浙江宁波市镇海蛟川书院2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题（含解析）

初三数学试卷一、选择题本大题有10小题，每小题3分．1.下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】【分析】需关注各圆相关结论的适用前提，结合定义判断说法的正确性．【详解】解：①直径是经过圆心的弦，故①正确；②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误；③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误；④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误；综上，正确的说法共个．2.若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，那么这个三角形是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定【答案】B【解析】【详解】试题分析：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形．故选B．考点：三角形的外接圆与外心．3.点P为⊙O内一点，且OP=4，若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为（）．A.12 B. C.8 D.10.5【答案】C【解析】【分析】过点P最长的弦是圆的半径，最短的弦是与OP垂直的弦，所以过点P的弦最长是12，最短是．【详解】解：如图所示，OP⊥AB，则AB是过点P最短的弦，∴AP=BP，OA=6，OP=4，在Rt△AOP中，AP==，所以AB=．由于8＜，所以过点P的弦长不可能为8．故选C．4.如图，为的外接圆的直径，若，则等于（）A.32° B.36° C.48° D.52°【答案】A【解析】【分析】连接，根据圆周角定理的推论得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：连接，∵为的外接圆的直径，∴∵，∴，由圆周角定理得，，故选：A．本题考查的是圆周角定理的应用，掌握直径所对的圆周角是直径是解题的关键．5.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的E处，点B落在D处，则的长为（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理，旋转，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．根据题意和勾股定理得，根据旋转即可得，即可得．【详解】解：在中，，根据勾股定理得，，∵将绕点A逆时针旋转，使点C落在边上的E处，点B落在D处，∴，∴，故选：A．6.线段是的直径，弦于点．若，则半径长为（）A. B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、圆的性质、勾股定理等知识，连接，如图所示，由垂径定理得到，设，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解决问题的关键．【详解】解：连接，如图所示：线段是的直径，弦于点，，在中，，，由勾股定理可得，解得，故选：D．7.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∵四边形是的内接四边形，∴.8.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是()A.45° B.60° C.75° D.85°【答案】D【解析】【详解】解：∵B是弧AC的中点，∴∠AOB=2∠BDC=80°．又∵M是OD上一点，∴∠AMB≤∠AOB=80°．则不符合条件的只有85°．故选D．本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理求得∠AOB的度数是关键．9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CB，∠BAC＝30°，BD＝，则AD＋CD的值为（）A.3 B.2 C.＋1 D.不能确定【答案】A【解析】【分析】如图，过点B作BE⊥AD于E，BF⊥DC交DC的延长线于F．利用全等三角形的性质证明DE＝DF，AE＝CF，推出DA＋DC＝2DF，求出DF即可解决问题．【详解】解：如图，过点B作BE⊥AD于E，BF⊥DC交DC的延长线于F．∵AB＝BC，∴＝，∴∠BDE＝∠BDF，∵∠DEB＝∠DFB＝90°，DB＝DB，∴△BDE≌△BDF（AAS），∴BE＝BF，DE＝DF，∵∠AEB＝∠F＝90°，BA＝BC，BE＝BF，∴Rt△BEA≌Rt△BFC（HL），∴AE＝CF，∴AD＋DC＝DE＋AE＋DF﹣CF＝2DF，∵∠BDF＝∠BAC＝30°，BD＝，∴BF＝BD＝，∴DF＝＝，∴DA＋DC＝3，故选：A．本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10.如图，的半径是5，点A是圆周上一定点，点B在上运动，且，，垂足为点C，连接，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设交于，连接、、，过作于，连接，由题意易证明是等边三角形，即得出，，从而由勾股定理可求出．再根据直角三角形斜边中线的性质可知，最后利用三角形三边关系即可求解．【详解】设交于，连接、、，过作于，连接，，，，是等边三角形，，，由勾股定理得：．，．，，在中，，，的最小值是，故选：D．本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质和三角形三边关系的应用．正确的作出辅助线是解题关键．二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）11.在中，弦，，则的半径为___________．【答案】【解析】【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到直角三角形，再结合等腰三角形和含角的直角三角形即可求解．【详解】解：如图，过点作于点，∵，都是的半径，∴，∵，，∴由垂径定理得，∵，，∴，在中，，∴．12.的直径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是______．【答案】点P在外【解析】【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．若点与圆心的距离d，圆的半径为r，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可．【详解】解：∵的直径为，∴的半径为，∵点P到圆心O的距离为，，∴点P与的位置关系是点P在外．故答案为：点P在外．13.如图，的弦、半径延长交于点，，若，则_________．【答案】【解析】【分析】作辅助线OB，根据OA＝OB＝BD＝半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可求解．【详解】连接OB，∵BD＝OA，OA＝OB∴△AOB和△BOD为等腰三角形，设∠D＝x°，则∠OBA＝2x°，∵OB＝OA，∴∠A＝2x°，在△AOB中，2x＋2x＋（105−x）＝180，解得：x＝25，即∠D＝25°．