2026考研数学一历年真题｜历年真题分类汇编

2026考研数学一历年真题｜历年真题分类汇编1.设函数$f(x)$在$x=0$处具有二阶连续导数，且$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)}{x^3}=-\frac{1}{6}$，则$f(0)$，$f'(0)$，$f''(0)$依次为（）A.$1$，$0$，$-\frac{1}{3}$B.$0$，$1$，$-\frac{1}{3}$C.$0$，$0$，$-\frac{1}{6}$D.$1$，$-1$，$-\frac{1}{3}$2.已知函数$f(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}$，则$\underset{x\to0^+}{\lim}xf'(x^2)$等于（）A.$1$B.$-1$C.$0$D.不存在3.设函数$f(x)=\int_0^x\frac{\sint}{\sqrt{1+\cos^2t}}\mathrm{d}t$，则$f(x)$的极值点个数为（）A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$4.设函数$y=y(x)$由方程$\mathrm{e}^{x+y}+\cos(xy)=1+x$确定，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$在点$(0,0)$处的值为（）A.$1$B.$-1$C.$0$D.$-2$5.设函数$f(x)=\begin{cases}\frac{\ln(1+x)}{x},&x>0,\\1,&x\leqslant0,\end{cases}$，则$f(x)$在$x=0$处（）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.可导且导数连续6.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)\mathrm{d}t$，则$f'(x)$等于（）A.$\sinx^2$B.$\sin^2x$C.$2x\sinx^2$D.$x\sinx^2$7.设函数$y=y(x)$由方程$2y^3-2y=x^2$确定，则$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$在点$(1,1)$处的值为（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$8.设函数$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leqslant0,\\x\mathrm{e}^x,&x>0,\end{cases}$，则$f'(x)$在$x=0$处（）A.存在且$f'(0)=0$B.存在且$f'(0)=1$C.不存在D.存在但$f'(0)$不唯一9.设函数$f(x)=\int_0^x\frac{\sint}{1+\cos^2t}\mathrm{d}t$，则$f'(x)$等于（）A.$\frac{\sinx}{1+\cos^2x}$B.$\frac{\cosx}{1+\sin^2x}$C.$\frac{\sinx}{1+\sin^2x}$D.$\frac{\cosx}{1+\cos^2x}$10.设函数$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leqslant0,\\x\mathrm{e}^x,&x>0,\end{cases}$，则$f'(x)$在$x=0$处（）A.存在且$f'(0)=0$B.存在且$f'(0)=1$C.不存在D.存在但$f'(0)$不唯一1.设函数$f(x)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{x^2}{1+x^2}\right)^n$，则$f(x)$的连续区间为________。2.设函数$f(x)=\int_0^x\frac{\sint}{1+\cos^2t}\mathrm{d}t$，则$\underset{x\to0}{\lim}\frac{f(x)}{x^3}$等于________。3.设函数$y=y(x)$由方程$\mathrm{e}^{x+y}+\cos(xy)=1+x$确定，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$在点$(0,0)$处的值为________。4.设函数$f(x)=\begin{cases}\frac{\ln(1+x)}{x},&x>0,\\1,&x\leqslant0,\end{cases}$，则$f'(0)$等于________。5.设函数$y=y(x)$由方程$2y^3-2y=x^2$确定，则$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$在点$(1,1)$处的值为________。6.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)\mathrm{d}t$，则$f''(x)$等于________。1.（10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且满足$f(0)=f(1)=0$，证明：存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=-2\xif(\xi)$。2.（10分）设函数$f(x)=\begin{cases}\frac{\ln(1+x)}{x},&x>0,\\1,&x\leqslant0,\end{cases}$，讨论$f(x)$在$x=0$处的连续性和可导性。3.（10分）设函数$y=y(x)$由方程$2y^3-2y=x^2$确定，求$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$。4.（10分）设函数$f(x)=\int_0^x\frac{\sint}{1+\cos^2t}\mathrm{d}t$，求$f'(x)$和$f''(x)$。5.（10分）设函数$y=y(x)$由方程$\mathrm{e}^{x+y}+\cos(xy)=1+x$确定，求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。6.（10分）设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)\mathrm{d}t$，求$f'(x)$和$f''(x)$，并讨论$f(x)$在$x=0$处的连续性和可导性。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C解析：由$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-f(x)}{x^3}=-\frac{1}{6}$，可得$f(x)=\sinx+\frac{1}{6}x^3+o(x^3)$，因此$f(0)=0$，$f'(0)=\cos0+\frac{1}{2}\cdot3x^2\bigg|_{x=0}+o(x^2)=1$，$f''(0)=-\sin0+\frac{1}{2}\cdot6x\bigg|_{x=0}+o(x)=0$，故选C。