2027版中考数学难题速递：三角形

2027年中考数学复习难题速递之三角形（2026年7月）

一．选择题（共10小题）

1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，延长BC到点D，且CD＝3，E，F分别为AB，

AC的中点，连接EF，EC，FD，ED，且ED与FC交于点O，连接OB，OB＝OE，作OH⊥BC于点H．下

列结论：①；②OE＝OD；③；④OH＝3．其中正确B的有（）

1

𝐹=213𝑂=2𝐹

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．在四边形ABCD中，CB＝CD，∠A＝56°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是边AB、AD上的点，且

MN＝BM+DN，则∠MCN的度数为（）

A．56°B．62°C．72°D．78°

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，作DE∥BC交AB于点E．若BE＝

3，BC＝4，则△BDC的面积为（）

A．B．C．6D．

4．如图4，2在Rt△ABC中，∠8AC2B＝90°，以AB，BC，CA为边向外作正方6形2ABDE．正方形BCFG，正

方形ACHM，正方形ABDE的面积为25，正方形BCFG的面积为17．点N在直线BC上，连结AN，

MN，则△ANM的面积为（）

第1页（共34页）

A．3B．4C．5D．7

5．如图，点C在线段AB上，AB＝a，点A与点B向上平移距离b得到点E与点F，点D到直线AB的距

离为c，CF和ED相交于点G，连结EC和DF．则△ECG和△FDG面积的差可以表示为（）

A．acB．C．ab﹣acD．

11

𝑎(𝑎−𝑎)

6．如图，在△ABC中，∠BA2C＝40°，点D在AC右侧，连接BD、CD，2设∠D＝，过A作AG⊥CD于

α

点G，点E在∠ABD内部，且BE平分∠ABD，延长DC至点F，使，则∠BEC

1

可表示为（）∠𝐹�=45°+2∠���

A．100°+B．120°﹣C．D．

��

7．如图，在Rαt△ABC中，∠C＝90°α，BC＝a，AC＝1b1，0°点+N2在BC边上，1点20M°−为2AB边上的动点，点D，

E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（）

第2页（共34页）

A．B．

2222

�+��+�

C．2D．4

𝑎𝑎

2222

8．如图，�A+D�是△ABC的高，∠CAD的平分线AE交2B�C于+�点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，交AD

于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②AG+CE＝BC；③AC＜BG+2GF．所有正确

结论的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

9．如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，

B，C，D连接，则下列选项正确的是（）

A．AM⊥PQB．BM⊥PQC．CM⊥PQD．DM⊥PQ

10．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，

交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）

A．B．0.8C．3D．

二．填空5题（共5小题）−513

11．如图，△ABC中，∠C＝∠CBA，点E是边BC上一点，连接AE并延长至点D，连接DB，使得∠D

＝∠DAB，若∠CAD和∠CBD都是锐角，则∠CED的取值范围是．

第3页（共34页）

12．如图，将两个全等的等腰三角形△ABC和△ADE的顶角顶点A重合，且∠BAC＝∠DAE＝120°．点

A、D分别在BC的两侧，AD与BC交于点M，DE分别与BC、AC交于点O、N．当△DOM为等腰三

角形时，∠BAD的度数为．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接

DE．若CD⊥DE，CE＝4，则AC的长是．

14．如图，在△ABC中，已知D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，若S△CFE＝4，则△ABC的

面积为．

15．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠A＝∠C，AC＝18，CD＝6，动点P从点C出发向点A运

