2027版中考数学难题速递：函数基础知识

2027年中考数学复习难题速递之函数基础知识（2026年7月）

一．选择题（共10小题）

1．如图1，Rt△ABC与长方形BCDE的一条边重合，动点P从B出发沿折线B﹣C﹣D﹣E运动到E点停

止，运动速度为每秒1个长度单位，在P点运动过程中，△PAB的面积s与运动时间t（秒）的关系如

图2所示，则下列结论正确的是（）

A．AB＝2B．AB＝BEC．m＝10D．n＝12

2．如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC，E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，D是AB的中点，

连接DE，DF，EF，设BF＝x，△CEF的面积为y，图2是y关于x的函数图象，则下列说法不正确的

是（）

A．△DEF是等腰直角三角形

B．m＝1

C．△DEF的周长可以等于7

D．四边形CEDF的面积为2

3．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝ncm．动点P，Q均以1cm/s的速度从点C同时出

发，点P沿折线C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点A运动．当点Q运动到点A时，两点都停止

运动．△PCQ的面积S（单位：cm2）与运动时间t（单位：s）的关系如图2所示，则在运动的过程中，

△PCQ面积的最大值为（）

第1页（共36页）

A．B．C．11D．

213235

4．光合2作用和呼吸作用是植物3生命活动中至关重要的两个过程，光合作用3产氧速率与呼吸作用耗氧速率

相差越大，植物生长越快．某机构在水资源及光照充分的条件下，研究温度（单位：℃）对某品种草莓

光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响，得到如图所示的图象．根据图象分析，下列四个结论中

不正确的是（）

A．草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小

B．当温度为45℃时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大

C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大

D．草莓生长最快时的温度约为35℃

5．A骑摩托车，B骑自行车，从同一地点出发，沿同一公路由甲地到乙地．行驶路程y（km）与行驶时间

x（h）之间存在函数关系，图象如图所示．

给出下面的结论：

①甲、乙地相距80km；

②B行驶了40km用了2h；

③B比A晚出发3h；

④A行驶的平均速度为每小时40km．

则上述结论中，所有正确结论的序号是（）

第2页（共36页）

A．②③B．①②③C．①④D．①③④

6．如图①，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点E，动点F从点B出发匀速运动至点C，连接EF，

过点E作EG⊥EF交CD于点G，连接FG，设BF＝x，FG＝y，y关于x的函数图象如图②所示，下

列说法错误的是（）

A．正方形ABCD的边长为4

B．当x＝2时，点F运动至BC的中点

C．当x＝4时，y＝4

D．图②中，a的值为3

7．如图1，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D为AB的中点，点P为BC上一个动点，若

BP的距离为x，PD+PA＝y，则y关于x的函数关系图象如图2所示，点M为函数图象的最低点，则

BC的长为（）

A．3B．C．D．6

23第3页（4共36页）

8．如图，O的直径AB＝4，点P在O上，分别过点A、B、P作O的切线，相交于点C、D．设AD

＝x，BC⊙＝y，则y关于x的图象大致⊙是（）⊙

A．B．

C．D．

9．如图1，△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A→C→B运动，点Q从点A

出发以vcm/s的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设

2

运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm），y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示，

下列结论中错误的是（）

A．v＝1

B．

1

sin�=3

C．图象C2段的函数表达式为

1210

D．△APQ面积的最大值为8�=−3�+3�

10．如图1，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，动点P从A处出发沿AB向目的地B运动，同时动

