2026秋新教材人教版九年级上册数学29.1 圆的有关概念 教案

第第页2026秋新教材人教版九年级上册数学\o"29.1圆的有关概念"29.1圆的有关概念教案课题：29.1.1圆的有关概念教学目标1.探索圆的两种定义,理解并掌握弦、弧、优弧、劣弧、半圆等基本概念,并能够从图形中识别；2.体会圆的不同定义方法,感受圆和实际生活的联系；3.理解并掌握点与圆的三种位置关系.重点难点掌握点与圆的三种位置关系.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、情境引入圆象征着圆满和谐.古希腊数学家毕达哥拉斯认为:“一切立体图形中最美的是球,一切平面图形中最美的是圆.”圆形物体在生活中很常见,许多物体都给我们以圆的形象(图29-1-10). 图29-1-10 二、合作探究【探究1】圆的定义问题1:在小学,我们已经对圆有了初步认识,如图29-1-11,观察画圆的过程,你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗?图29-1-11师生活动:学生观察画圆的过程,并动手尝试画圆.师生共同得出结论:图29-1-12如图29-1-12,在一个平面内,线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点P所形成的图形叫作圆.其固定的端点O叫作圆心,线段OP叫作半径.以点O为圆心的圆,记作☉O,读作“圆O”.注意:“圆”指的是“圆周”,不是“圆面”.问题2:从画圆的过程你还能得出哪些结论呢?师生活动:学生分小组讨论、交流问题,教师适时点拨,得出结论:(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r);(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.因此,圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.问题3:确定一个圆的要素是什么?一是圆心,圆心确定其位置;二是半径,半径确定其大小.【探究2】点与圆的位置关系观察画圆的过程,你还发现了什么?问题1:平面被圆分成了几部分?教师请同学们回答(三部分).问题2:相应地,平面内的点与圆有几种位置关系,观察图29-1-13中点A,B,C与☉O的位置关系是怎样的?图29-1-13教师板书:平面内的点与圆有三种位置关系:点在圆外,点在圆上,点在圆内.问题3:设☉O的半径为r,任意一点到圆心O的距离d与半径r的关系.教师板书:点到圆心的距离d与圆的半径r之间的数量关系有三种:d>r,d=r,d<r.问题4:反过来,已知任意一点P到圆心O的距离d和☉O的半径r,能否判断点P和☉O的位置关系?师生活动:学生进行口答,阐述自己的想法,教师引导全班同学发现、探究规律,继而进行总结归纳.教师继续板书:d>r⇔点P在圆外;d=r⇔点P在圆上;d<r⇔点P在圆内.符号“⇔”读作“等价于”,它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端,从右端也可以推出左端.【探究3】圆的有关概念1.弦:连接圆上任意两点的线段叫作弦,经过圆心的弦叫作直径,直径长是半径长的2倍.如图29-1-14,AB,AC是弦,AB是直径.图29-1-14注意:(1)弦和直径都是线段;(2)直径是经过圆心的特殊弦;(3)直径是弦,但弦不一定是直径.探索:圆中最长的弦是什么?为什么?图29-1-15图中最长的弦是直径.2.弧:圆上任意两点间的部分叫作圆弧,简称弧.以A,B为端点的弧记作AB,读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫作半圆.优弧和劣弧:小于半圆的弧叫作劣弧,如图29-1-16中的AC;图29-1-16大于半圆的弧叫作优弧,如图中的ABC(用三个字母表示).3.等圆:能够重合的两个圆叫作等圆.容易看出:同圆或等圆的半径相等;反过来,半径相等的两个圆是等圆.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫作等弧.三、例题讲解例1如图29-1-17,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证:A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.