动，速度为1，同时动点Q从点A出发向点B匀速运动，连接PQ、PD，在运动过程中，存在某一时

刻使△CDP与△APQ全等，则点Q的运动速度为．

第4页（共34页）

三．解答题（共5小题）

16．“道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一

条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后

到达B处，这时小汽车与车速检测仪A处间的距离为50m，那么这辆小汽车超速了吗？并通过计算说

明理由．（其中1m/s＝3.6km/h）

17．（1）如图1，AC与BD相交于点O，连接AB，CD，△AOB≌△COD，点E为边AB上一点，连接

EO并延长交边CD于点F，求证：EO＝FO；

（2）如图2，在正方形纸片的四个角上分别剪去一个相同的小正方形，记该图形的对称中心为点O，

仅用无刻度的直尺，画出点P关于点O的对称点Q；

（3）如图3，若点P在图形内部，画出点P关于点O的对称点Q．

18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D和E，∠ACB的平分线

交AB于点F，若AF＝8，BF＝10．

（1）求证：∠CDE＝∠BAD；

（2）若△ABD的周长是48，求△BFC的面积．

第5页（共34页）

19．已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，请判断线段CE和BD有

怎样的关系？请说明理由．

20．北师大版八年级下册《三角形的中位线》一节，要求我们经历作图、猜想、证明的完整探究过程，请

结合教材内容完成下列问题：求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

（1）根据给出的△ABC及AB边上的中点D，利用尺规作图作出AC边上的中点E；（不写作法，保留

作图痕迹）

（2）概念辨析．在（1）的条件下，连接点D、E，则线段DE是△ABC的（填“中线”或

“中位线”）；

（3）根据做出的图象完成证明．已知：在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点．求证：DE∥

BC，且，以上给出了已知、求证，请你完成证明过程．

1

��=2��

第6页（共34页）

2027年中考数学复习难题速递之三角形（2026年7月）

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

题号12345678910

答案CBABBCDCCC

一．选择题（共10小题）

1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，延长BC到点D，且CD＝3，E，F分别为AB，

AC的中点，连接EF，EC，FD，ED，且ED与FC交于点O，连接OB，OB＝OE，作OH⊥BC于点H．下

列结论：①；②OE＝OD；③；④OH＝3．其中正确B的有（）

1

𝐹=213𝑂=2𝐹

A．1个B．2个C．3个D．4个

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理．

【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推

理能力．

【答案】C

【分析】利用三角形中位线定理求出EF的长及位置关系，结合勾股定理计算FD；证明四边形EFDC

为平行四边形，利用平行四边形性质判断OE＝OD及O为ED中点；利用直角三角形斜边中线性质或

已知条件判断OB与ED关系；利用等腰三角形的判定和性质及三角形中位线的性质求解即可判断．

【解答】解：∵BC＝6，∠ABC＝90°，AB＝8，

∴，

22

∵E�，�=F分6别+为8AB=，1A0C的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥BC，，．

11

过点F作FG�⊥�B=C2于��G，=则3F�G�∥=AB�，�=2��=4

第7页（共34页）

∴四边形EFGB为平行四边形，

∵∠ABC＝90°，

∴四边形EFGB为矩形，

∴FG＝BE＝4，

∵F是AC中点，

∴，

1

∴𝐹=2��=5，

22

∵C��D＝=3，5−4=3

∴GD＝GC+CD＝6．

在Rt△FGD中，，故①正确；

2222

∵EF∥CD且EF＝𝐹CD=＝3�，�+𝐹=4+6=213

∴四边形EFDC是平行四边形，

∴对角线ED，FC互相平分，即O为ED中点，

∴OE＝OD，故②正确；

∵O为ED中点，Rt△BED

∴OB＝OE＝OD，，

1

��=𝐹

∴，故③正确2；

1

由③𝑂得=O2B�＝�OE＝OD，

∵OH⊥BC，

∴点H为BD的中点，

∴，

1

∵O��为=D2E�中�点，

∴OH是△DBE的中位线，

第8页（共34页）

∴，故④错误．

11

故选𝐷：=C．2��=2×4=2

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知

识的灵活运用．

2．在四边形ABCD中，CB＝CD，∠A＝56°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是边AB、AD上的点，且