点Q从B处出发沿BC﹣CD﹣DA向目的地A运动，它们同时到达终点．设AP为x（单位：cm），△

第4页（共36页）

QPE的面积为y（单位：cm2），y关于x的函数图象如图2所示，当点P在线段EB上运动时，该时段

函数图象的最高点坐标为（m，n）．下列选项错误的是（）

A．AE＝4cmB．CD＝6cmC．m＝5D．n＝2

二．填空题（共5小题）

11．古琴历史悠久，最初仅有五弦，对应传统五音：“宫、徵、商、羽、角”．其发声管的管长可以通过

“三分损益法”推算，例如基本音“宫”音的发声管长是81时，“宫”经“三分益一”得“徵”，即

“徵”音的发声管长是；“徵”经“三分损一”得“商”音的发声管长是

11

；“商”经“三分益8一1”×得(1“+羽3”)=；1“0羽8”经“三分损一”得“角”．设“宫”音的1发0声8×管(长1−为3x)cm=，

7五2根发声管的长度总和为ycm，则“徵”音的发声管长可用含x的代数式表示为

cm，y关于x的函数解析式为．

12．如图1，将一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，24秒时注满水槽．水

槽内水面的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的函数图象如图2所示．注满水后，将正方体铁块

取出，水槽内水位下降．若按原注水速度继续向水槽注水，再经过秒可将水槽重新注满．

13．如图所示，有四幅图象（从左到右排列），分别表示变量之间的关系．请根据图像从左到右的顺序，

将下列四个情境与图象进行匹配，并将正确的情境序号按顺序填写在横线上．

情境：①篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系；

②小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果质量的关系；

第5页（共36页）

③一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系；

④周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的

关系．

作答：正确的顺序是．

14．如图①，在正方形ABCD中，点E是边AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB

＝y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标为（a，5），则正方形ABCD的面积

为．

15．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C

→D的方向运动，到达点D后停止运动．已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间t（单

位：s）的函数关系如图2所示，则梯形ABCD的周长为．

三．解答题（共5小题）

16．王师傅非常喜欢自驾游，为了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到表格中

的数据：

行驶的路程s/km0100200300400500600

油箱剩余油量Q/L50422618102

（1）在这个问题中，自变量是，因变量是；

第6页（共36页）

（2）该轿车油箱的容量为L，当行驶200km时，油箱中的剩余油量为L；

（3）根据表格反映的规律写出Q与s之间的关系式为（不要求写出s的取值范围）；

（4）王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为22L，则A，

B两地之间的距离是km．

17．小华骑自行车从家出发去图书馆上自习，行驶了一段时间后，想起本来约好和同学小亮一起去图书馆，

于是又折返回刚经过的小亮家，约上小亮后继续赶往图书馆，直到抵达．如图是小华行驶过程中离家的

距离与时间关系的图象．

根据图象中提供的信息回答下列问题：

（1）自变量是，因变量是；

（2）图中AB段可能发生了；

（3）求整个行程过程中，小华的最快速度是多少米/分钟？

（4）当小华离家的距离为700米时，请直接写出小华出发了多长时间．

18．周六小峰去博物馆参观学习，他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观

完博物馆后直接骑自行车回家，如图所示是小峰离家的距离（m）和时间（min）之间的关系，根据图

象完成下列各题：

（1）小峰家到早餐店的距离是米；

（2）小峰吃早餐用了分钟，小峰在博物馆参观了分钟；

（3）小峰家到博物馆的距离是米；

（4）求小峰从博物馆返回家的平均速度是多少？

第7页（共36页）

19．园艺基地开展花卉幼苗培育工作．幼苗先在恒温棚完成预缓苗驯化，预缓苗时长记为T（T可取0，1，

2，3天）．驯化结束后转入露天环境正式培育；记露天培育的第x日，当日新增成活的幼苗数量为y

株．根据以往的培育经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝3时，部分数据如表：

露天培育天数x0123456789

T＝0时y的值07810121620232526

T＝3时y的值0243441m4648505253

T＝3时，从露天培育的第2日起，幼苗每日相比前一日多新增成活的株数逐渐减少或保持不变．对于

