2027版中考数学难题速递：图形的旋转

2027年中考数学复习难题速递之图形的旋转（2026年7月）

一．选择题（共11小题）

1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形（四个内角都是直角，四条边都相等），将正方形AEFG

绕点A旋转，使点E恰好落在DG上，连接BE．以下结论正确的有（）

①BE＝DG；

②BE⊥DG；

③△ADE的面积为△ABE面积的一半；

④点B在DG的垂直平分线上．

A．①②B．③④C．①③④D．①②③④

2．已知△ABC中，AB＝3，∠A＝75°，，点O是△ABC内一点，则点O到点A，B，C的距离

之和的最小值是（）𝐴=32

A．3B．C．D．

3．如图，在△ABC中，AB＝38，2AC＝14，∠C＝30°3，3P是BC上的任意一3点5，连接AP，将AP绕点A按

顺时针方向旋转至AQ，使∠PAQ＝∠BAC，连接BQ．则线段BQ长度的最小值为（）

A．2B．3C．D．4

43

．如图，在△中，∠＝°，＞，点为上一点，且＝，连接，⊥

4RtABCABC90BCAB3DBCBDABADBEAC

于点E，将BE绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，连接EF交AD于点G，若AB＝6，则DG的长为

（）

第1页（共45页）

A．4B．C．D．5

5．在三角尺ABC和DEF中，3∠2ABC＝90°，∠A＝660°2，∠E＝90°，∠EDF＝45°，且BC＝DF．如图，

固定三角尺ABC不动，将DF与BC重合，再将三角尺DEF绕BC的中点O按顺时针方向旋转，旋转

角为（0°＜＜180°），则在旋转的过程中，下列说法错误的是（）

αα

A．当DF∥AC时，＝30°B．当DF∥AB时，＝90°

C．当DE∥AC时，α＝75°D．当DE∥AB时，α＝150°

6．在数学活动课上，老α师用一张三角形纸片△ABC进行旋转实验，如α图所示，他将△ABC绕顶点A逆时

针旋转一定的角度（0°＜＜180°）得到△AB'C'，连接BB'，CC'，下列结论错误的是（）

αα

A．AB＝AB'B．BB'＝CC'

C．∠ABC＝∠AB'C'D．∠BAB'＝∠CAC'

7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，AB＝CB＝2，OA＝OC，∠AOC＝60°，

AB⊥x轴，将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，第2026次旋转后点C的坐标为（）

第2页（共45页）

A．，B．，C．，D．，

8．如图(，−△3ABC3)是等边三角形(3，A−B＝36)，E在AC上(且33)，D是直(线−BC3上一−动3)点，线段ED绕点

1

E逆时针旋转90°，得到线段EF．当点D运动时，�则�线=段3�A�F的最小值是（）

A．B．C．D．4

9．如图1，+在2梯3形ABCD中，2AD+∥B3C，∠B+∠C＝930°3，BC＝3AD，AB＝8，CD＝6，将AB绕A顺时针

旋转90°得到AF，将DC绕D逆时针旋转90°得到DE，连EF，则EF的长为（）

A．10B．C．D．15

10．如图，2在平面直角坐标系中21，1等腰直角三角形AB2C21的顶点A与原点O重合，AB位于x轴正半轴上，

∠C＝90°，点B的坐标为（4，0），点D为AB的中点，进行以下操作：①将△ABC沿x轴正方向

平移，当点A与点D重合时，得到△DPQ，点B，C的对应点分别为P，Q；②将△DPQ绕点D在平

面内旋转．当点Q落在射线AC上时，点Q的坐标为（）

第3页（共45页）

A．，B．，

(3+13+1)(3−13−1)