MN＝BM+DN，则∠MCN的度数为（）

A．56°B．62°C．72°D．78°

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】三角形；图形的全等；运算能力；推理能力．

【答案】B

【分析】延长AD至E使DE＝BM，连接CE，证明△CBM≌△CDE（SAS），再证明△CMN≌△CEN

（SSS），得到∠BCD＝∠BCM+∠MCN+∠DCN＝2∠MCN，在四边形ABCD中由内角和定理即可求解．

【解答】解：如图所示，延长AD至E使DE＝BM，连接CE，

∵∠B＝∠ADC＝90°，

∴∠CDE＝180°﹣∠ADC＝90°＝∠B，

在△CBM和△CDE中，

，

��=��

∠�=∠���

∴�△�C=B�M�≌△CDE（SAS），

第9页（共34页）

∴∠BCM＝∠DCE，CM＝CE，

∵DE＝BM，MN＝BM+DN，

∴MN＝DE+DN＝NE，

在△CMN和△CEN中，

，

��=��

��=��

∴�△�C=M�N�≌△CEN（SSS），

∴∠ECN＝∠MCN，

∵∠ECN＝∠DCE+∠DCN＝∠BCM+∠DCN，

∴∠MCN＝∠BCM+∠DCN，

∵∠BCD＝∠DCN+∠BCM+∠MCN＝2∠MCN，

∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝360°﹣56°﹣90°﹣90°＝124°，

∴．

11

故选∠�：�B�．=2∠���=2×124°=62°

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，作DE∥BC交AB于点E．若BE＝

3，BC＝4，则△BDC的面积为（）

A．B．C．6D．

【考4点2】角平分线的性质；8等2腰三角形的判定与性质；平行线的性质；6三角2形的面积．

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．

【答案】A

【分析】如图，过D作DH⊥AB于H，根据角平分线的定义和平行线的性质可得△EBD是等腰三角形，

从而可得ED＝EB＝3，证明△CBD≌△HBD（AAS），然后在Rt△DHE中，利用勾股定理求出，

再进一步即可解答．��=22

【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，

第10页（共34页）

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵DE∥BC，

∴∠C＝∠ADE＝90°，∠CBD＝∠EDB，

∴∠ABD＝∠EDB，

∴ED＝EB＝3，

∵∠CBD＝∠HBD，∠C＝∠DHB＝90°，BD＝BD，

∴△CBD≌△HBD（AAS），

∴BC＝BH＝4，CD＝DH，

∴EH＝BH﹣BE＝4﹣3＝1，

∴，

22

∴��=��=��−𝐷=22．

△���11

故选�：A．=2��⋅��=2×4×22=42

【点评】本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，熟

知以上知识是解题的关键．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB，BC，CA为边向外作正方形ABDE．正方形BCFG，正

方形ACHM，正方形ABDE的面积为25，正方形BCFG的面积为17．点N在直线BC上，连结AN，

MN，则△ANM的面积为（）

A．3B．4C．5D．7

【考点】勾股定理；正方形的性质；三角形的面积．

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；推理能力．

第11页（共34页）

【答案】B

【分析】设正方形ABDE、正方形BCFG、正方形ACHM的面积分别记为S1，S2，S3，根据勾股定理得

出S1＝S2+S3，求出S3＝8，根据即可求解．

1121

�△���=��×��=��=�3

【解答】解：设正方形ABDE的面积为S12，正方形BCF2G的面积2为S2，正方形ACHM的面积为S3，

∴，，，

222

在�R1t△=A�B�C中�，2=∠�A�CB＝�930=°�，�

由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，

∴S1＝S2+S3，

∵正方形ABDE的面积为25，正方形BCFG的面积为17，

∴S3＝S1﹣S2＝25﹣17＝8，

∵正方形ACHM中，AM＝AC，CH∥AM，

∴．

2

△���1113

故选�：B．=2��×��=2��=2�=4

【点评】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定

理解决问题．

5．如图，点C在线段AB上，AB＝a，点A与点B向上平移距离b得到点E与点F，点D到直线AB的距

离为c，CF和ED相交于点G，连结EC和DF．则△ECG和△FDG面积的差可以表示为（）

A．acB．C．ab﹣acD．

11

𝑎(𝑎−𝑎)