给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑

曲线连接，得到曲线T．当T＝1和T＝2时，曲线C1，C2如图所示．

（1）观察曲线C2，当∁整数x的值为时，当日新增成活株数y首次超过35株；

（2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝3时的曲线C3；

（3）新员工小俞和小张将进行花卉幼苗露天培育工作，先在恒温棚完成预缓苗驯化（预缓苗时长T可

取0，1，2，3天），驯化结束后转入露天环境正式培育．

①基地设定，若当日新增成活的幼苗数量不低于35株即可分批移栽，根据上述函数关系，小俞最早第

日能进行分批移栽；

②基地核算成本发现，预缓苗驯化成本为每日120元，露天培育养护成本为每日80元，每成活1株幼

苗可带来10元收益．基地希望小张在7日内获得的总利润（总利润＝收益﹣成本）最大，根据上述函

数关系，在这7日内应安排小张先进行日的预缓苗驯化．

第8页（共36页）

20．小华的爸爸每周三晚上都要骑电动车从家出发，前往学校看望住校的小华．这一天，爸爸途中突然想

起要给小华买资料书，于是原路折返到刚刚路过的书店买书（掉头用时忽略不计），买完资料后继续骑

车前往学校．已知小华家，书店和学校依次在同一直线上，如图是小华爸爸“离家距离﹣时间”的关系

图象，请结合图象信息解答下列问题：

（1）小华家到学校的距离是米．

（2）小华爸爸在书店停留了分钟．

（3）小华爸爸折返去书店的这段路程，一共骑行了米．

（4）这次出行，小华爸爸从家出发至抵达学校，如果不计中途停留的时间，只计算骑行时长，求小华

爸爸骑行的平均速度大约是多少？（结果保留整数，单位：米/分）

第9页（共36页）

2027年中考数学复习难题速递之函数基础知识（2026年7月）

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

题号12345678910

答案CCBCCDDCDD

一．选择题（共10小题）

1．如图1，Rt△ABC与长方形BCDE的一条边重合，动点P从B出发沿折线B﹣C﹣D﹣E运动到E点停

止，运动速度为每秒1个长度单位，在P点运动过程中，△PAB的面积s与运动时间t（秒）的关系如

图2所示，则下列结论正确的是（）

A．AB＝2B．AB＝BEC．m＝10D．n＝12

【考点】动点问题的函数图象．

【专题】函数及其图象；运算能力．

【答案】C

【分析】依据题意，根据三角形的面积公式和矩形的性质，结合函数的图象逐项判断可以得解．

【解答】解：由题意，结合图2可得，DE＝BC＝6×1＝6，

当BP＝BC＝6时，S△PABAB•BP＝12，

1

∴AB＝4，故A错误，不合=题2意；

又∵当6≤t≤9时，S△PAB不变为12，

∴CD＝（9﹣6）×1＝3．

∴BE＝CD＝3≠AB，故B错误，不合题意；

当t＝10时，P在DE上，则EP＝DE﹣DP＝6﹣1＝5，

第10页（共36页）

∴此时S△PAB＝mAB•EP4×5＝10，故C正确，符合题意；

11

∵当P运动到E时=，2运动的=路2程×为：6+3+6＝15，

∴运动时间t＝n＝15，故D错误，不合题意．

故选：C．

【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．

2．如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC，E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，D是AB的中点，

连接DE，DF，EF，设BF＝x，△CEF的面积为y，图2是y关于x的函数图象，则下列说法不正确的

是（）

A．△DEF是等腰直角三角形

B．m＝1

C．△DEF的周长可以等于7

D．四边形CEDF的面积为2

【考点】动点问题的函数图象；等腰直角三角形．

【专题】函数及其图象；等腰三角形与直角三角形；运算能力．

【答案】C

【分析】A．证明△ADE≌△CDF（SAS），则∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝∠CDE+∠EDA＝90°，DE＝

DF，即可求解；

B.，当时，S△CFE有最大值

1111

�△𝐶�=×��×𝐶=�(�−�)�=�=2×2×(22−2)=1

即可求解；2222

C．△DEF的周长＝ED+DF+EF＝2DEDE＝（2）DE，又AC＝BC＝2，则DE≤2，故

4.8＜22≤（2）DE≤4+2＜+7，2从而可以判+断2得解；22≤

2++22

D．四边形CEDF的面积＝S△CDE+S△CDF＝S△CDE+S△AED＝S△ACDS△ABC222，从而

111

得解．=2=2×2×2×2=

第11页（共36页）

【解答】解：A．连接CD，

∵△ABC为等腰直角三角形，D是AB的中点，

∴CD＝AD＝BD，∠DCF＝∠A＝45°，

又∵AE＝CF，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴DF＝DE，∠CDF＝∠ADE，

∴∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝∠CDE+∠EDA＝90°，CE＝BF，

∴△DEF是等腰直角三角形，故A正确，不合题意；

B．设AC＝BC＝a，CE＝BF＝a﹣x，

∴，

△𝐶�11

�=2×��×𝐶=2�(�−�)