2.A解析：$f'(x)=\frac{x-x\ln(1+x)-\ln(1+x)}{x^2(1+x)}$，则$xf'(x^2)=\frac{x^2-x^2\ln(1+x^2)-\ln(1+x^2)}{x^4(1+x^2)}$，令$t=x^2$，则$\underset{x\to0^+}{\lim}xf'(x^2)=\underset{t\to0^+}{\lim}\frac{t-t\ln(1+t)-\ln(1+t)}{t^2(1+t)}=\underset{t\to0^+}{\lim}\frac{1-\ln(1+t)-\frac{t}{1+t}}{2t}=\underset{t\to0^+}{\lim}\frac{1-\frac{t}{2}-\frac{t}{1+t}}{2t}=\underset{t\to0^+}{\lim}\frac{1-\frac{t}{2}-\frac{t}{1+t}}{2t}=1$，故选A。3.B解析：$f'(x)=\frac{\sinx}{\sqrt{1+\cos^2x}}$，令$f'(x)=0$，则$\sinx=0$，解得$x=k\pi$，$k\in\mathbb{Z}$，在$(-\pi,\pi)$内，$x=0$，$f'(x)$在$x=0$左侧为负，右侧为正，故$x=0$是$f(x)$的极小值点，极值点个数为1，故选B。4.A解析：对方程$\mathrm{e}^{x+y}+\cos(xy)=1+x$两边关于$x$求导，得$\mathrm{e}^{x+y}(1+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})-y\sin(xy)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1$，在点$(0,0)$处，$\mathrm{e}^{0+0}(1+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})-0\cdot\sin0\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1$，解得$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1$，故选A。5.D解析：$\underset{x\to0}{\lim}f(x)=\underset{x\to0}{\lim}\frac{\ln(1+x)}{x}=1=f(0)$，故$f(x)$在$x=0$处连续；$f'(x)=\begin{cases}\frac{1}{1+x}-\frac{\ln(1+x)}{x^2},&x>0,\\0,&x\leqslant0,\end{cases}$，$\underset{x\to0^+}{\lim}f'(x)=\underset{x\to0^+}{\lim}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}=\underset{x\to0^+}{\lim}\frac{1-\frac{1}{1+x}}{2x}=\underset{x\to0^+}{\lim}\frac{x}{2x(1+x)}=\frac{1}{2}=f'(0)$，故$f(x)$在$x=0$处可导且导数连续，故选D。6.A解析：$f'(x)=\sinx^2$，故选A。7.C解析：对方程$2y^3-2y=x^2$两边关于$x$求导，得$6y^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x$，解得$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x}{3y^2-1}$，在点$(1,1)$处，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}$，再对$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x}{3y^2-1}$两边关于$x$求导，得$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{(3y^2-1)-x\cdot6y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{(3y^2-1)^2}$，在点$(1,1)$处，$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{2-6\cdot\frac{1}{2}}{1}=-1$，故选C。8.C解析：$f'(x)=\begin{cases}2x,&x\leqslant0,\\\mathrm{e}^x+x\mathrm{e}^x,&x>0,\end{cases}$，$\underset{x\to0^-}{\lim}f'(x)=0$，$\underset{x\to0^+}{\lim}f'(x)=1$，由于左右导数不相等，故$f'(x)$在$x=0$处不存在，故选C。9.A解析：$f'(x)=\frac{\sinx}{1+\cos^2x}$，故选A。10.C解析：同第8题，故选C。二、填空题1.$(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)$解析：当$|x|<1$时，$0<\frac{x^2}{1+x^2}<1$，则$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{x^2}{1+x^2}\right)^n=0$；当$|x|>1$时，$\frac{x^2}{1+x^2}>1$，则$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{x^2}{1+x^2}\right)^n=+\infty$；当$x=1$时，$\left(\frac{x^2}{1+x^2}\right)^n=\left(\frac{1}{2}\right)^n$，则$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{x^2}{1+x^2}\right)^n=0$；当$x=-1$时，$\left(\frac{x^2}{1+x^2}\right)^n=1^n=1$，故$f(x)$的连续区间为$(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)$。2.$\frac{1}{6}$解析：$\underset{x\to0}{\lim}\frac{f(x)}{x^3}=\underset{x\to0}{\lim}\frac{\int_0^x\frac{\sint}{1+\cos^2t}\mathrm{d}t}{x^3}=\underset{x\to0}{\lim}\frac{\frac{\sinx}{1+\cos^2x}}{3x^2}=\underset{x\to0}{\lim}\frac{x}{3x^2}=\frac{1}{6}$。3.1解析：同第4题，故填1。4.1解析：同第5题，故填1。5.-1解析：同第7题，故填-1。6.$2x\cosx^2$解析：$f'(x)=\sinx^2$，$f''(x)=2x\cosx^2$。三、解答题1.证明：令$F(x)=f(x)\mathrm{e}^{-x^2}$，则$F(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$F(0)=F(1)=0$，由罗尔定理，存在$\xi\in(0,1)$，使得$F'(\xi)=0$，即$f'(\xi)\m