【考点】三角形的面积；平2移的性质；点到直线的距离．2

【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．

【答案】B

【分析】连接AE，BF，EF，作DH⊥AB于H，因为点A与点B向上平移距离b得到点E与点F，所

以EF＝AB＝a，AE＝BF＝b，由题意知DH＝c，AE⊥AB，BF⊥AB，计算出△ECG的面积为

�△�𝐹−

，△FDG的面积为，再列式计算即可得到答案．

11

�△���=𝑎−�△����△�𝐹−�△���=�(�−�)−�△���

2第12页（共34页）2

【解答】解：连接AE，BF，EF，作DH⊥AB于H，

∵点A与点B向上平移距离b得到点E与点F，AB＝a，

∴EF＝AB＝a，AE＝BF＝b，

由题意知，DH＝c，AE⊥AB，BF⊥AB，

∴△ECG的面积为，

1

�△�𝐹−�△���=𝑎−�△���

△FDG的面积为2，

1

�△�𝐹−�△���=�(�−�)−�△���

∴△ECG和△FDG面积的差为2，

1△���1△���1

故选：B．(2𝑎−�)−[2�(�−�)−�]=2𝑎

【点评】本题考查了三角形的面积，点到直线的距离，平移的性质，熟记以上知识点并正确作出辅助线

是解题的关键．

6．如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，点D在AC右侧，连接BD、CD，设∠D＝，过A作AG⊥CD于

α

点G，点E在∠ABD内部，且BE平分∠ABD，延长DC至点F，使，则∠BEC

1

可表示为（）∠𝐹�=45°+2∠���

A．100°+B．120°﹣C．D．

��

【考点】三α角形内角和定理．α110°+2120°−2

【专题】三角形；推理能力．

【答案】C

【分析】设∠ABD＝2x，利用“8字模型”表示出∠ACD，进而表示出∠CAG和∠ECD，最后利用三

第13页（共34页）

角形内角和及对顶角相等建立∠BEC与的关系即可．

【解答】解：如图，α

设∠ABD＝2x，设AC与BD交于点O，CE交BD于点K，

∵BE平分∠ABD，

∴，

1

∵∠�A�O�B=＝2∠∠C�O�D�，=�

∴∠BAC+∠ABD＝∠ACD+∠D，

∴∠ACD＝40°+2x﹣，

∵AG⊥CD，α

∴∠CAG＝90°﹣∠ACD＝90°﹣（40°+2x﹣）＝50°﹣2x+，

∵，αα

1

∠𝐹�=45°+∠���

∴2，

1�

∵F∠，𝐹C�，=D45共°线+2，(50°−2�+�)=70°−�+2

∴，

��

∵∠�B�E�C=＝180°°−﹣∠∠𝐹E�BD=﹣1∠80B°K−E(，70∠°B−K�E+＝2∠)D=K1C1，0°+�−2

∵∠DKC＝180°﹣∠D﹣∠ECD，

∴∠BEC＝180°﹣x﹣（180°﹣﹣∠ECD）＝+∠ECD﹣x，

∴α．α

��

故选∠�：𝐹C．=�+(110°+�−2)−�=110°+2

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．

7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，点N在BC边上，点M为AB边上的动点，点D，

E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（）

第14页（共34页）

A．B．

2222

�+��+�

C．2D．4

𝑎𝑎

2222

【考点�】+三�角形中位线定理；非负数的性质：算术2平�方+根�；勾股定理．

【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力；科学文化情境．

【答案】D

【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的

面积求出CM，再求出答案即可．

【解答】解：如图，连接CM，

∵点D、E分别为CN，MN的中点，

∴DE是CMN的中位线，

∴DECM，

1

当CM=⊥2AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，

由勾股定理得：AB，

2222

=��+��=�+�

∵S△ABCAB×CMAC×BC，

11

=×=×

∴CM2，2

𝑎

=22

∴DEC�M+�，

1𝑎

==22

故选：D2．2�+�

【点评】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，注意：三角形

的中位线等于第三边的一半．

8．如图，AD是△ABC的高，∠CAD的平分线AE交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，交AD