∴当时，S△CFE有最大值，故m＝1，此时，故B正确，

11

不合题�=意2；�=2=2×2×(22−2)=1�=22

C．△DEF的周长＝ED+DF+EF＝2DEDE＝（2）DE，

∵AC＝BC＝2，+2+2

∴DE≤2．2

∴4.28＜≤22≤（2）DE≤4+2＜7，

∴4.8＜△D2E+F的周长+＜72，故C错误，2符合题意；

D．四边形CEDF的面积

△𝐶�△𝐶�△𝐶�△�𝐶△�𝐶1△���11

，故D正确，不合题意．=�+�=�+�=�=2�=2×2×22×22=

2故选：C．

【点评】本题考查的是四边形动点问题与二次函数结合，熟悉掌握动点问题的解决办法和二次函数图象

的相关性质，运用数形结合的思想是解题的关键．

3．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝ncm．动点P，Q均以1cm/s的速度从点C同时出

发，点P沿折线C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点A运动．当点Q运动到点A时，两点都停止

运动．△PCQ的面积S（单位：cm2）与运动时间t（单位：s）的关系如图2所示，则在运动的过程中，

第12页（共36页）

△PCQ面积的最大值为（）

A．B．C．11D．

213235

【考2点】动点问题的函数图3象．3

【专题】函数及其图象；运算能力．

【答案】B

【分析】根据所给函数图象上的关键点（10，10）判断出此时点P的位置，进而求得此时△PCQ的高，

然后根据三角形相似可得AB的长；易得当点P在AB上时，S有最大值，分别表示出此时CQ的长和

CQ边上的高，进而得到用t表示的S，根据二次函数的性质可得△PCQ面积的最大值．

【解答】解：∵BC＝4cm，函数图象过点（10，10），∴此时点P在AB上，

如图，作PM⊥AC于点M，

2

则CQ＝10cm，BP＝10﹣4＝6（cm），S△PCQCQ•PM＝10（cm），

1

=

∴，2

10×2

∵∠𝑃A＝=∠1P0AM=，2∠(�B�C)A＝∠PMA＝90°，

∴△PMA∽△BCA，

∴，即，解得AB＝12cm，

𝑃��2��−6

==

由函��数图�象�可得：4当点�P�在AB上时，S△PCQ有最大值．

由题意得：CQ＝tcm，则AP＝4+12﹣t＝（16﹣t）cm，

∴，

𝑃16−�

=

∴412，

1

𝑃=3(16−�)