C．，D．，

3+13+1

11．已知(正6−方形2ABC6D−边2长)为8，P在边AD上运动，(连2接BP，2将线)段BP绕着点B逆时针旋转45°，到

线段BE，连接AE，线段AE的最小值为（）

A．4B．8﹣4C．4D．4

二．填空题（共4小题）2+422

12．如图，在△ABC中，AB＝3，∠B＝60°，30°＜∠BAC＜60°，点D在边BC上，BD＝1，连接AD，

将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，交AC于点F，FM⊥AD，垂足为M，FN

⊥AE，垂足为N，则FM+FN＝．

13．如图，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为（﹣1，2），

将长方形ABCD沿x轴向右翻滚，经过1次翻滚，点A对应点记为A1，经过2次翻滚，点A对应点记

为A2，…依次类推，经过2026次翻滚后点A对应点A2026的坐标为．

第4页（共45页）

14．如图，△ABC为边长为4的等边三角形，BD⊥AC，E为BD上一个动点，连接CE，将线段CE绕点

C逆时针旋转60°得到线段CF，当△ADF是直角三角形时，DF的长为．

15．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，将△ABC绕点A顺时针旋转（0°＜＜90°）得到△

ADE，其中点B与点D对应，点C与点E对应，若点C恰好落在△AαDE的边α上，则的度数

是．α

三．解答题（共5小题）

16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为射线AB上一点．

（1）如图1，点B关于直线CD的对称点B'恰好落在AC边上，连接DB'．

①若∠A＝，求∠ADB′的度数（用含的代数式表示）；

②若AD＝2αBD，求AC与BC的数量关系α；

（2）如图2，E为线段AC上一点，若，S△ADE：S△ACB＝m，AC＝n，求AE的长（用含m、

1

n的代数式表示）．𝐵=3��

第5页（共45页）

17．已知A（3，5），B（5，1），将线段AB向左平移m（m＞0）个单位长度至对应线段DC，其中点A

的对应点是点D．

（1）如图（1），当m＝4时，线段CD与y轴交于点P，连接PA，PB．

①直接写出点C，D的坐标；

②求三角形PAB的面积．

（2）如图（2），当直线CD经过点O时，求m的值．

（3）如图（3），当m＝6时，连接AD，BC，动点M（a，ka+3）在四边形ABCD内，连接AM，BM，

CM，DM，记三角形MAB的面积为S1，三角形MCD的面积为S2，是否存在k的值，使S1＝nS2，且常

数n的值与a无关，若存在，求k，n的值；若不存在，请说明理由．

18．【模型建立】

“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问

题．

例：求代数式的最小值．

2222

�+3+(12−�)+2

分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的

222222

斜边，�+3(12是−直�角)边+分2别是12﹣x和2的直角三�角+形3的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC

22

和△DE(F1，2并−使�)直+角2边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），

这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根

据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．

第6页（共45页）

【模型应用】

（1）代数式的最小值为；

2222

�+3+(12−�)+2

（2）变式训练：利用图3，求代数式＜＜的最小值；

22

【模型拓展】�+16+(8−�)+4(0�8)

（3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足，求x的值．

2222

19．四边形ABCD和CEFG都是正方形，其中正方形5CE−FG�可+以1绕2顶−点�C=旋1转3（CE＜CB）．

（1）如图1，点E在BC上，点G在CD上，连接BG和DE，取BG的中点P，连接CP，求证：DE

＝2CP；

（2）如图2，正方形CEFG绕点C旋转到图2位置，连接DE和BG，取线段BG的中点P，连接CP．

①依题意补全图2；

②判断线段CP与DE的关系，并证明你的结论．

20．问题解决

【提出问题】

唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数

学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的

营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？

【分析问题】

（1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点C的方案．

第7页（共45页）

正确的方案是（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是．

【解决问题】

（2）如图2，在△ABC中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若AB＝6，

AC＝7，BC＝8，则△ABP周长的最小值为．

【类比探究】

（3）如图3，点P是∠AOB内一定点，将军牵马从军营点P出发，先到河流OA边上一点C饮马，再

到草地OB边上一点D吃草，最后回到军营P．

①在图3中作图：使将军走过的路程PC+CD+DP最短．（保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用

