2026秋新教材人教版九年级上册数学30.1 直线与圆 教案

第第页2026秋新教材人教版九年级上册数学\o"30.1直线与圆"30.1直线与圆教案课题：30.1.1直线与圆相离、相切、相交教学目标1.理解直线与圆的三种位置关系的定义；2.掌握用数量关系判断直线与圆的位置关系的方法；3.通过运动的观点探究直线与圆的三种位置关系,培养学生观察、发现和分析问题的能力.重点难点探索并掌握直线与圆的三种位置关系.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入问题:1.点与圆有哪几种位置关系?怎样判断点与圆的位置关系?2.怎样过直线外一点作已知直线的垂线段?师生活动:学生进行抢答,教师做好评价与总结.点与圆的位置关系的判定方法有观察图形、比较点到圆心的距离d和圆的半径r之间的数量关系等.教师强调d所表示的意义.思考：图30-1-5你看过日出吗?你知道在太阳升起的过程中,太阳和地平线会有几种不同的位置关系吗?师生活动:教师利用多媒体演示太阳升起的过程,指导学生观察太阳与地平线的公共点的情况,并倾听学生交流,引导学生进行探究.二、合作探究【探究】直线与圆的位置关系的判定一、用定义判断直线与圆的位置关系思考:如图30-1-6,在纸上画一条直线l,把钥匙环看作一个圆,在纸上移动钥匙环.在移动钥匙环的过程中,圆与直线l会有几种位置关系?它们的公共点个数又是如何变化的?图30-1-6师生活动:学生进行操作后,小组内合作、交流,表述自己的观点,教师进行鼓励与评价,最后归纳出结论.教师出示直线与圆的三种位置关系的定义,并引导学生总结直线与圆不同位置的公共点的个数情况.判断:1.直线与圆最多有两个公共点. (√)2.若直线与圆相交,则直线上的点都在圆上. (×)3.若A是☉O上一点,B是☉O外一点,则直线AB与☉O相切. (×)4.若C是☉O外一点,则过点C的直线与☉O相交或相离. (×)5.若直线a和☉O有公共点,则直线a与☉O相交. (×)二、用数量关系判断直线与圆的位置关系思考:“直线与圆的位置关系”能否像“点与圆的位置关系”一样进行数量分析?如图30-1-7,设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.在直线与圆的三种位置关系中，d与r具有怎样的大小关系?反过来,你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗?图30-1-7教师提出问题,根据发现和认识,指导学生填表:直线与圆的位置关系公共点的个数公共点的名称直线的名称圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系师生活动:学生通过对直线与圆的位置关系的概念理解填空,根据学生的回答,教师出示相关答案.教师利用课件演示直线与圆的位置关系,引导学生观察圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系,学生合作交流,讨论出不同位置关系时的d和r的数量关系.教师根据学生回答,教师引导学生总结直线与圆的位置关系及判断方法,适时总结并板书.教师板书:直线与圆的位置关系:直线与圆相离:没有公共点,d>r;直线与圆相切:只有一个公共点,d=r;直线与圆相交:有两个公共点,d<r.判断直线与圆位置关系的方法:①利用圆心到直线的距离d和半径r的大小关系;②利用直线与圆的公共点个数.即时小练:已知☉O的半径为5cm,点O到直线l的距离为d,当d=4cm时,直线l与☉O相交;当d=5cm时,直线l与☉O相切;当d=6cm时,直线l与☉O相离.

三、例题讲解例1如图30-1-8,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12.以边AB的中点D为圆心,以r为半径作☉D.若r=2.5,分别判断AC,BC与☉D的位置关系.图30-1-8解:如图30-1-9,过圆心D分别作AC,BC的垂线,垂足分别为E,F,则DE,DF的长分别为圆心D到AC,BC的距离.图30-1-9连接CD,由D为AB的中点,得CD=AD=BD,因而E,F分别为AC,BC的中点,∴DE=12BC,DF=12∵BC=12,AC=5,r=2.5,∴DE>r,DF=r,∴AC与☉D相离,BC与☉D相切.例2如图30-1-10,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5.若以点C为圆心,r为半径作圆.(1)当直线AB与☉C相切时,求r的取值范围;(2)当直线AB与☉C相离时,求r的取值范围;(3)当直线AB与☉C相交时,求r的取值范围.图30-1-10答案:(1)r=125(2)0<r<125(3)r>12四、课堂总结课堂练习1.已知圆的直径为13cm,设圆心到直线的距离为d.(1)若d=4.5cm,则直线与圆相交,直线与圆有2个公共点;

(2)若d=6.5cm,则直线与圆相切,直线与圆有1个公共点;

(3)若d=8cm,则直线与圆相离,直线与圆有0个公共点.

2.已知☉O的半径为5cm,圆心O与直线AB的距离为dcm,根据条件填写d的值或取值范围:(1)若直线AB与☉O相离,则d>5;

(2)若直线AB与☉O相切,则d=5;

(3)若直线AB与☉O相交,则0≤d<5.