第13页（共36页）

∴SCQ•PMt•（16﹣t）t2t（t﹣8）2，

11118132

===−+=−+

∴当t＝28时，△P2CQ3面积S有最大6值3．63

32

∴ACD均不合题意，B正确．3

故选：B．

【点评】本题考查根据函数图象获取信息、直角三角形相似、求二次函数的最值等知识，分析函数图象

上的点所对应的图形情况，用含t的代数式表示S是解决本题的关键．

4．光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率

相差越大，植物生长越快．某机构在水资源及光照充分的条件下，研究温度（单位：℃）对某品种草莓

光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响，得到如图所示的图象．根据图象分析，下列四个结论中

不正确的是（）

A．草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小

B．当温度为45℃时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大

C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大

D．草莓生长最快时的温度约为35℃

【考点】函数的图象．

【专题】函数及其图象；几何直观．

【答案】C

【分析】根据函数的图象逐一判断即可．

【解答】解：A．草莓的光合作用产氧速率先增大后减小，故本选项不符合题意；

B．当温度为45℃时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大，故本选项不符合题意；

C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率有时大有时小，故本选项符合题意；

D．草莓中有机物积累最快时的温度约为35℃，故本选项不符合题意．

第14页（共36页）

故选：C．

【点评】本题主要考查函数的图象，从图象中获得信息是解题的关键．

5．A骑摩托车，B骑自行车，从同一地点出发，沿同一公路由甲地到乙地．行驶路程y（km）与行驶时间

x（h）之间存在函数关系，图象如图所示．

给出下面的结论：

①甲、乙地相距80km；

②B行驶了40km用了2h；

③B比A晚出发3h；

④A行驶的平均速度为每小时40km．

则上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A．②③B．①②③C．①④D．①③④

【考点】函数的图象；函数的概念．

【专题】函数及其图象；运算能力．

【答案】C

【分析】观察函数图象，根据横纵坐标的含义及图象上的关键点坐标，结合路程、速度、时间的关系逐

一判断即可．

【解答】解：由题意可知甲、乙两地相距80km，故①正确，符合题意；

由图象可知，B的图象经过点（0，0）和（8，80），

∴B的速度为80÷8＝10（km/h），

∴B行驶40km所需时间为40÷10＝4（h），故②错误，不符合题意；

由图象可知，B在x＝0时出发，A在x＝3时出发，

∴A比B晚出发3h，故③错误，不符合题意；

第15页（共36页）

由图象可知，A的图象经过点（3，0）和（5，80），

∴A行驶路程为80km，用时5﹣3＝2（h），

∴A的平均速度为80÷2＝40（km/h），故④正确，符合题意；

综上所述，正确的结论是①④．

故选：C．

【点评】本题考查了函数图象，理解题意是关键．

6．如图①，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点E，动点F从点B出发匀速运动至点C，连接EF，

过点E作EG⊥EF交CD于点G，连接FG，设BF＝x，FG＝y，y关于x的函数图象如图②所示，下

列说法错误的是（）

A．正方形ABCD的边长为4

B．当x＝2时，点F运动至BC的中点

C．当x＝4时，y＝4

D．图②中，a的值为3

【考点】动点问题的函数图象．

【专题】函数及其图象；运算能力．

【答案】D

【分析】依据题意，根据正方形的性质，结合图②逐个选项分析计算可以得解．

【解答】解：由题意，当x＝0时，BF＝0，y＝FG＝BC＝4，即正方形ABCD的边长为4，故A正确，

不合题意；

∵四边形ABCD为正方形，

∴BE⊥CE，∠EBF＝∠ECG＝45°，

∵EF⊥EG，

∴∠BEF+∠FEG＝∠FEG+∠CEG＝90°，

∴∠BEF＝∠CEG．

∴△BEF≌△CEG（ASA）．

第16页（共36页）

∴EF＝EG．

∴y＝FGEF．

∴根据垂=线段2最短，当EF⊥BC时，EF最小，此时FG取最小值，

∴BFBC＝2时，y取最小值aEF＝2，故B正确，不合题意；D错误，符合题意；

1

当x＝=42时，y＝FG＝CD＝4，故=C正2确，不合2题意．

故选：D．

【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．

7．如图1，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D为AB的中点，点P为BC上一个动点，若

BP的距离为x，PD+PA＝y，则y关于x的函数关系图象如图2所示，点M为函数图象的最低点，则

BC的长为（）

A．3B．C．D．6

【考点】动点问题的函数图2象3；等边三角形的判定4与3性质．

【专题】函数及其图象；等腰三角形与直角三角形；运算能力．

【答案】D

【分析】依据题意，作A关于BC的对称点A'，连接A'D交BC于点P，再连接BD，由对称性，此时

PA+PD＝A'D，故根据两点之间线段最短，PA+PD的最小值为A'D，即结合图2，可得A'D＝3，从而可

得BC＝6，即可得解．

【解答】解：由题意，作A关于BC的对称点A'，连接A'D交BC于点P，再连接BD，

由对称性，此时PA+PD＝A'D，

第17页（共36页）

∴根据两点之间线段最短，PA+PD的最小值为A'D，即结合图2，可得A'D＝3．

∵A关于BC的对称点A'，

∴AB＝A'B，∠ABC＝∠A'BC＝30°．

∴∠ABA'＝60°，

∴△ABA'是等边三角形．

∴ADA'D，则AA'＝2AD＝AB＝A'B＝2．

3

∴AB＝=A3C＝2=．33

∵∠BAC＝120°3，

∴BC＝6．

故选：D．

【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象、等边三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能根据

