考研数学二历年真题全套-2024（可打印版）

考研数学二历年真题全套_2024（可打印版）一、单项选择题（共10题，每题5分，共50分）1.设函数$f(x)$在$(a,b)$内连续，在$(a,b)$内除$x_0$点外可导且$f'(x_0)$不存在，则下列结论正确的是（）A．$f(x)$在$(a,b)$内不可积B．$f(x)$在$(a,b)$内必存在原函数C．$\lim\limits_{x\tox_0}f'(x)$存在D．$\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$存在2.已知函数$f(x)=\lnx-\int_1^x\frac{\sint}{t}\mathrm{d}t$，则$f'(x)$等于（）A．$\frac{\sinx}{x}$B．$\frac{\cosx}{x}$C．$-\frac{\sinx}{x}$D．$-\frac{\cosx}{x}$3.设函数$f(x)$在$x=0$处二阶可导，且$f(0)=0$，$f'(0)=1$，$f''(0)=3$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2f''(x)-2f(x)}{x^3}$等于（）A．1B．2C．3D．44.设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=f(1)$，则下列结论中错误的是（）A．存在$x_1\in(0,1)$，使得$f(x_1)=f(x_1+\frac{1}{2})$B．存在$x_2\in(0,1)$，使得$f(x_2)=f(x_2+\frac{1}{4})$C．存在$x_3\in(0,1)$，使得$f(x_3)=f(x_3+\frac{1}{3})$D．存在$x_4\in(0,1)$，使得$f(x_4)=f(x_4+\frac{1}{6})$5.设函数$f(x)=x^3\mathrm{e}^{-x}$，则$f(x)$的极值点个数为（）A．1B．2C．3D．46.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则下列不等式成立的是（）A．$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\geqslant(b-a)f(\frac{a+b}{2})$B．$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\leqslant(b-a)f(\frac{a+b}{2})$C．$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=(b-a)f(\frac{a+b}{2})$D．以上均不成立7.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)\geqslant0$，若$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=1$，则称$f(x)$为$[a,b]$上的概率密度函数，下列函数中可以作为概率密度函数的是（）A．$f(x)=\begin{cases}1，&0\leqslantx\leqslant1\\0，&\text{其他}\end{cases}$B．$f(x)=\begin{cases}2x，&0\leqslantx\leqslant1\\0，&\text{其他}\end{cases}$C．$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}，&0\leqslantx\leqslant2\\0，&\text{其他}\end{cases}$D．$f(x)=\begin{cases}3x^2，&0\leqslantx\leqslant1\\0，&\text{其他}\end{cases}$8.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)\geqslant0$，则下列结论正确的是（）A．若$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上恒大于0B．若$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=0$，则$f(x)$在$[a,b]$上恒等于0C．若$f(x)$在$[a,b]$上恒等于0，则$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=0$D．若$f(x)$在$[a,b]$上不恒等于0，则$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x>0$9.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)\geqslant0$，则下列结论正确的是（）A．若$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=1$，则$f(x)$在$[a,b]$上恒大于0B．若$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上恒大于0C．若$f(x)$在$[a,b]$上恒大于0，则$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x>0$D．若$f(x)$在$[a,b]$上恒等于0，则$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=0$10.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)\geqslant0$，则下列结论正确的是（）A．若$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=1$，则$f(x)$在$[a,b]$上恒等于1B．若$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上恒大于0C．若$f(x)$在$[a,b]$上恒大于0，则$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x>0$D．若$f(x)$在$[a,b]$上恒等于0，则$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=0$二、填空题（共6题，每题5分，共30分）1.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)\mathrm{d}t$，则$f'(x)=$________。2.设函数$f(x)=x^2\lnx$，则$f'(1)=$________。3.设函数$f(x)=\mathrm{e}^x\sinx$，则$f'(0)=$________。4.设函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，则$f'(1)=$________。5.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)\mathrm{d}t$，则$f'(0)=$________。6.设函数$f(x)=\int_1^x\frac{\lnt}{t}\mathrm{d}t$，则$f'(x)=$________。三、解答题（共6题，共70分）1.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)\geqslant0$，证明：存在$x_1\in(a,b)$，使得$\int_a^{x_1}f(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int_a^bf(t)\mathrm{d}t$。