第15页（共34页）

于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②AG+CE＝BC；③AC＜BG+2GF．所有正确

结论的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；角平分线的定义；三角形三边关系．

【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运

算能力；推理能力．

【答案】C

【分析】①利用等腰直角三角形的判定和性质进行求解即可；②根据等角的余角相等得出∠GBD＝∠

GAF，利用ASA证明△AFG≌△BFE，然后利用角平分线的定义得出相等角，利用①的结论得出相等

角，然后利用等角对等边证明即可；③延长BF交AC于点H，证明△AFG≌△AFH，得出BH＝BG+2GF，

然后利用三角形边和角的关系即可得出结论．

【解答】解：①∵BF⊥AE，

∴∠AFB＝90°，

∵AF＝BF，

∴∠BAF＝∠ABF＝45°，

故①正确，符合题意；

②∵BF⊥AE，AD是△ABC的高，

∴∠AFG＝∠BFE＝90°，∠BDG＝90°，

∵∠BGD＝∠AGF，

∴∠GBD＝∠GAF，

又∵AF＝BF，

∴△AFG≌△BFE（ASA）；

∵AE平分∠CAD，

∴∠GAF＝∠CAE，

∵∠GBD＝∠GAF，

第16页（共34页）

∴∠GBD＝∠CAE，

由①得∠BAF＝∠ABF，

∴∠BAF+∠CAE＝∠ABF+∠GBD，

即∠CAB＝∠CBA，

∴AC＝BC，

∵△AFG≌△BFE，

∴AG＝BE，

∵BE+CE＝BC，

∴AG+CE＝BC，

故②正确，符合题意；

③如图，延长BF交AC于点H，

∵∠FAG＝∠FAH，∠AFG＝∠AFH＝90°，AF＝AF，

∴△AFG≌△AFH（ASA），

∴FG＝FH，

∴GH＝2GF，

∴BH＝BG+2GF，

在Rt△AFH中，∠AHF＜90°，

∴∠BHC为钝角，

∴在△BHC中，BC＞BH，

∴BC＞BG+2GF，

∴AC＞BG+2GF，

故③错误，不符合题意；

综上，正确选项为①②，有2个．

故选：C．

【点评】本题考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形三边关系，掌

第17页（共34页）

握以上知识点是解题的关键．

9．如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，

B，C，D连接，则下列选项正确的是（）

A．AM⊥PQB．BM⊥PQC．CM⊥PQD．DM⊥PQ

【考点】勾股定理的逆定理；垂线；勾股定理．

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．

【答案】C

【分析】根据勾股定理得出AM，CM，PQ，DM，BM，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．

【解答】解：由勾股定理可得，AM，CM＝PQ＝DM，BM＝3，

2222

由图可知，DM∥PQ，=1+1=2=2+1=5

过P作PH∥MC，

在△PHQ中，PH＝PQ＝CM，QH，

22

∴PH2+PQ2＝HQ2，=5=1+3=10

∴PH⊥PQ，

∴CM⊥PQ，

故选：C．

【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出AM，CM，PQ，DM，BM解答．

10．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，

交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）

第18页（共34页）

A．B．0.8C．3D．

【考点5】勾股定理．−513

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．

【答案】C

【分析】连接AD，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．

【解答】解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3，

由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE，

22

又∵CE＝3，=��−��=5

∴CD＝3，

故选：C．−5

【点评】本题考查了勾股定理的运用，由勾股定理求出DE是解决问题的关键．

二．填空题（共5小题）

11．如图，△ABC中，∠C＝∠CBA，点E是边BC上一点，连接AE并延长至点D，连接DB，使得∠D

＝∠DAB，若∠CAD和∠CBD都是锐角，则∠CED的取值范围是60°＜∠CED＜120°．

【考点】三角形内角和定理；对顶角、邻补角．

【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．

【答案】60°＜∠CED＜120°．

【分析】设∠C＝∠CBA＝，∠D＝∠DAB＝，求出∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝180°﹣2﹣，∠CBD

αβαβ

第19页（共34页）

＝∠ABD﹣∠CBA＝180°﹣2﹣，根据∠CAD和∠CBD都是锐角，推出60°＜+＜120°，根据对

顶角和三角形的内角和定理得β到α∠CED＝∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠EBA＝18α0°β﹣﹣＝180﹣

（+），即可得出结论．αβ

【解α答β】解：设∠ABC＝∠C＝，∠BAD＝∠D＝，

在△ABC中，∠ABC+∠C+∠CAαB＝180°，β

∴∠CAB＝180°﹣2；

在△ABD中，∠BADα+∠D+∠ABD＝180°，

∴∠ABD＝180°﹣2；

∴∠CAD＝∠CAB﹣∠βDAB＝180°﹣2﹣，∠CBD＝∠ABD﹣∠CBA＝180°﹣2﹣，

∵∠CAD和∠CBD都是锐角，αββα

∴0°＜180°﹣2﹣＜90°，0°＜180°﹣2﹣＜90°，

整理得：90°＜2α+β＜180°，90°＜2+＜1β80°α，

两式相加得：180α°＜β3+3＜360°，βα

∴60°＜+＜120°，αβ

在△AEBα中：β∠CED＝∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠EBA＝180°﹣﹣＝180﹣（+），