题意列出关系式是关键．

8．如图，O的直径AB＝4，点P在O上，分别过点A、B、P作O的切线，相交于点C、D．设AD

＝x，BC⊙＝y，则y关于x的图象大致⊙是（）⊙

A．B．

C．D．

【考点】动点问题的函数图象；反比例函数的性质；切线的性质．

【专题】函数及其图象；反比例函数及其应用；圆的有关概念及性质；运算能力．

【答案】C

【分析】过D作DF⊥BC交BC于点F，由切线的性质可证四边形ABFD是矩形，BF＝AD＝x，根据切

线长定理得到CP＝CB＝y，DP＝DA＝x，则DC＝DP+CP＝x+y，在Rt△DFC中根据勾股定理，就可以

第18页（共36页）

求出y与x的关系，再判断其函数图象即可．

【解答】解：过D作DF⊥BC交BC于点F，

∵AM、BN与O切于点A、B，

∴AB⊥BC，A⊙B⊥AD，

又∵DF⊥BC，

∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，

∴四边形ABFD是矩形，

∴DF＝AB＝4，BF＝AD＝x，

∵BC＝y，

∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x，

∵DP切O于P，AD、BC与O切于点A、B，

∴DP＝D⊙A＝x，CP＝CB＝y，则⊙DC＝DP+CP＝x+y，

在Rt△DFC中，（x+y）2＝（y﹣x）2+42，

∴y．

4

∴y=是�x的反比例函数，

故选：C．

【点评】本题考查动点问题的函数图象，切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质以及勾股定理，

求反比例函数的解析式，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识．

9．如图1，△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A→C→B运动，点Q从点A

出发以vcm/s的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设

2

运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm），y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示，

下列结论中错误的是（）

第19页（共36页）

A．v＝1

B．

1

sin�=3

C．图象C2段的函数表达式为

1210

D．△APQ面积的最大值为8�=−3�+3�

【考点】动点问题的函数图象．

【专题】函数及其图象；运算能力．

【答案】D

【分析】依据题意，由图象确定点Q的速度，AB长，再由锐角三角函数用∠B的正弦值和x表示y，

将，代入问题可解．

16

(8)

【解答】3解：由题意，当点P在AC上运动时，，

11112

�=��⋅𝐴⋅𝑠��=×2�⋅��⋅=��

当x＝2，y＝2时，则，解得：v＝1，故2结论A正确，不合2题意；22

12

2=�×2

由图象可知，AC+CB＝20，2当P在BC上时，

1

�=⋅�⋅(20−2�)⋅𝑠��

当x＝8，时，则2，解得：，故结论B正确，不合题

161611

�==×8×(20−2×8)⋅𝑠��𝑠��=

意；3323

又∵，

111210

�=2⋅�(20−2�)×3=−3�+3�

∴图象C2段的函数表达式为，故结论C正确，不合题意；

1210

�=−3�+3�

当时，最大，故结论D错误，符合题意．

�121025

故选�=：−D2．�=5�=−3×5+3×5=3

【点评】本题是动点问题的函数图象探究题，考查了分段表示函数关系式，应用了锐角三角函数，解题

关键是理解图象反映出来的数学关系．

第20页（共36页）

10．如图1，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，动点P从A处出发沿AB向目的地B运动，同时动