实线）

②当将军走过的路程PC+CD+DP最短，且∠AOB＝65°时，求∠CPD的度数．

第8页（共45页）

2027年中考数学复习难题速递之图形的旋转（2026年7月）

参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）

题号1234567891011

答案ADBBDBDACAB

一．选择题（共11小题）

1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形（四个内角都是直角，四条边都相等），将正方形AEFG

绕点A旋转，使点E恰好落在DG上，连接BE．以下结论正确的有（）

①BE＝DG；

②BE⊥DG；

③△ADE的面积为△ABE面积的一半；

④点B在DG的垂直平分线上．

A．①②B．③④C．①③④D．①②③④

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质．

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．

【答案】A

【分析】根据正方形的性质以及全等三角形的判定可证明△BAE≌△DAG（SAS），得出BE＝DG，∠

ABE＝∠ADG，S△BAE＝S△DAG，根据三角形外角的性质可得出∠DEO＝∠BAO＝90°，则BE⊥DG，即

可判断①、②；根据已知条件无法证明E是DG中点，即可判断③、④．

【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形（四个内角都是直角，四条边都相等），

∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，

∴∠BAE＝∠DAG，

在△BAE和△DAG中，

第9页（共45页）

，

��=𝐵

∠�𝐴=∠���

∴�△�=BA�E�≌△DAG（SAS），

∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，S△BAE＝S△DAG，

设AD、BE相交于O，

∵∠BOD＝∠ABO+∠BAO，∠BOD＝∠EDO+∠DEO，

∴∠ABO+∠BAO＝∠EDO+∠DEO，

又∵∠ABO＝∠EDO，∠BAO＝90°，

∴∠DEO＝90°，

∴BE⊥DG，

根据已知条件无法证明E是DG中点，

∴△ADE的面积不一定是△ADG面积的一半，则△ADG的面积不一定是△ABE面积的一半；点B不一

定在DG的垂直平分线上．

故①②正确，③④不正确，

故选：A．

【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，正方形的性

质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．

2．已知△ABC中，AB＝3，∠A＝75°，，点O是△ABC内一点，则点O到点A，B，C的距离

之和的最小值是（）𝐴=32

A．3B．C．D．

【考点】旋转的性质；勾股3定2理．3335

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．

【答案】D

【分析】利用旋转的性质将三条线段转化为共线线段，再用勾股定理计算即可得到结果．

第10页（共45页）

【解答】解：如图，△ABC中，AB＝3，∠A＝75°，，将△AOC绕点A逆时针旋转60°，

得到△AO′C′，连接OO′，BC′，𝐴=32

则，AO＝AO′，OC＝O′C′，∠OAO′＝∠CAC′＝60°，

∴△𝐴A'O=O�′�为=等3边2三角形，∠BAC′＝∠BAC+∠CAC′＝135°，

∴OO′＝OA，

∴点O到点A，B，C的距离之和＝OA+OB+OC＝BO+OO′+O′C′≥BC′，

当B，O，O′，C′四点共线时，点O到点A，B，C的距离之和最小，为BC′的长，

作C′D⊥BA，交BA的延长线于点D，

则∠C′AD＝180°﹣∠BAC′＝45°，

∴△ADC′为等腰直角三角形，

∴AD＝C′D＝AC′•sin45°＝3，

∴BD＝AB+AD＝6，

在Rt△BDC′中，由勾股定理，得：，

22

故点O到点A，B，C的距离之和的最�小�'值=是𝐵，+�'�=35

故选：D．35

【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．

3．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝14，∠C＝30°，P是BC上的任意一点，连接AP，将AP绕点A按

