCD是矩形，AE⊥BD于点F，交BC于点E，得∠EFB＝∠BAD＝90°，BC∥DA，

则∠FBE＝∠ADB，所以△BEF∽△DBA，可判断①正确；设BE＝m，则CE＝3BE＝3m，所以DA＝

BC＝4m，可证明△EBF∽△ADF，得，所以4BF＝DF，可判断②错误；再证明△ABE∽

𝐸𝐶1

==

△DAB，推导出，则AB2＝D�A�•BE＝��4m2，4求得AB＝2m，所以BD2m，可

��𝐶22

==��+��=5

证明△BEF∽△B�D�C，得��，可判断③正确；而CD＝AB＝2m，则EFCDm，

��𝐶1555

==2=22=10=5

求得BFm，进而求得𝐺S△BC�D�＝4m2，S5△BEF10m，则S四边形CDFEm，由AFm，

251192245

=52=5=5=��−𝐸=5

求得S△ABFm，则S四边形CDFE：S△ABF＝19：4，可判断④错误，于是得到问题的答案．

4

【解答】解=：5∵四边形ABCD是矩形，AE⊥BD于点F，交BC于点E，

∴∠EFB＝∠BAD＝90°，BC∥DA，

∴∠FBE＝∠ADB，

∴△BEF∽△DBA，

故①正确；

设BE＝m，则CE＝3BE＝3m，

∴DA＝BC＝BE+CE＝4m，

∵BE∥DA，

∴△EBF∽△ADF，

∴，

𝐸𝐶�1

===

����4�4

第18页（共49页）

∴4BF＝DF，

故②错误；

∵∠AEB+∠CBD＝90°，∠DBA+∠CBD＝90°，

∴∠AEB＝∠DBA，

∵∠ABE＝∠DAB＝90°，

∴△ABE∽△DAB，

∴，

��𝐶

2=2

∴�AB�＝D�A�•BE＝4m，

∴AB＝2m或AB＝﹣2m（不符合题意，舍去），

∴BD2m，

2222

∵∠B=FE＝��∠C+＝�9�0°=，∠(4F�B)E＝+∠(2C�B)D，=5

∴△BEF∽△BDC，

∴，

��𝐶�15

====

∴�E�F：C�D�＝1：225�，2510

故③正确；5

∵CD＝AB＝2m，

∴EFCD2mm，

555

=10=10×=5

∴BFm，

2225225

=𝐶−��=�2−(5�)=52

∵S△BCD4m×2m＝4m，S△BEFmmm，

112551

=2×2=2×252×5=5

∴S四边形CDFE＝S△BCD﹣S△BEF＝4mmm，

119

∵∠AFB＝90°，−5=5

∴AFm，

22225245

=��−𝐸=(2�)−2(5�)=5

∴S△ABFmmm，

125454

=××=

四边形2555

∴，即：＝：，

192S四边形CDFES△ABF194

�𝐺��5�19

=42=

�△�𝐸4

故④错误，5�

故选：C．

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【点评】此题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正

确理解和应用相似三角形的判定与性质是解题的关键．

8．某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体．即

��

=

，在数轴（如图2）上最接近的点是（）��

5−15−1

22

A．PB．QC．MD．N

【考点】黄金分割；实数与数轴；估算无理数的大小．

【专题】实数；推理能力．

【答案】C

【分析】利用黄金分割的定义和无理数的估算得到0.618，然后利用数轴表示数的方法进行判断．

5−1

≈

【解答】解：∵0.618，2

5−1

≈

∴在数轴（如图2）2上最接近的点是M点．

5−1

故选：．

C2

【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC

的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其

中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．

5−1

9．如图，=在矩2形ABCD中，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB于点F，连接BE，CF，下列结论：

①△AEF∽△CDA；②DF平分∠AFC；③∠ACF＝∠ABE；④若F是AB的中点，则．其中

𝐺2

=

正确的结论有（）𝐺3

A．1个B．2个C．3个D．4个

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．

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【答案】B

【分析】由矩形的性质推出∠ADC＝90°，DC∥AB，得到∠EAF＝∠ACD，由垂直的定义得到∠AEF

＝∠ADC＝90°，判定△AEF∽△CDA，如果DF平分∠AFC，判定△AEF≌△CEF，推出DF垂直平

分AC，得到DC＝AD，判定四边形ABCD是正方形，但四边形ABCD不一定是正方形，判定△AEF∽

△ABC，推出AE：AF＝AB：AC，推出△ACF∽△ABE，得到∠ACF＝∠ABE，判定△AEF∽△CED，

推出AE：CE＝AF：DC＝1：2，令AE＝x，CE＝2x（x＞0），判定△ADE∽△ACD，推出AD2＝AE•

AC，同理CD2＝CE•AC，求出ADx，CDx，得到．

𝐺2

【解答】解：∵四边形是矩=形，3=6=

ABCD𝐺2

∴∠ADC＝90°，DC∥AB，

∴∠EAF＝∠ACD，

∵DF⊥AC，

∴∠AEF＝∠ADC＝90°，

∴△AEF∽△CDA，

故①符合题意；

如果DF平分∠AFC，

∴∠AFE＝∠CFE，

∵EF＝EF，∠AEF＝∠CEF＝90°，

∴△AEF≌△CEF，

∴AE＝CE，

∴DF垂直平分AC，

∴DC＝AD，

∴四边形ABCD是正方形，但四边形ABCD不一定是正方形，

故②不符合题意；

∵∠AEF＝∠ABC＝90°，∠EAF＝∠BAC，

∴△AEF∽△ABC，

∴AE：AF＝AB：AC，

∵∠BAE＝∠CAF，

∴△ACF∽△ABE，

∴∠ACF＝∠ABE，

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故③符合题意；

∵F是AB的中点，

∴AFAB，

1

∵四边=形2ABCD是矩形，

∴DC＝AB，DC∥AB，

∴△AEF∽△CED，

∴AE：CE＝AF：DC＝1：2，

令AE＝x，CE＝2x（x＞0），

∴AC＝AE+CE＝3x，

∵∠DEA＝∠ADC＝90°，∠DAE＝∠DAC，

∴△A