点Q从B处出发沿BC﹣CD﹣DA向目的地A运动，它们同时到达终点．设AP为x（单位：cm），△

QPE的面积为y（单位：cm2），y关于x的函数图象如图2所示，当点P在线段EB上运动时，该时段

函数图象的最高点坐标为（m，n）．下列选项错误的是（）

A．AE＝4cmB．CD＝6cmC．m＝5D．n＝2

【考点】动点问题的函数图象；正方形的性质．

【专题】动点型；数形结合；函数思想；面积法；函数及其图象；创新意识．

【答案】D

【分析】根据所给点的坐标判断出各个动点的位置及相对应的线段的长度，进而判断各个选项是否正确

即可．

【解答】解：由题意得：点Q的运动速度是点P的3倍，

∵函数图象过点（1，4.5），此时点P在线段AE上，点Q在线段BC上，

2

∴AP＝1cm，BQ＝3cm，S△QPE＝4.5cm，

∴PE3，

4.5×2

∴AE＝=AP3+PE=＝1+3＝4cm，

故A选项正确，不符合题意；

∵函数图象过点（2.5，4.5），此时点P在线段AE上，点Q在线段DC上，如图1，

2

∴AP＝2.5cm，S△QPE＝4.5cm，

∴PE＝AE﹣AP＝4﹣2.5＝1.5cm，

第21页（共36页）

∴BC6cm，

4.5×2

∵四边=形1A.5BC=D是正方形，

∴CD＝BC＝6cm，

故B选项正确，不符合题意；

当点P在线段EB上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为（m，n），此时点Q在线段AD上，如

图2，

AP＝m，AQ＝3×6﹣3m＝18﹣3m，

∴PE＝AP﹣AE＝m﹣4，

∴y（m﹣4）（18﹣3m）m2+15m﹣36，

13

==−

∴抛物2线的开口向下，当m25时，y有最大值（5﹣4）×（18﹣3×5）＝1.5，

�1

∴n＝1.5，=−2�==2×

∴C选项正确，不符合题意，D选项错误，符合题意，

故选：D．

【点评】本题考查动点问题的函数图象．根据所给点的坐标判断出各个动点的位置是解决本题的关键．

二．填空题（共5小题）

11．古琴历史悠久，最初仅有五弦，对应传统五音：“宫、徵、商、羽、角”．其发声管的管长可以通过

“三分损益法”推算，例如基本音“宫”音的发声管长是81时，“宫”经“三分益一”得“徵”，即

“徵”音的发声管长是；“徵”经“三分损一”得“商”音的发声管长是

11

；“商”经“三分益8一1”×得(1“+羽3”)=；1“0羽8”经“三分损一”得“角”．设“宫”音的1发0声8×管(长1−为3x)cm=，

72

五根发声管的长度总和为ycm，则“徵”音的发声管长可用含x的代数式表示为cm，y关于x

4

�

的函数解析式为．3

421

【考点】函数关系式�=．81�

【专题】函数及其图象；运算能力．

第22页（共36页）

【答案】，．

4421

��=�

【分析】根3据题目给81出的“三分损益法”计算规则，依次求出徵，商，羽，角的发声管长，再将五个发

声管长度相加，即可得到y关于x的函数解析式．

【解答】解：根据题目给出的“三分损益法”计算规则，依次求出徵，商，羽，角的发声管长，再将五

个发声管长度相加可得：

①∵由题意得，宫音发声管长为xcm，“宫”经“三分益一”得“徵”，

∴徵的发声管长为：，

14

②∵“徵”经“三分�损×一(1”+得3“)=商3”�，(𝑐)

∴商的发声管长为：，

418

�×(1−)=�(𝑐)

∵“商”经“三分益一3”得“羽3”，9

∴羽的发声管长为：，

8132

�×(1+)=�(𝑐)

∵“羽”经“三分损一9”得“角3”，27

∴角的发声管长为：，

32164

�×(1−)=�(𝑐)