顺时针方向旋转至AQ，使∠PAQ＝∠BAC，连接BQ．则线段BQ长度的最小值为（）

A．2B．3C．D．4

43

【考点】旋转的性质；勾股定理．

3

第11页（共45页）

【专题】平移、旋转与对称；推理能力．

【答案】B

【分析】在AC上截取AD＝AB＝8，连接PD，如图，先根据旋转的性质得到AQ＝AP，再证明△AQB

≌△APD得到BQ＝DP，根据垂线段最短，当DP⊥BC时，DP的值最小，然后根据含30度角的直角

三角形三边的关系求出此时DP的长即可．

【解答】解：在AC上截取AD＝AB＝8，连接PD，如图，

∵AP绕点A按顺时针方向旋转至AQ，

∴AQ＝AP，

∵∠PAQ＝∠BAC，

∴∠PAQ﹣∠ABP＝∠BAC﹣∠BAP，

即∠QAB＝∠PAC，

在△AQB和△APD中，

，

𝐴=𝐴

∠���=∠�𝐵

∴�△�=AQ�B�≌△APD（SAS），

∴BQ＝DP，

∵P是BC上的任意一点，D点为定点，

∴当DP⊥BC时，DP的值最小，

∵∠C＝30°，

∴DP的最小值为CD（AC﹣AD）（14﹣8）＝3，

111

==

∴线段BQ长度的2最小值2为3．2

故选：B．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等

于旋转角；旋转前、后的图形全等．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＞AB，点D为BC上一点，且BD＝AB，连接AD，BE⊥AC

于点E，将BE绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，连接EF交AD于点G，若AB＝6，则DG的长为

第12页（共45页）

（）

A．4B．C．D．5

【考点】旋转的性质．3262

【专题】平移、旋转与对称；运算能力．

【答案】B

【分析】连接DF，过点D作DH∥AC，交EF于点H，通过证明△ABE≌△DBF，得到对应边，对应

角相等，通过证明DH∥BF，得到DH＝DF＝AE，继而证明△DHG≌△AEG，得到DG＝AG，从而在

等腰直角三角形ABD中求得．

【解答】解：在Rt△ABC中，��∠=AB3C2＝90°，BC＞AB，点D为BC上一点，如图，连接DF，过点D

作DH∥AC，交EF于点H，

∵∠ABE+∠EBD＝∠DBF+∠EBD＝90°，

∴∠ABE＝∠DBF，

∵AB＝DB，BE＝BF，

∴△ABE≌△DBF（SAS），

∴AE＝DF，

∵BE⊥AC，

∴∠BFD＝∠BEA＝90°，

∵BE＝BF，∠EBF＝90°，

∴∠BFE＝45°，

∵∠EBF＝∠AEB＝90°，

∴BF∥AC，

∵DH∥AC，

第13页（共45页）

∴DH∥BF，

∴∠HDF＝∠BFD＝90°，∠DHF＝∠BFE＝45°，

∴DH＝DF＝AE，

∵DH∥AC，

∴∠HDG＝∠EAG，

∵∠DGH＝∠AGE，

∴△DHG≌△AEG（AAS），

∴DG＝AG，

∵AB＝BD，∠ABC＝90°，

∴．

1122

故选��：=B．2𝐵=2��+𝐵=32

【点评】本题考查旋转的性质，正确进行计算是解题关键．

5．在三角尺ABC和DEF中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，∠E＝90°，∠EDF＝45°，且BC＝DF．如图，

