2027版53B版新高考版数学总复习重难突破培优12　空间几何体的动态和探索问题

培优12空间几何体的动态和探索问题类型1动点轨迹问题例1

(多选)(2025江苏苏州八校三模)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为

AB的中点,F为侧面BCC1B1内的动点(含边界),则下列说法正确的是

()A.使三棱锥F-AD1E体积取得最大值的点F唯一B.存在点F,使得直线C1F与C1E的夹角为

C.D1E⊥AF时,点F的轨迹是线段

BCD

D.D1E∥平面A1C1F时,点F的轨迹长为

解析对于A,三棱锥F-AD1E的体积=

d,其中d是点F到平面AD1E的距离,且

为定值,则体积最大即为d最大.观察可知平面AD1E为平面ABC1D1,更易求F到平面AD1E的距离.连接BC1,B1C,由正方体性质可知B1C⊥BC1,AB⊥平面BCC1B1,因为B1C⊂平面BCC1B1,所

以AB⊥B1C,又AB∩BC1=B,AB,BC1⊂平面ABC1D1,所以B1C⊥平面ABC1D1,由F为侧面BCC1B1内的动点(含边界),得点B1和点C到平面ABC1D1的距离最大且相等,所

以使三棱锥F-AD1E体积取得最大值的点F有两个,故A中说法错误.对于B,利用“连续变化的角存在中间值”分析夹角的存在性,先分析两个特殊的位置.由正方体性质可知AB⊥平面BCC1B1,所以∠EC1B是直线EC1与平面BCC1B1所成的角,由题意可得EB=1,BC1=

=2

,此时tan∠EC1B=

=

=

<1,则∠EC1B<

,由正方形性质可知点B1和点C到直线BC1的距离最大,而tan∠EC1C=

=

>1,故∠EC1C>

,当F在侧面BCC1B1内(含边界),在BC上从B移动到C时,C1F与C1E的夹角会从∠EC1B

连续变化到∠EC1C

.所以存在点F,使得直线C1F与C1E的夹角为

,故B中说法正确.对于C,关键是找过点A与D1E垂直的平面来确定F的轨迹.

分别取BB1,BC的中点G,H,连接AG,GH,AH,连接A1E交AG于I,如图1,在Rt△A1AE与Rt△ABG中,

所以Rt△A1AE≌Rt△ABG,所以∠AA1E=∠BAG.因为∠AA1E+∠A1EA=90°,所以∠BAG+∠A1EA=90°,则∠AIE=90°,

即A1E⊥AG.则AG⊥D1E(三垂线定理),同理AH⊥D1E,又AG∩AH=A,AG,AH⊂平面AGH,所以D1E⊥

平面AGH,(建立空间直角坐标系验证,以D为坐标原点建立如图1所示的空间直角坐标系D-xyz,则

A(2,0,0),H(1,2,0),G(2,2,1),D1(0,0,2),E(2,1,0),则

=(0,2,1),

=(-1,2,0),

=(2,1,-2),则

·

=0+2-2=0,

·

=-2+2+0=0,则

⊥

,

⊥

),则若D1E⊥AF,且F既在平面AGH内,又在侧面BCC1B1内(含边界),则点F的轨迹是线段GH,故C中说法正确.

对于D,以D为原点,建立如图2所示的空间直角坐标系,则C1(0,2,2),A1(2,0,2),E(2,1,0),D1

(0,0,2),则

=(2,1,-2),取BB1的三等分点X且2BX=XB1,连接A1X,C1X,易知X

,则

=

,

=

,设平面A1C1X的法向量为m=(x,y,z),则

所以

取z=3,则m=(2,2,3),则m·

=2×2+1×2-2×3=0,又D1E不在平面A1C1X内,(不要忘记说明直线D1E不在平面A1C1X内)所以D1E∥平面A1C1

X,又点F在侧面BCC1B1内(含边界),所以若D1E∥平面A1C1F,则点F的轨迹为线段C1X,此时点F的轨迹长度为C1X=|

|=

=

.故D中说法正确.下面分析为什么取BB1的三等分点?延长AB至P,使AB=BP,取BP的中点Q,由D1C1=EQ,D1C1∥EQ,得四边形D1C1QE为平行四边形,则QC1∥D1E,连接QA1,交B1B于X,由BQ∶AQ=1∶3,BB1∥AA1,得XB∶AA1=1∶3,