板书设计：作业内容：教学反思课题：30.1.2圆的切线（1）教学目标1.使学生掌握圆的切线的性质和切线的判定定理；2.能够运用切线的判定定理证明直线是圆的切线；3.综合运用切线的判定定理和性质解决问题,培养学生的逻辑推理能力.重点难点圆的切线的性质与判定.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入问题:1.直线与圆有哪几种位置关系?你有哪些判断方法?2.什么叫作圆的切线?怎样判断一条直线是不是圆的切线?师生活动:学生回答问题,教师引导学生进行复习并及时总结.思考：转动雨伞时飞出的雨滴、在砂轮上打磨工件时产生的火星都是沿着什么方向飞出的?图30-1-19都是沿圆的切线方向飞出的.二、合作探究【探究1】切线的性质思考:如图30-1-20,直线l与☉O相切于点A,连接OA,那么☉O的半径OA与过点A的切线l有什么关系?图30-1-20如图30-1-21,设P为直线l上不同于点A的点.因为直线l与☉O只有一个公共点A,所以点P在☉O外,从而OP>OA,即半径OA是圆心O与直线l上的点的最短连线.因此,半径OA图30-1-21与直线l垂直(可以用反证法证明),由此得到切线的性质.师生活动:教师引导学生小组内进行分析.师生共同总结:切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径.符号语言:∵直线l与☉O相切于点A,∴直线l⊥OA.【探究2】切线的判定定理图30-1-22思考:按上述性质,若☉O的切线l经过半径OA的外端点A,那么l⊥OA.反过来,如图30-1-22,若直线l过半径OA的外端点A,且l⊥OA,那么直线l是☉O的切线吗?可以看出,这时圆心O到直线l的距离就是☉O的半径,因而直线l就是☉O的切线.由此可得到切线的判定定理.教师引导学生对切线的判定定理进行概括,并发表意见.师生共同总结,教师板书:切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.三、例题讲解例1如图30-1-23,A为☉O上一点,PB为☉O的切线,切点为B,PB=4,PA=2,求☉O的半径长.图30-1-23解:如图30-1-24,连接OB.图30-1-24∵PB为☉O的切线,∴OB⊥PB,即∠OBP=90°.设☉O的半径长为r,则OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r.在Rt△OBP中,由勾股定理,得OB2+PB2=OP2,即r2+42=(2+r)2,解得r=3,∴☉O的半径长为3.例2如图30-1-25,AB是☉O的弦,PA是☉O的切线,PA=PB.求证:PB是☉O的切线.图30-1-25证明:如图30-1-26,连接OA,OB,OP.图30-1-26∵PA与☉O相切于点A,∴PA⊥OA,即∠PAO=90°.∵PA=PB,OA=OB,OP=OP,∴△PAO≌△PBO,∴∠PBO=∠PAO=90°,∴PB⊥OB.这样,PB经过☉O的半径OB的外端点B,并且垂直于半径OB,∴PB是☉O的切线.四、课堂总结课堂练习课本152页板书设计：作业内容：教学反思课题：30.1.2圆的切线（2）教学目标1.掌握切线长的定义及切线长定理,并利用切线长定理进行有关的计算；2.了解切线长定理的探索和证明、过圆外一点作圆的切线的尺规作图.重点难点与切线长定理有关的计算和证明.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入问题1:直线与圆有哪几种位置关系?切线的性质和判定定理的内容分别是什么?师生活动:教师引导学生进行解答,并适时补充和讲解.教师总结:①直线与圆有3种位置关系:相交、相切、相离.②切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径;切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.问题2:过圆上一点可以作圆的切线吗?如果能,可以作几条?能,过圆上一点只能作圆的一条切线.二、合作探究【探究1】尺规作图——过圆外一点作圆的切线图30-1-461.过圆外一点可以作圆的几条切线?(2条)2.如图30-1-46,过☉O外一点P,你能用直尺和圆规作出☉O的切线吗?P是☉O外一点,要过点P作☉O的切线.因为两点确定一条直线,并且所求作的直线过点P且与☉O相切,所以需在☉O上确定一点A,满足OA⊥AP,即∠OAP=90°.由此可知,点O,P,A可以确定一个圆,OP是这个圆的直径.因此以OP为直径作圆,该圆与☉O的交点即所要确定的点.根据上面的想法,可以用直尺和圆规作出过圆外一点的圆的切线.图30-1-47作法:如图30-1-47.(1)连接OP,作线段OP的垂直平分线MN,与OP交于点C;(2)以点C为圆心,CO为半径作圆,与☉O相交于A,B两点;(3)作直线PA,PB,即所求作的切线.3.切线长的概念:把经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫作这点到圆的切线长.如图30-1-48,线段PA,PB的长就是点P到☉O的切线长.图30-1-484.切线长和切线的区别:切线是直线,切线长是切线上一部分线段的长.图30-1-49【探究2】切线长定理如图30-1-50,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为A,B,过点O,P作直线OP.线段PA与PB,∠APO与∠BPO有什么关系?图30-1-50猜测:PA=PB,∠APO=∠BPO.说明:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的依据.问题:你能运用所学知识进行证明吗?师生活动:学生小组内讨论、交流,教师引导学生作辅助线证明三角形全等即可,学生写出证明过程,教师巡视、指导.图30-1-51证明:如图30-1-51,连接OA,OB.∵PA和PB是☉O的两条切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB.又OA=OB,OP=OP,∴Rt△POA≌Rt△POB,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.由此得到切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如何根据图形,用符号语言描述切线长定理呢?师生活动:学生根据定理的题设和结论,结合图形,进行回答,教师板书并补充.符号语言:∵PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.拓展归纳:如图30-1-52,PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,直线OP交☉O于点D,交AB于点C.图30-1-52(1)图中所有的垂直关系:OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP.(2)图中与∠OAC和∠AOC相等的角:∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC,∠AOC=∠BOC=∠PAC=∠PBC.(3)图中所有相等的线段:PA=PB,AC=BC,OA=OB=OD.(4)图中所有的全等三角形:△AOP≌△BOP,△AOC≌△BOC,△ACP≌△BCP.(5)图中所有的等腰三角形:△ABP,△AOB.三、例题讲解例1如图30-1-53,PA,