固定三角尺ABC不动，将DF与BC重合，再将三角尺DEF绕BC的中点O按顺时针方向旋转，旋转

角为（0°＜＜180°），则在旋转的过程中，下列说法错误的是（）

αα

A．当DF∥AC时，＝30°B．当DF∥AB时，＝90°

C．当DE∥AC时，α＝75°D．当DE∥AB时，α＝150°

【考点】旋转的性质α；平行线的性质；含30度角的直角三角形．α

【专题】平移、旋转与对称；推理能力．

【答案】D

【分析】根据题意画出图形，利用平行线的性质即可求解．

【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠A＝60°，∠E＝90°，∠EDF＝45°，

∴∠ACB＝30°，

第14页（共45页）

当DF∥AC时，∠COF＝∠ACB＝90°﹣∠A＝30°，即＝30°，故A正确；

α

当DF∥AB时，∠BOD＝180°﹣∠ABC＝90°，

∴＝∠BOD＝90°，故B正确；

α

当DE∥AC时，∠CMO＝∠D＝45°，

∴∠COM＝180°﹣∠C﹣∠CMO＝105°，

∴＝∠COF＝180°﹣∠COM＝75°，故C正确；

α

第15页（共45页）

当DE∥AB时，∠DHO＝180°﹣∠ABC＝90°，

∴∠DOH＝180°﹣∠D﹣∠DHO＝45°，

∴＝∠COF＝180°﹣∠DOH＝135°，故D错误；

α

故选：D．

【点评】本题考查旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．

6．在数学活动课上，老师用一张三角形纸片△ABC进行旋转实验，如图所示，他将△ABC绕顶点A逆时

针旋转一定的角度（0°＜＜180°）得到△AB'C'，连接BB'，CC'，下列结论错误的是（）

αα

第16页（共45页）

A．AB＝AB'B．BB'＝CC'

C．∠ABC＝∠AB'C'D．∠BAB'＝∠CAC'

【考点】旋转的性质．

【专题】平移、旋转与对称；推理能力．

【答案】B

【分析】先根据旋转的性质得到AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，则可对A选项、D选

项进行判断；再证明△ABC≌△AB′C′得到∠ABC＝∠AB′C′，则可对C选项进行判断；然后证明

△ABB′∽△ACC′得到，由于只有当AB＝AC时，BB′＝CC′，从而可对B选项进行判断．

��'��

=

【解答】解：∵△ABC绕�顶�'点A�逆�时针旋转一定的角度（0°＜＜180°）得到△AB'C'，

∴AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，所以Aα选项、Dα选项不符合题意；

∴∠BAB′﹣∠CAB′＝∠CAC′﹣∠CAB′，

即∠BAC＝∠B′AC′，

在△ABC和△AB′C′中，

，

��=��'

∠�𝐴=∠�'𝐴'

∴�△�=AB�C�≌'△AB′C′（SAS），

∴∠ABC＝∠AB′C′，所以C选项不符合题意；

∵，∠BAB′＝∠CAC′，

����'

=

∴△𝐴ABB�′�∽'△ACC′，

∴，

��'��

=

只有��当'AB�＝�AC时，BB′＝CC′，所以B选项符合题意．

故选：B．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等

于旋转角；旋转前、后的图形全等．

7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，AB＝CB＝2，OA＝OC，∠AOC＝60°，

第17页（共45页）

AB⊥x轴，将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，第2026次旋转后点C的坐标为（）

A．，B．，C．，D．，

【考(点−】3坐标3与)图形变化﹣(3旋转−；规3)律型：点的坐(标3；3勾)股定理．(−3−3)

【专题】猜想归纳；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．

【答案】D

【分析】根据题意，求出点C的坐标，再结合所给旋转方式，得出每旋转四次，点C对应点的坐标重

复出现，据此即可解决问题．

【解答】解：连接OB，延长CB交x轴于点N，过点C作x轴的垂线，垂足为M，

∵AB＝CB，OA＝OC，OB＝OB，

∴△OCB≌△OAB（SSS），

∴∠OCB＝∠OAB．

∵AB⊥x轴，

∴∠OCB＝∠OAB＝90°．

∵∠AOC＝60°，

∴∠CBA＝120°，

∴∠ABN＝180°﹣120°＝60°，

∴∠BNA＝30°．

在Rt△ABN中，

BN＝2AB＝4，

∴CN＝CB+BN＝2+4＝6．

第18页（共45页）

在Rt△CMN中，

CM，

1

∵∠=O2C�M�＝=903°﹣60°＝30°，

∴OM，

3

∴点C=坐3标�为�（=3，）．

由所给旋转方式可3知，3每旋转四次，点C对应点的坐标重复出现，

∵2026÷4＝506余2，

∴旋转2026次和旋转2次后点C对应点的坐标相同．

∵旋转180°后所得点C对应点与点C关于原点对称，

∴旋转2次后点C对应点的坐标为（，），

∴第2026次旋转后点C的坐标为（−3，−3）．

故选：D．−3−3

【点评】本题主要考查了坐标与图象变化﹣旋转、勾股定理及点的坐标变化规律，能根据题意求出点C

坐标及得出每旋转四次，点C对应点的坐标重复出现是解题的关键．

8．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，E在AC上且，D是直线BC上一动点，线段ED绕点

1

E逆时针旋转90°，得到线段EF．当点D运动时，�则�线=段3�A�F的最小值是（）

A．B．C．D．4

【考1点+】2旋3转的性质；解直2角+三3角形；垂线段最短3；3全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．