故答案是：．此题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，以及三角形的外角的性质三角形内角和定理，难易程度适中．14.如图，的半径为4，点为上一点，弦于点，，则___________．【答案】【解析】【分析】连接，求解，可得，再进一步可得答案.【详解】解：连接，∵的半径为4，弦于点，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴.15.如图，的直径，是上半圆（，除外）上任一点，的平分线交于，弦过，的中点，，则的长是___________．【答案】【解析】【分析】连接交于点，连接，由垂径定理的结论说明，从而说明是的中点，在中，由勾股定理得的长，即可求得．【详解】解：连接交于点，连接，平分，，，，，，，分别是，的中点，，，．，，是的中点，，，直径，，，在中，，由勾股定理得，．16.如图，在平面直角坐标系中，经过原点，且与轴交于点，与轴交于点，点在第二象限上，且，则__．【答案】2+【解析】【分析】连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC=a．利用勾股定理构建方程解决问题即可．【详解】解：连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC=a．∵∠AOB=90°，∴AB是直径，∵A（-4，0），B（0，2），∴，∵∠AMC=2∠AOC=120°，，在Rt△COH中，，，在Rt△ACH中，AC2=AH2+CH2，∴，∴a=2+或2-（因为OC＞OB，所以2-舍弃），∴OC=2+，故答案为：2+．本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．17.如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________．【答案】【解析】【分析】过点O作于点E，连接，根据垂径定理得出，根据等腰三角形的判定和性质得出，整理得出，最后求出结果即可．【详解】解：过点O作于点E，连接，如图所示：则，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，负值舍去，即的半径为．18.直线l：与x轴交于点A．与y轴交于点B，以为直径作，点P为线段上一动点（与点O、A不重合），作于C，连结并延长交于点D．连接，当点P在线段上运动时，则的最大值是___________．【答案】【解析】【分析】连接，，先后证明，，得到，然后证明，得到，所以，设，则，所以，再根据二次函数的性质，即可求得答案．【详解】解：连接，，令，则，令，则，解得，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，设，则，，当时，的最大值是．三、解答题19.如图，AB是的直径，四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD=CD．（1）求证：；（2）若，，求BC的长．【答案】（1），∴=又为半径，，为直径，，（2）【解析】【分析】（1）先根据垂径定理推出，从而得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，所以，从而结论得证；（2）设半径为r，再根据勾股定理列出方程求出r，从而求出直径AB的值，再次根据勾股定理可求出BC即可．【详解】解：（1）略（2）设圆的半径为r，，，在中，即，所以，，O是AC，AB的中点，本题考查了垂径定理和圆周角定理的推论，掌握相关知识是解题的关键．20.如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∠BAC=2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．【答案】（1）证明：连接OA，如下图1所示：∵AB=AC，∴=，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO．∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，∴∠BAC=2∠ABD．（2）∠BCD的值为67.5°或72°；（3）．【解析】【分析】(1)连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．(2)分三种情形：①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．(3)如图3中，作AEBC交BD的延长线于E．则，进而得到，设OB=OA=4a，OH=3a，根据BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，构建方程求出a即可解决问题．【详解】解：(1)略(2)如图2中，延长AO交BC于H．①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DBC=2∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴8∠ABD=180°，∴∠C=3∠ABD=67.5°．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，∴10∠ABD=180°，∴∠BCD=4∠ABD=72°．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述：∠C的值为67.5°或72°．(3)如图3中，过A点作AEBC交BD的延长线于E．则==，且BC=2BH，∴==，设OB=OA=4a，OH=3a．则在Rt△ABH和Rt△OBH中，∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2，∴25-49a2=16a2﹣9a2，∴a2=，∴BH=，∴BC=2BH=．故答案为：．本题属于圆的综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．21.如图，在锐角三角形中，以边为直径的交于点，作．依次交于点，交于点，交于点．（1）求证：；（2）若，的直径等于5，，求CE的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接AD，由圆周角定理得出∠ADC=90°，根据等角的余角相等得∠DAC=∠GBC，由圆周角定理得出∠DAC=∠DEC，可得∠EBC=∠DEC，即可证明△ECD∽△BCE；（2）证出BD=AD，得出AD+DC=7，由勾股定理得出AD2+DC2=AC2，即（7-DC）2+DC2=52，解得DC=4或DC=3，由题意得出DC=3，AD=4，由相似三角形的性质得出CE：BC=CD：CE，即可得出答案．【详解】解：（1）证明：连接AD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠ADB=90°，∵BH⊥AC，∴∠BGC=90°，∵∠DAC+∠ACD=∠GBC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠GBC，又∵∠DAC=∠DEC，∴∠EBC=∠DEC，∵∠ECD=∠BCE，∴△ECD∽△BCE；（2）解：由（1）得：∠EBC=∠DEC，∵∠ABC=45