即取BB1的三等分点X.故选BCD.例2

(多选)(2025河南信阳联考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,P,Q为底面

ABCD内的两个动点,且满足PA=2PB.设PD1与平面ABCD所成的角为θ,当θ取得最大值

时,

=

=S0,则下列说法正确的是

()A.P的轨迹是圆(部分)B.θ的最大值为

C.S0=

D.θ取最大值时,Q的轨迹是椭圆(部分)

ABD

解析以B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标

系,

则A(0,2),设P(x,y),因为PA=2PB,所以

=2

,即x2+

=

,所以点P的轨迹是以点E

为圆心,

为半径的圆在底面ABCD内的部分,故A中说法正确.因为D1D⊥平面ABCD,所以∠D1PD是PD1与平面ABCD所成的角.在Rt△D1DP中,tanθ=

=

,因为y=tanθ在θ∈

上单调递增,所以锐角θ最大时,正切值最大,此时PD最短,此时DP=DE-

=

-

=2,(圆外定点D到圆上动点P的距离的最小值为圆心到定点距离减去圆的半径)从而tanθ=

=1,所以θ的最大值为

,故B中说法正确.当θ取得最大值时,

=

=S0=

DP·DD1=

×2×2=2,故C中说法错误.设点Q到D1P的距离为d,由等面积法求d.因为

=

=

D1P·d=

d=2,所以d=

,所以点Q在以D1P为轴,底面半径为

的圆柱与底面ABCD的交线上,又圆柱的轴D1P与底面ABCD的夹角为∠D1PD=

,(圆柱的斜截面为椭圆)所以点Q的轨迹是椭圆(部分),故D中说法正确.故选ABD.归纳总结

动点轨迹问题通常有轨迹形状判断和求轨迹的长度(最值)两种题型,解决此类问

题的关键是求动点的轨迹,求动点轨迹一般有两种思路,一是根据线面位置关系和空间

几何体的结构特征能直观判断动点的轨迹(如:动点P满足PA⊥PB,点A和点B为定点,则

点P的轨迹是以AB为直径的圆;或者判断动点P的轨迹是否满足圆锥曲线的定义);二是

建立空间直角坐标系,根据题干条件设出动点的坐标,利用线面位置关系或题干条件得

出动点坐标的方程,对比圆锥曲线方程特点判断动点的轨迹;对于轨迹最值问题,通常是

要求最值的量用动点的某个坐标表示(注意坐标的取值范围),通过函数或基本不等式

求最值,有时也可以根据空间几何体的结构特征和题干条件直观判断何时取最值,判断后直接求解即可.类型2翻折问题例如图,在△ABC中,O是BC的中点,AB=AC,AO=2OC=2.将△BAO沿AO折起,使B点移

至图中B'点位置.(1)求证:AO⊥平面B'OC;(2)当三棱锥B'-AOC的体积取最大值时,求二面角A-B'C-O的余弦值.