∵五根发声管长度总和27为y，381

∴．

483264421

�=�+�+�+�+�=�

故答案为：3，927．8181

4421

��=�

【点评】本题3考查了函81数关系式，理解题意，正确计算是关键．

12．如图1，将一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，24秒时注满水槽．水

槽内水面的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的函数图象如图2所示．注满水后，将正方体铁块

取出，水槽内水位下降．若按原注水速度继续向水槽注水，再经过18秒可将水槽重新注满．

【考点】函数的图象．

第23页（共36页）

【专题】函数及其图象；运算能力．

【答案】18．

【分析】根据函数图象可得正方体铁块的棱长为8cm，然后计算出无铁块时水面上升的速度，进而求出

无铁块时水面上升8cm所需的时间，两者之差即为取出铁块后需补充注水的时间．

【解答】解：∵没有铁块时，水面从8cm上升到14cm，所用的时间为24﹣6＝18（s），

∴水面上升的速度为，

1

(14−8)÷18=(𝑐/�)

∴若无铁块，水面上升8cm所需时间为3，

1

∴铁块占据的体积对应的注水时间为24﹣8÷6＝31=8（24s(）�)，

∴如果将正方体铁块取出，那么再经过18秒可将水槽注满．

故答案为：18．

【点评】本题考查了函数图象，熟练掌握从图象中获取信息是关键．

13．如图所示，有四幅图象（从左到右排列），分别表示变量之间的关系．请根据图像从左到右的顺序，

将下列四个情境与图象进行匹配，并将正确的情境序号按顺序填写在横线上．

情境：①篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系；

②小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果质量的关系；

③一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系；

④周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的

关系．

作答：正确的顺序是①③④②．

【考点】函数的图象；常量与变量．

【专题】函数及其图象；几何直观．

【答案】①③④②．

【分析】根据函数图象的特点：①是抛物线图象；②是一次函数图象；③是一次函数图象；④是分

段函数图，进行判断即可．

【解答】解：①运动员投出去的篮球的运动轨迹是抛物线，即从左到右第一幅图象；

②小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系是过原点的射线，即从左到右第

第24页（共36页）

四幅图象

③一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系是一次函数的图形，即从左到右第二

幅图象

④周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，开始时小明离家的距离随

时间的增大而增大；看图书期间距离随时间的增大而不变；返回途中距离随时间的增大而减小，即从左

到右第三幅图象．

所以正确的顺序是①③④②．

故答案为：①③④②．

【点评】此题考查函数图象问题，首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断

函数图象．

14．如图①，在正方形ABCD中，点E是边AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB

＝y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标为（a，5），则正方形ABCD的面积为20．

【考点】动点问题的函数图象．

【专题】函数及其图象；运算能力．

【答案】20．

【分析】由点D是点B关于直线AC的对称点，连接DE交AC于点P，则此时y取得最小值，即ED

＝5，即可求解．

【解答】解：如图，点D是点B关于直线AC的对称点，连接DE交AC于点P，

根据点的对称性，PB＝PD，则y＝PE+PB＝PD+PE＝DE为最小，

∴结合图②可得，ED＝5．

第25页（共36页）

设正方形的边长为m，则AEm，

1

在Rt△ADE中，由勾股定理得=：2DE2＝AD2+AE2，

∴m2+（m）2＝52．

1

∴m＝22（负值已舍去），

∴正方形5ABCD的面积为：（2）2＝20．

故答案为：20．5

【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到函数，正方形的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关

键．

15．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C

→D的方向运动，到达点D后停止运动．已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间t（单

位：s）的函数关系如图2所示，则梯形ABCD的周长为．

(10+23)𝑐

【考点】动点问题的函数图象．

【专题】函数及其图象；等腰三角形与直角三角形；运算能力．

【答案】．

【分析】(作10垂+线2后3构)�造�直角三角形，利用勾股定理求各三角形三边长度后即可求得周长．

【解答】解：由图2可知，t在0到2秒时，

此时点P位于AB上，运动时间为2s，即AB＝2cm．

t在2到4秒时，△PAD的面积不变，

此时点P位于BC上，运动时间为2s，即BC＝2cm．

则四边形CBEF为矩形．

∵BE＝CF，BC＝EF＝2，Rt△AEB中，∠A＝60°，

∴∠ABE＝30°，

第26页（共36页）

∴，，

12222

��=��=1𝑐𝐶=��=��−��=2−1=3(𝑐)

∴当点P2位于BC上时，，即，解得AD

111