2024考研全国统考数学二历年真题（核心考点提炼）

2024考研全国统考数学二历年真题（核心考点提炼）（数学二真题范式：单项选择题约10题，每题5分，共50分；填空题约6题，每题5分，共30分；解答题约6题，共70分，总分150分）一、单项选择题（每小题5分，共50分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡相应位置。）1.设函数$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，若当$x\to0$时$f(x)-a-x$，则$a$等于（）A.$1$B.$-1$C.$\frac{1}{2}$D.$-\frac{1}{2}$2.已知函数$f(x)$在$x=0$处连续，且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，则$f(0)$等于（）A.$1$B.$0$C.$-1$D.$2$3.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)\,dt$，则$f'(x)$等于（）A.$\sin(x^2)$B.$\cos(x^2)$C.$\sin^2(x^2)$D.$2x\cos(x^2)$4.设函数$y=y(x)$由方程$xy^2+\mathrm{e}^y=x+1$确定，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$等于（）A.$\frac{y^2+\mathrm{e}^y}{1-2xy}$B.$\frac{y^2+\mathrm{e}^y}{2xy-1}$C.$\frac{1-2xy}{y^2+\mathrm{e}^y}$D.$\frac{2xy-1}{y^2+\mathrm{e}^y}$5.设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$f(x)\leqslant1$，则$\int_0^1f(x)\mathrm{e}^x\,dx$的值一定满足（）A.$\leqslant1$B.$\leqslant\mathrm{e}$C.$\leqslant\mathrm{e}^2$D.$\leqslant2$6.设函数$y=\ln(\sqrt{1+x^2}+x)$，则$y'$等于（）A.$\frac{1}{1+x}$B.$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$C.$\frac{1}{1+\sqrt{1+x^2}}$D.$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x}$7.设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$f(x)\geqslant0$，则$\int_0^1f(x)\,dx$的值一定满足（）A.$\leqslant1$B.$\leqslant\mathrm{e}$C.$\leqslant\mathrm{e}^2$D.$\leqslant2$8.设函数$y=\frac{\lnx}{x}$，则$y''$等于（）A.$\frac{1-\lnx}{x^2}$B.$\frac{\lnx-1}{x^2}$C.$\frac{2\lnx-1}{x^3}$D.$\frac{1-2\lnx}{x^3}$9.设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$f(x)\leqslant1$，则$\int_0^1f(x)\sinx\,dx$的值一定满足（）A.$\leqslant1$B.$\leqslant\pi$C.$\leqslant2$D.$\leqslant\pi^2$10.设函数$y=\mathrm{e}^{\sinx}+\sin(\mathrm{e}^x)$，则$y'$等于（）A.$\mathrm{e}^{\sinx}\cosx+\cos(\mathrm{e}^x)$B.$\mathrm{e}^{\sinx}\cosx+\mathrm{e}^x\cos(\mathrm{e}^x)$C.$\mathrm{e}^{\sinx}\cosx+\sin(\mathrm{e}^x)$D.$\mathrm{e}^{\sinx}\cosx+\mathrm{e}^x\sin(\mathrm{e}^x)$二、填空题（每小题5分，共30分。请将答案填在答题卡相应位置。）1.设函数$f(x)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{x^n}{1+x^n}+\frac{x}{2}\right)$，则$f(x)$的连续区间为________。2.设函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，则$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上的最大值等于________。3.设函数$y=\ln(\sqrt{1+x^2}+x)$，则$y'$在$x=0$处的值等于________。4.设函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$f(0)=0$，$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2$，则$f'(0)$等于________。5.设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$f(x)\leqslant1$，则$\int_0^1f(x)\,dx$的值一定满足________。6.设函数$y=\mathrm{e}^{\sinx}+\sin(\mathrm{e}^x)$，则$y'$在$x=0$处的值等于________。三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.（10分）设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$f(0)=0$，$f(1)=1$。证明：存在$\xi\in(0,1)$，使得$\xif'(\xi)+f(\xi)=1$。2.（10分）设函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上可导，且$f(0)=0$，$f'(x)\geqslant0$。证明：对任意$x\geqslant0$，都有$\int_0^xf(t)\,dt\geqslantxf\left(\frac{x}{2}\right)$。3.（10分）设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$f(x)\geqslant0$。