解析

(1)证明:要证线面垂直,即证AO垂直于平面B'OC内两条相交直线,利用翻折前后

不变量,可得AO⊥OB',AO⊥OC.∵AB=AC且O是BC的中点,∴AO⊥BC,即AO⊥OB',AO⊥OC,又∵OB'∩OC=O,OB'⊂平面B'OC,OC⊂平面B'OC,∴AO⊥平面B'OC(线面垂直的判定

定理).(2)解法一:在平面B'OC内,作B'D⊥OC于点D,则由(1)可知B'D⊥OA,又OC∩OA=O,OA,OC⊂平面AOC,∴B'D⊥平面AOC,即B'D是三棱锥B'-AOC的高,又B'D≤B'O,∴当D与O重合时,三棱锥B'-AOC的体积最大,此时B'O⊥平面AOC,(因为三棱锥B'-AOC的底面面积不变,当三棱锥的高最大,即点B'到底面距离最大时,三

棱锥B'-AOC的体积最大,此时B'O垂直于底面)过O作OH⊥B'C于点H,连接AH,如图,

由(1)知AO⊥平面B'OC,又B'C⊂平面B'OC,∴B'C⊥AO,∵AO∩OH=O,AO,OH⊂平面AOH,∴B'C⊥平面AOH,∵AH⊂平面AOH,∴B'C⊥AH,∴∠AHO即为二面角A-B'C-O的平面角.在Rt△B'OC中,B'O=OC=1,OH⊥B'C,∴B'C=

,OH=

,在Rt△AOH中,AO=2,∴AH=

=

,∴cos∠AHO=

=

,故二面角A-B'C-O的余弦值为

.解法二向量法:在平面B'OC内,作B'D⊥OC于点D,则由(1)可知B'D⊥OA,又OC∩OA=O,OA,OC⊂平面AOC,∴B'D⊥平面AOC,即B'D是三棱锥B'-AOC的高,又B'D≤B'O,∴当D与O重合时,三棱锥B'-AOC的体积最大,此时B'O⊥平面AOC.以O为原点,OA,OC,OB'所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(2,0,0),C(0,1,0),O(0,0,0),B'(0,0,1),则

=(-2,1,0),

=(0,1,-1),

=(2,0,0),设平面AB'C的法向量为n=(x,y,z),则

令z=1,则x=

,y=1,则n=

.易知

=(2,0,0)是平面OB'C的一个法向量,则cos<n,

>=

=

,由图可得该二面角的平面角为锐角,故二面角A-B'C-O的余弦值为

.归纳总结翻折问题的处理策略1.明确翻折前后变与不变的量,翻折前后在同一面内的量不发生变化,翻折前后不在同

一面内的量发生变化.2.翻折后变化的量的大小要进行推理计算证明,不能从图形中凭感觉主观判断.3.翻折后不易计算的量,可以回归到翻折前的图形中计算.类型3与动点相关的综合问题例

(2026河北沧州期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA=PD,O是

AD中点,PO⊥平面ABCD,PO+AB=4.(1)求四棱锥P-ABCD体积的最大值.(2)设PO=2,E为线段AB上的动点.①求平面PAD与平面PEC夹角的余弦值的取值范围;②四棱锥P-ABCD的外接球记为球M,当E为线段AB的中点时,求平面PEC截球M所得的

截面面积.

解析

(1)设AB=x,则PO=4-x,0<x<4,所以四棱锥P-ABCD体积V=

x2(4-x)=-

x3+

x2,0<x<4.体积V是关于x的三次函数,可利用导数分析函数的单调性,进一步求最值.求导得V'=-x2+

x.由V'>0⇒0<x<

;由V'<0⇒

<x<4.所以V=-

x3+

x2在

上单调递增,在

上单调递减.所以当AB=x=

时,四棱锥P-ABCD的体积最大,为

×

×

=

.(2)①题中有PO⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,可考虑建系解决问题.以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

则P(0,0,2),C(-1,2,0),A(1,0,0),所以

=(1,-2,2),设E(1,t,0),0≤t≤2,则

=(2,t-2,0),设平面PEC的法向量为m=(x,y,z),则

即

即

令y=4,则m=(4-2t,4,2+t).易知平面PAD的一个法向量为n=(0,1,0).设平面PAD与平面PEC的夹角为θ,则cosθ=

=

=

.(要注意t的范围)因为0