【答案】A

【分析】过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EG于点H，证明△DGE≌△EHF（AAS），则HF

＝EG，求出，即点F到直线EG的距离为，证明AM∥EG，得到MC＝3，则MG＝MC

﹣CG＝3﹣2�＝�1，=即2点3A到直线EG的距离为1，当A2，3H，F三点共线时，AF取得最小值，即可求出

第19页（共45页）

答案．

【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EG于点H，过点A作AM⊥BC于点M，

由旋转可得，∠DEF＝90°，DE＝EF，

则∠DEG+∠HEF＝90°，

∵EG⊥BC，

∴∠DGE＝90°，

∴∠EDG+∠DEG＝90°，

∴∠EDG＝∠FEH，

在△DGE和△EHF中，

，

∠�𝐴=∠�𝐻=90°

∠���=∠���

∴�△�=DG�E�≌△EHF（AAS），

∴HF＝EG，

∵△ABC是等边三角形，AB＝6，，

1

∴AC＝6，CE＝4，∠C＝60°，𝐴=3𝐴

在Rt△EGC中，，，

31

∴，��=��𝐸�60°=4×2=23��=��𝐸�60°=4×2=2

即点𝐻F=到2直3线EG的距离为，

∵AM⊥BC，EG⊥BC，23

∴AM∥EG，

∵M是BC的中点，

∴MC＝3，

∴MG＝MC﹣CG＝3﹣2＝1，

第20页（共45页）

即点A到直线EG的距离为1，

∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF．

∴点F在直线EG的右侧，

∴当A，H，F三点共线时，AF取得最小值，最小值为，

故选：A．1+23

【点评】本题主要考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解

直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C＝90°，BC＝3AD，AB＝8，CD＝6，将AB绕A顺时针

旋转90°得到AF，将DC绕D逆时针旋转90°得到DE，连EF，则EF的长为（）

A．10B．C．D．15

【考点】2旋转的性质；梯形2．11221

【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．

【答案】C

【分析】先构造平行四边形将梯形转化为直角三角形，求出AD的长度；再建立平面直角坐标系，利用

旋转的坐标变化规律求出F、E的坐标；最后用两点间距离公式计算EF的长度．

【解答】解：过点A作AM∥CD，交BC于点M，

∵AD∥BC，

∴四边形AMCD是平行四边形，

∴AD＝MC，AM＝CD＝6，∠AMB＝∠C．

∵∠B+∠C＝90°，

第21页（共45页）

∴∠B+∠AMB＝90°，

∴△ABM是直角三角形．

在Rt△ABM中，AB＝8，AM＝6，

∴．

22

∵B�C�＝=3AD��，B+C�＝�BM=+M10C，

∴3AD＝10+AD，

∴AD＝5．

以A为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），D（5，0）．

设B（x1，y1），由AB＝8，，sinB，

43

𝐸��==

∴，，即，5，5

1321243224

∵A�B=绕−A5顺时�针=旋−转590°得�(到−A5F，−5)

∴，．

2432

�(−)

设C（x25，y2）5，由CD＝6，，sinC，

34

𝐸𝐴==

∴，，即，5，5

2432244324

∵D�C=绕5D逆�时=针−旋5转90°�(得5到D−E，5)

∴，．

4918

�()