证明：存在$\xi\in(0,1)$，使得$\int_0^\xif(t)\,dt=\xi\int_0^1f(t)\,dt$。4.（10分）设函数$y=y(x)$由方程$xy^2+\mathrm{e}^y=x+1$确定，求$y'(0)$和$y''(0)$。5.（10分）设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$f(x)\leqslant1$。证明：存在$\xi\in(0,1)$，使得$\int_0^\xif(t)\,dt=\xi$。6.（10分）设函数$y=\ln(\sqrt{1+x^2}+x)$，求$y''$。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C解析：$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$，所以$a=1$。2.B解析：$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}\cdotx^3=0$，所以$f(0)=0$。3.A解析：$f'(x)=\sin(x^2)$。4.A解析：对方程两边求导得$y^2+x\cdot2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\mathrm{e}^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1$，解得$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y^2+\mathrm{e}^y}{1-2xy}$。5.B解析：$\int_0^1f(x)\mathrm{e}^x\,dx\leqslant\int_0^1\mathrm{e}^x\,dx=\mathrm{e}-1\leqslant\mathrm{e}$。6.C解析：$y'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}\cdot\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+1\right)=\frac{1}{1+\sqrt{1+x^2}}$。7.A解析：$\int_0^1f(x)\,dx\leqslant\int_0^11\,dx=1$。8.A解析：$y'=\frac{\frac{1}{x}\cdotx-\lnx}{x^2}=\frac{1-\lnx}{x^2}$，$y''=\frac{-\frac{1}{x}\cdotx^2-(1-\lnx)\cdot2x}{x^4}=\frac{1-\lnx}{x^2}$。9.B解析：$\int_0^1f(x)\sinx\,dx\leqslant\int_0^1\sinx\,dx=1-\cos1\leqslant\pi$。10.B解析：$y'=\mathrm{e}^{\sinx}\cosx+\cos(\mathrm{e}^x)\cdot\mathrm{e}^x$。二、填空题1.$(-\infty,-1)\cup(0,1)$解析：$f(x)=\begin{cases}1+\frac{x}{2},&|x|<1\\\frac{1}{2},&x=-1\\0,&x=0\end{cases}$，当$x=0$时$f(x)$不连续。2.$1$解析：$f'(x)=\frac{1-\lnx}{x^2}$，令$f'(x)=0$得$x=\mathrm{e}$，$f(\mathrm{e})=1$为最大值。3.$\frac{1}{2}$解析：$y'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}\cdot\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+1\right)=\frac{1}{2}$。4.$2$解析：$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=2$。5.$\leqslant1$解析：$\int_0^1f(x)\,dx\leqslant\int_0^11\,dx=1$。6.$1$解析：$y'=\mathrm{e}^{\sinx}\cosx+\cos(\mathrm{e}^x)\cdot\mathrm{e}^x$，$y'(0)=1$。三、解答题1.证明：令$F(x)=x\lnx$，则$F'(x)=\lnx+1$。由拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(0,1)$，使得$\frac{F(1)-F(0)}{1-0}=F'(\xi)=\ln\xi+1$，即$\xi\ln\xi+\xi=1$，所以$\xif'(\xi)+f(\xi)=1$。2.证明：令$F(x)=\frac{\int_0^xf(t)\,dt}{x}$，则$F'(x)=\frac{xf'(x)-\int_0^xf(t)\,dt}{x^2}\geqslant0$，所以$F(x)$单调递增，$F(x)\geqslantF\left(\frac{x}{2}\right)$，即$\int_0^xf(t)\,dt\geqslantxf\left(\frac{x}{2}\right)$。3.证明：令$F(x)=\frac{\int_0^xf(t)\,dt}{x}$，则$F'(x)=\frac{xf'(x)-\int_0^xf(t)\,dt}{x^2}$。由拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(0,1)$，使得$F'(1)=\frac{f(\xi)-F(1)}{1}$，即$\int_0^\xif(t)\,dt=\xi\int_0^1f(t)\,dt$。4.解：对方程两边求导得$y^2+x\cdot2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\mathrm{e}^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1$，代入$x=0$得$y^2+\mathrm{e}^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1$，$y(0)=0$，解得$y'(0)=0$。再求二阶导得$2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2+\mathrm{e}^y\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2+\mathrm{e}^y\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=0$，代入$x=0$得$y''(0)=1$。5.证