2.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)\geqslant0$，证明：存在$x_2\in(a,b)$，使得$f(x_2)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(t)\mathrm{d}t$。3.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)\geqslant0$，证明：存在$x_3\in(a,b)$，使得$f(x_3)=\frac{2}{(b-a)^2}\int_a^bf(t)\mathrm{d}t$。4.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)\geqslant0$，证明：存在$x_4\in(a,b)$，使得$f(x_4)=\frac{3}{(b-a)^3}\int_a^bf(t)\mathrm{d}t$。5.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)\geqslant0$，证明：存在$x_5\in(a,b)$，使得$f(x_5)=\frac{4}{(b-a)^4}\int_a^bf(t)\mathrm{d}t$。6.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)\geqslant0$，证明：存在$x_6\in(a,b)$，使得$f(x_6)=\frac{5}{(b-a)^5}\int_a^bf(t)\mathrm{d}t$。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：根据原函数的定义，若$f(x)$在$(a,b)$内除$x_0$点外可导，则$f(x)$在$(a,b)$内必存在原函数。2.A解析：根据变上限积分的求导公式，$f'(x)=\frac{\sinx}{x}$。3.C解析：根据洛必达法则，$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2f''(x)-2f(x)}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{2xf''(x)+x^2f'''(x)-2f'(x)}{3x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{2f''(x)+xf'''(x)-f'(x)}{3x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{2f''(x)+xf'''(x)-f'(x)}{3}=\frac{2\cdot3+0-1}{3}=3$。4.D解析：根据罗尔定理，存在$x_1\in(0,1)$，使得$f(x_1)=f(x_1+\frac{1}{2})$。同理，存在$x_2\in(0,1)$，使得$f(x_2)=f(x_2+\frac{1}{4})$，$x_3\in(0,1)$，使得$f(x_3)=f(x_3+\frac{1}{3})$，但不存在$x_4\in(0,1)$，使得$f(x_4)=f(x_4+\frac{1}{6})$。5.B解析：根据导数的定义，$f'(x)=3x^2\mathrm{e}^{-x}-x^3\mathrm{e}^{-x}=x^2\mathrm{e}^{-x}(3-x)$，令$f'(x)=0$，得$x=0$或$x=3$，$f''(0)=6\mathrm{e}^{-0}-0=6>0$，$f''(3)=9\mathrm{e}^{-3}-6\mathrm{e}^{-3}=-3\mathrm{e}^{-3}<0$，故$f(x)$在$x=3$处取得极大值，在$x=0$处取得极小值，极值点个数为2。6.A解析：根据积分中值定理，存在$x_0\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=f(x_0)(b-a)$，又根据凸函数的性质，$f(x)$在$[a,b]$上凸，故$f(x_0)\geqslantf(\frac{a+b}{2})$，即$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\geqslant(b-a)f(\frac{a+b}{2})$。7.C解析：根据概率密度函数的定义，$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(x)\geqslant0$，且$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=1$，故$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}，&0\leqslantx\leqslant2\\0，&\text{其他}\end{cases}$是概率密度函数。8.A解析：根据积分的性质，若$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上必存在一点$x_0$，使得$f(x_0)>0$，否则积分必为0。9.C解析：根据积分的性质，若$f(x)$在$[a,b]$上恒大于0，则$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x>0$。10.B解析：根据积分的性质，若$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上必存在一点$x_0$，使得$f(x_0)>0$，否则积分必为0。二、填空题1.$\sin(x^2)$解析：根据变上限积分的求导公式，$f'(x)=\sin(x^2)$。2.0解析：根据导数的定义，$f'(x)=2x\lnx+x$，$f'(1)=2\cdot1\cdot\ln1+1=1$。3.1解析：根据导数的定义，$f'(x)=\mathrm{e}^x\sinx+\mathrm{e}^x\cosx$，$f'(0)=\mathrm{e}^0\sin0+\mathrm{e}^0\cos0=1$。4.$-\frac{1}{4}$解析：根据导数的定义，$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}$，$f'(1)=\frac{1-\ln1}{1^2}=1$。5.$\sin(0^2)$=0解析：根据变上限积分的求导公式，$f'(x)=\sin(x^2)$，$f'(0)=\sin(0^2)=0$。6.$\frac{\lnx}{x}$解析：根据变上限积分的求导公式，$f'(x)=\frac{\lnx}{x}$。三、解答题1.证明：根据积分中值定理，存在$x_1\in(a,b)$，使得$\int_a^{x_1}f(t)\mathrm{d}t=f(x_1)(x_1-a)$，又根据积分的性质，$\int_a^bf(t)\mathrm{d}t=f(x_2)(b-a)$，其中$x_2\in(a,b)$，故$\frac{1}{2}\int_a^bf(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}f(x_2)(b-a)$，又根据积分中值定理，存在$x_1\in(a,b)$，使得$\int_a^{x_1}f(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}f(x_2)(b-a)$，故存在$x_1\in(a,b)$，使得$\int_a^{x_1}f(t)\mathrm{d}t=\frac