∴55．

4924218322

故选��：=C．(5+5)+(5−5)=221

【点评】本题考查旋转的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵

活运用．

10．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A与原点O重合，AB位于x轴正半轴上，

∠C＝90°，点B的坐标为（4，0），点D为AB的中点，进行以下操作：①将△ABC沿x轴正方向

平移，当点A与点D重合时，得到△DPQ，点B，C的对应点分别为P，Q；②将△DPQ绕点D在平

面内旋转．当点Q落在射线AC上时，点Q的坐标为（）

第22页（共45页）

A．，B．，

(3+13+1)(3−13−1)

C．，D．，

3+13+1

【考(点6】−坐标2与图6形−变2化)﹣旋转；勾股定理；等腰(直2角三角形2；坐)标与图形变化﹣平移．

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．

【答案】A

【分析】过点Q作QH⊥AB于点H，QH交BC于点M．由题意可得AB＝4，由等腰直角三角形的性质

可得，∠CAB＝∠CBA＝45°，从而得出AH＝QH，．设BH＝x，

21

则DH𝐴＝=2﹣𝐴x，=Q2H＝��AH=＝24﹣2x．由平移和旋转的性质，得，𝐵再=结2合�勾�股=定2理计算即可

得出结果．��=𝐴=22

【解答】解：如图，过点Q作QH⊥AB于点H，QH交BC于点M．

∵点B的坐标为（4，0），点A与原点O重合，

∴AB＝4．

∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，，

2

∴∠QAH＝∠AQH＝45°，𝐴=𝐴=2��=22

∴AH＝QH．

∵D为AB的中点，

∴．

1

设�B�H＝=x2，��则=Q2H＝AH＝4﹣x，DH＝2﹣x，

由平移和旋转的性质，得．

在Rt△DQH中，有DH2+�Q�H=2＝�D�Q=2，22

即，

222

解得(2−�)+(4．−�)=(22)

∵BH�＜=A3B，±3

∴，

�=3−3

第23页（共45页）

∴，

∴�当�点=Q�落�在=射4−线(A3C−上3时)，=点3Q+的1坐标为，．

故选：A．(3+13+1)

【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，勾股定理，等腰直角三角形，坐标与图形变化﹣平移，解题

的关键是掌握相关知识的灵活运用．

11．已知正方形ABCD边长为8，P在边AD上运动，连接BP，将线段BP绕着点B逆时针旋转45°，到

线段BE，连接AE，线段AE的最小值为（）

A．4B．8﹣4C．4D．4

【考点】旋转的性质；正方形的2性质．+422

【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；几何直观．

【答案】B

【分析】在AB的左侧作BF，使BF＝AB，且∠ABF＝45°，可得△ABP≌△FBE，则AP＝EF，∠F＝

∠BAP＝90°，可知点E在过定点F且垂直于BF的直线上运动．延长BA交FE的延长线于点G，过

点A作AH⊥FG于点H，则点E与点H重合时，AE取得最小值．结合题意可得∠FGB＝45°，

BG，则AG＝BG﹣AB，可得AH，即线段AE的最小值为．

��

=2𝐻=82=82−8==8−428−42

【解答】解：在AB的左侧作BF，使BF＝AB，且∠ABF＝245°，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAP＝90°，AB＝8．