∴60°＜∠CED＜120°，αβαβ

故答案为：60°＜∠CED＜120°．

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，对顶角、邻补角，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．

12．如图，将两个全等的等腰三角形△ABC和△ADE的顶角顶点A重合，且∠BAC＝∠DAE＝120°．点

A、D分别在BC的两侧，AD与BC交于点M，DE分别与BC、AC交于点O、N．当△DOM为等腰三

角形时，∠BAD的度数为30°或75°．

【考点】全等三角形的性质；等腰三角形的性质．

【专题】图形的全等；推理能力．

【答案】30°或75°．

【分析】先得出∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝30°，AB＝AC＝AE＝AD，再分三种情况：①OM＝DM，②

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OD＝DM和③OM＝OD，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解即可．

【解答】解：∵将两个全等的等腰三角形△ABC和△ADE的顶角顶点A重合，∠BAC＝∠DAE＝120°，

∴AB＝AC＝AE＝AD，，

180°−120°

①如图，当OM＝DM时∠�，=△∠D�O=M∠为�等=腰∠三�=角形，2=30°

∴∠DOM＝∠D＝30°，

∴∠DMO＝180°﹣∠DOM﹣∠D＝120°，

∴∠AMB＝∠DMO＝120°，

∴∠BAD＝180°﹣∠AMB﹣∠B＝30°；

②如图，当OD＝DM时，△DOM为等腰三角形，

∴，

180°−∠�

∴∠�A�M�B＝=∠∠�D�M�O＝=75°2，=75°

∴∠BAD＝180°﹣∠AMB﹣∠B＝75°；

③如图，当OM＝OD时，△DOM为等腰三角形，

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∴∠DMO＝∠D＝30°，

∴∠AMB＝∠DMO＝30°，

∴∠BAD＝180°﹣∠AMB﹣∠B＝120°＝∠BAC，此时AD与AC重合，不符合题意，舍去；

综上，∠BAD的度数为30°或75°，

故答案为：30°或75°．

【点评】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接

DE．若CD⊥DE，CE＝4，则AC的长是2．

3

【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．

【答案】．

【分析】根2据3BE＝BC，CD⊥DE得BD是RtCDE斜边CE上的中线，进而得BD＝BC＝BECE＝2，

1

则AD＝BD＝2，AB＝4，然后再由勾股定理即可求出AC的长．=2

【解答】解：∵BE＝BC，CD⊥DE，CE＝4，

∴BD是Rt△CDE斜边CE上的中线，

∴BD＝BC＝BECE＝2，

1

∵CD是Rt△AB=C2斜边AB上的中线，

∴AD＝BD＝2，

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∴AB＝AD+BD＝4，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC．

2222

故答案为：．=��−��=4−2=23

【点评】此题2主3要考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，理解直角三角形斜边的中线等于斜边

的一半，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．

14．如图，在△ABC中，已知D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，若S△CFE＝4，则△ABC的

面积为16．

【考点】三角形的面积．

【专题】三角形；运算能力．

【答案】16．

【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解．

【解答】解：∵F是BE的中点，S△CFE＝4，∴S△CFE＝S△CFB＝4，

∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝4+4＝8，

∵E是AD的中点，

∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，

∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE，

∴S△BDE+S△CDE＝8，

∴S△AEB+S△AEC＝8，

∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝8+8＝16．

则△ABC的面积为16．

故答案为：16．

【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高，解决本题的关键是利用三角形的中

线把三角形分成面积相等的两个三角形．

15．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠A＝∠C，AC＝18，CD＝6，动点P从点C出发向点A运

动，速度为1，同时动点Q从点A出发向点B匀速运动，连接PQ、PD，在运动过程中，存在某一时

刻使△CDP与△APQ全等，则点Q的运动速度为或1．

2

3

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【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．

