专升本高等数学专项练习（PDF高清版）

专升本高等数学专项练习（PDF高清版）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。每小题只有一个选项符合题意。）1.函数f(x)=arcsin(x^2-x)的定义域为（）A.[-1,1]B.(-∞,-1]∪[1,+∞)C.[-√2,√2]D.(-1,1)2.极限lim(x→2)[(x^2-4)/(x-2)]的值为（）A.0B.2C.4D.不存在3.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值点为（）A.0B.1C.2D.34.曲线y=ln(x)在点(1,0)处的切线斜率为（）A.-1B.1C.eD.05.若函数f(x)在x=0处连续且可导，且f'(0)=3，则lim(h→0)[f(3h)-f(h)]/h的值为（）A.3B.6C.9D.126.不定积分∫(1/x)dx的值为（）A.ln|x|+CB.e^x+CC.x^2/2+CD.sinx+C7.微分方程y'+y=0的通解为（）A.y=Ce^xB.y=Ce^-xC.y=CxD.y=Csinx8.级数∑(n=1to∞)(-1)^(n+1)(1/n)的前三项和为（）A.1/2B.3/4C.5/6D.7/89.抛物线y=x^2关于直线x=1对称的抛物线方程为（）A.y=(x+1)^2B.y=(x-1)^2C.y=(x+2)^2D.y=(x-2)^210.函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上的积分值为（）A.1B.2C.1/2D.0二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。）1.已知函数f(x)=√(x+1)，则f'(0)=______。2.极限lim(x→∞)[(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+4)]的值为______。3.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最小值点为______。4.曲线y=e^x在点(0,1)处的法线方程为______。5.若函数f(x)在x=1处可导且f(1)=2，f'(1)=3，则lim(x→1)[(f(x)-2)/(x-1)]的值为______。6.级数∑(n=1to∞)(1/2^n)的和为______。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.(10分)计算极限lim(x→0)[(sin2x)/(e^x-1)]。2.(10分)求函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数，并求其单调区间和极值点。3.(10分)计算定积分∫(from0to1)(x^2+2x+1)dx。4.(10分)解微分方程y'-y=e^x。5.(15分)已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=0，f(1)=1。证明：存在一点c∈(0,1)，使得f(c)=c。6.(15分)计算二重积分∫∫(D)x^2ydydx，其中区域D由直线y=x，y=2x和y=2围成。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C解析：由|arcsin(x)|≤π/2，可得|x^2-x|≤π/2，解得-√2≤x≤√2。2.C解析：原式=lim(x→2)(x+2)=4。3.B解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(0)=2，f(1)=-1，f(2)=-2，f(3)=2，最大值点为3。4.B解析：y'=1/x，在x=1处y'=1。5.B解析：原式=lim(h→0)[f(3h)-f(0)-(f(h)-f(0))]/h=3f'(0)-f'(0)=2f'(0)=6。6.A解析：∫(1/x)dx=ln|x|+C。7.B解析：y'=-y，通解为y=Ce^-x。8.B解析：前3项和=1-1/2+1/3=5/6。9.B解析：原抛物线顶点为(0,0)，对称后顶点为(2,0)，方程为y=(x-2)^2。10.B解析：∫(-1to1)|x|dx=2∫(0to1)xdx=1。二、填空题1.1/√2解析：f'(x)=1/(2√(x+1))，f'(0)=1/2。2.3/5解析：原式=lim(x→∞)[(3+2/x+1/x^2)/(5-3/x+4/x^2)]=3/5。3.1解析：同选择题3解析。4.x+y=1解析：y'=e^x，在x=0处y'=1，法线斜率为-1，方程为y=-x+1。5.3解析：原式=f'(1)=3。6.1解析：原式=∑(n=1to∞)(1/2^n)=1/(1-1/2)=1。三、解答题1.解：原式=lim(x→0)[2cos2x/(e^x-1)]=2lim(x→0)[cos2x/(e^x-1)]=2lim(x→0)[cos2x/(x)]=2lim(x→0)[-2sin2x/(2x)]=-2。2.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。当x<0时f'(x)>0，当0<x<2时f'(x)<0，当x>2时f'(x)>0。单调增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调减区间为(0,2)。极大值点为x=0，极大值为f(0)=2；极小值点为x=2，极小值为f(2)=-2。3.解：原式=[x^3/3+x^2+x](from0to1)=(1/3+1+1)-(0+0+0)=7/3。4.解：原方程为y'-y=e^x，对应齐次方程y'-y=0的通解为y_h=Ce^x。令y_p=Ae^x代入原方程得A=1，特解为y_p=e^x。通解为y=y_h+y_p=Ce^x+e^x=(C+1)e^x。5.证明：令F(x)=f(x)-x，则F(0)=f(0)-0=0，F(1)=f(1)-1=0。由罗尔定理，存在c∈(0,1)使得F'(c)=0，即f'(c)-1=0，得f(c)=c。6.解：积分区域D由y=x，y=2x和y=2围成，即0≤y≤2，y/x≤x≤y/x。原式=∫(from0to2)∫(fromy/xtoy/x)x^2ydydx=∫(from0to2)[x^2y^2/2](fromy/xtoy/x)dx=∫(from0to2)[x^2(y/x)^4/2-x^2(y/x)^2/2]dx=∫(from0to2)[x^2y^4/x^4