∵将线段BP绕着点B逆时针旋转45°得到线段BE，

∴∠EBP＝45°，EB＝PB，

∴∠ABF＝∠EBP，

∴∠EBF＝∠PBA，

∴△ABP≌△FBE（SAS），

∴AP＝EF，∠F＝∠BAP＝90°，

∴点E在过定点F且垂直于BF的直线上运动．

第24页（共45页）

延长BA交FE的延长线于点G，过点A作AH⊥FG于点H，

则点E与点H重合时，AE取得最小值．

∵∠F＝90°，∠ABF＝45°，

∴∠FGB＝45°，BG，

∴AG＝BG﹣AB=2，𝐻=82

∴AH=82，−8

��

==8−42

即线段AE2的最小值为．

故选：B．8−42

【点评】本题考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

二．填空题（共4小题）

12．如图，在△ABC中，AB＝3，∠B＝60°，30°＜∠BAC＜60°，点D在边BC上，BD＝1，连接AD，

将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，交AC于点F，FM⊥AD，垂足为M，FN

⊥AE，垂足为N，则FM+FN＝．

21

2

【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

【专题】三角形；平移、旋转与对称．

【答案】．

21

【分析】过点作边的垂线，利用°的直角三角形和勾股定理求出的长，根据旋转性质判定

2ABC30AD

△ADE为等边三角形，利用面积法将FM+FN转化为△ADE的高即可求．

第25页（共45页）

【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，

在Rt△ABH中，∠B＝60°，AB＝3，

∴∠BAH＝90°﹣60°＝30°，

∴，AH，

1323233

∵B�D�＝=12，��=2=3−(2)=2

∴DH＝BH﹣BD，

31

=2−1=2

在Rt△ADH中，由勾股定理得AD，

2233212

由旋转的性质可知AD＝AE，∠DA=E＝6�0�°，+��=(2)+(2)=7

∴△ADE是等边三角形，

连接AF，作AG⊥DE，

∵S△ADE＝S△ADF+S△AEF，

∴，

111

��⋅��=𝐵⋅��+𝐴⋅��

∵2AD＝AE＝DE2，2

∴FM+FN＝AG，

在等边△ADE中，

17

��=��=

由勾股2定理得2，

21

��=

∴，2

21

��+��=

故答案为：．2

21

【点评】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形，勾股定理，

230

掌握其相关知识点是解题的关键．

13．如图，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为（﹣1，2），

第26页（共45页）

将长方形ABCD沿x轴向右翻滚，经过1次翻滚，点A对应点记为A1，经过2次翻滚，点A对应点记

为A2，…依次类推，经过2026次翻滚后点A对应点A2026的坐标为（3039，0）．

【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．

【专题】规律型；平面直角坐标系；运算能力．

【答案】（3039，0）．

【分析】根据题意，确定图形从开始位置经过4次翻滚后点A进行了一次循环回到对应位置，从而结

合长方形周长为6，依据2026＝4×506+2即可得到答案．

【解答】解：如图所示：

观察图形可知，经过4次翻滚后点A进行了一次循环回到对应位置，A4（5，2），

∵长方形的周长为：2×（1+2）＝6，

∴每一次完整循环，相当于A对应点的横坐标+6，纵坐标保持不变，

∵2026＝4×506+2，即经过了506次完整的循环后再向前翻滚2次，是A2（A3）的对应点，

∴经过2026次翻滚后点A对应点A2026的坐标为（﹣1+6×506+4，0），即（3039，0）．

故答案为：（3039，0）．

【点评】本题考查了坐标与图形性质、点的坐标规律，熟练掌握以上知识点是关键．

14．如图，△ABC为边长为4的等边三角形，BD⊥AC，E为BD上一个动点，连接CE，将线段CE绕点

C逆时针旋转60°得到线段CF，当△ADF是直角三角形时，DF的长为1或．

23

3

第27页（共45页）

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．

【专题】平移、旋转与对称；推理能力．

【答案】1或．

23

【分析】先根据3等边三角形的性质得到CA＝CB＝4，∠ACB＝∠ABC＝60°，∴AD＝CD＝2，∠CBD

1

∠ABC＝30°，再根据旋转的性质得到CF＝CE，∠FCE＝60°，接着证明△ACF≌△BCE得到∠C=AF2

＝∠CBE＝30°，由于∠DAF不可能等于90°，所以∠AFD＝90°或∠ADF＝90°，然后在Rt△ADF

利用含30度角的直角三角形三边的关系求出对应的DF的长．

【解答】解：∵△ABC为边长为4的等边三角形，

∴CA＝CB＝4，∠ACB＝∠ABC＝60°，

∵BD⊥AC，

∴AD＝CD＝2，∠CBD∠ABC＝30°，

1

∵线段CE绕点C逆时针=旋2转60°得到线段CF，

∴CF＝CE，∠FCE＝60°，

∵∠ACF+∠ACE＝60°，∠BCE+∠ACE＝60°，

∴∠ACF＝∠BCE，

在△ACF和△BCE中，