【专题】图形的全等；运算能力．

【答案】或1．

2

【分析】3设运动时间为t，则CP＝t，AP＝18﹣t，再分△CDP≌△APQ和△CDP≌△AQP两种情况，

利用全等三角形的性质解答即可求解．

【解答】解：设运动时间为t，则CP＝t，

∴AP＝18﹣t，

∵∠A＝∠C，

当△CDP≌△AQP时，CD＝AQ，CP＝AP，

∴AQ＝6，t＝18﹣t，

解得t＝9．

∴点Q的运动速度为6÷9；

2

当△CDP≌△APQ时，CD=＝3AP，CP＝AQ，

∴18﹣t＝6，AQ＝t，

解得t＝12，AQ＝12，

∴点Q的运动速度为12÷12＝1；

综上，点Q的运动速度为或1，

2

故答案为：或1．3

2

【点评】本题3考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键．

三．解答题（共5小题）

16．“道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一

条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后

到达B处，这时小汽车与车速检测仪A处间的距离为50m，那么这辆小汽车超速了吗？并通过计算说

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明理由．（其中1m/s＝3.6km/h）

【考点】勾股定理的应用．

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．

【答案】这辆小汽车超速了，理由如下：

在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m，

根据勾股定理可得：BC（m），

22

∴小汽车的速度v=20（��m/s−）�＝�72=km4/0h，

40

∵72km/h＞70km/h=，2=

∴这辆小汽车超速行驶．

【分析】求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边

AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，

然后再判断是否超速了．

【解答】解：这辆小汽车超速了，理由如下：

在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：BC（m），

22

∴小汽车的速度v20（m/s）＝72km/h，=��−��=40

40

∵72km/h＞70km/h=，2=

∴这辆小汽车超速行驶．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长是解题关键．

17．（1）如图1，AC与BD相交于点O，连接AB，CD，△AOB≌△COD，点E为边AB上一点，连接

EO并延长交边CD于点F，求证：EO＝FO；

（2）如图2，在正方形纸片的四个角上分别剪去一个相同的小正方形，记该图形的对称中心为点O，

仅用无刻度的直尺，画出点P关于点O的对称点Q；

（3）如图3，若点P在图形内部，画出点P关于点O的对称点Q．

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【考点】全等三角形的判定与性质；中心对称．

【专题】作图题；三角形；图形的全等；几何直观；推理能力．

【答案】（1）∵△AOB≌△COD，

∴AO＝CO，∠A＝∠C，

又∵∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴EO＝FO；

（2）点Q如图所示即为所求；

（3）点Q如图所示即为所求．

【分析】（1）由全等三角形的性质可得AO＝CO，∠A＝∠C，再证明△AOE≌△COF（ASA），即可

得证；

（2）利用图形的中心对称性，先连接图形的对应顶点，找到对称中心O，连接PO并延长与图形另一

边的交点即为点Q；

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（3）利用图形的中心对称性，先连接图形的对应顶点，找到对称中心O，连接MP并延长，交左上角

小正方形的边于点E，连接EO并延长交右下角小正方形的边于点F，连接GF，连接PO并延长与GF

的交点即为点Q．

【解答】（1）证明：∵△AOB≌△COD，

∴AO＝CO，∠A＝∠C，

又∵∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴EO＝FO；

（2）点Q如图所示即为所求；

（3）点Q如图所示即为所求．

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，中心对称，作图，掌握以上知识点是解题的关键．

18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D和E，∠ACB的平分线

交AB于点F，若AF＝8，BF＝10．

（1）求证：∠CDE＝∠BAD；

（2）若△ABD的周长是48，求△BFC的面积．

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【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．

【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；运算能力；推理能力．

【答案】（1）∵DE垂直平分AC，

∴DE⊥AC，∠ADE＝∠CDE，

则∠AED＝90°，又∠BAC＝90°，

∴∠BAD+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠ADE，

∴∠CDE＝∠BAD；

（2）120．

【分析】（1）由垂直平分线的性质可得DE⊥AC，∠ADE＝∠CDE，进而得到∠BAD＝∠ADE，则∠

CDE＝∠BAD；

（2）根据题意可得AB+BC＝48，进而得到BC＝30，利用勾股定理求出AC，再根据

△�𝐹1

即可求解．�=2��⋅��

【解答】（1）证明：∵DE