图29-1-17证明:∵四边形ABCD为矩形,对角线AC,BD相交于点O,图29-1-18∴OA=OC=12AC,OB=OD=12BD,AC=BD∴OA=OC=OB=OD,∴A,B,C,D四个点在以点O为圆心、OA为半径的圆上(图29-1-18).师生活动:学生思考问题,教师进行个别提问,学生进行阐述,教师进行总结.例2☉O的半径为10,根据下列点P到圆心O的距离,判断点P和☉O的位置关系:(1)8;(2)10;(3)12.[答案:(1)点P在☉O内(2)点P在☉O上(3)点P在☉O外]变式在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,以点B为圆心,BC为半径作圆,点A,C和☉B有怎样的位置关系?[答案:点C在☉B上,点A在☉B外]四、课堂总结课堂练习板书设计：作业内容：教学反思课题：29.1.2过三点的圆（1）教学目标1.理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆及其运用；2.熟练掌握尺规作图,作出经过不在同一条直线上的三点的圆；3.了解三角形的外接圆和外心等概念.重点难点理解和掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆,了解三角形的外接圆和外心等概念.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入1.什么是圆?2.画出圆后,观察圆上各点到圆心的距离有什么关系.3.到圆心的距离大于半径的点在什么位置呢?小于半径的点呢?师生活动:学生自主回答问题,教师鼓励学生积极思考,同时进行强调和总结.二、合作探究【课堂引入】图25思考：图25是一个损坏的旋转木马圆形底座的一部分，你能将旋转木马损坏的圆形底座还原吗?想一想：怎样确定一个圆?【探究】不在同一条直线上的三点确定一个圆活动一:问题1:经过一个点A能不能作圆?如果能,这样的圆能作出多少个?问题2:经过两个点A,B能不能作圆?如果能,所作圆的圆心的位置有什么特点?师生活动:学生动手操作,教师进行指导、帮助,讨论交流后统一结论:经过一个点A作圆,只要以点A以外任意一点为圆心,以这一点与点A的距离为半径就可以作出,这样的圆有无数个(图26①);经过两个点A,B作圆,由于所作圆的圆心到A,B两点的距离相等,所以圆心在线段AB的垂直平分线上,这样的圆也可以作出无数个(图②).图26活动二:问题:经过不在同一条直线上的三个点A,B,C能不能作圆?如果能,如何确定所作圆的圆心?师生活动:教师引导学生进行分析:经过不在同一条直线上的三个点A,B,C作圆,因为所作的圆要经过A,B,C三点,其圆心应满足到这三个点的距离都相等,所以所作圆的圆心既要在线段AB的垂直平分线上,又要在线段BC的垂直平分线上,显然所作圆的圆心就是这两条垂直平分线的交点.学生说明作图步骤:1.连接AB,BC;2.分别作线段AB,BC的垂直平分线l1,l2,设l1,l2相交于点O;3.以点O为圆心,OA为半径,作出☉O.☉O就是经过A,B,C三点的圆(如图27).图27教师引导学生总结结论,并板书:不在同一条直线上的三个点确定一个圆(教师引导学生注意:对于在同一条直线上的三个点不能确定一个圆).教师根据图形进行讲解并拓展:(1)经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫作三角形的外接圆;(2)三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫作这个三角形的外心,这个三角形叫作圆的内接三角形.三、例题讲解例1如图28,△ABC是边长为2的等边三角形,作出它的外接圆,并求外接圆的半径长.图28答案:作图略外接圆的半径长为233例2如图29,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,☉D的一条圆弧经过格点A,B,C,现在以格点O为原点、水平和竖直方向为x,y轴建立平面直角坐标系.(1)圆心D的坐标为;

(2)求☉D的半径长;(3)若点E的坐标是(-1,3),试判断点E与☉D的位置关系,并说明理由.图29解:(1)如图30所示,连接AB,BC,分别作AB,BC的垂直平分线交于点D,则点D(2,0)即为所求.故答案为(2,0).(2)如图,连接AD.由勾股定理,得AD=42+22=25,即☉D图30(3)点E在☉D内.理由如下:∵DE=(-1-2)2+(3-0)2∴点E在☉D内.四、课堂总结课堂练习课本118页板书设计：作业内容：教学反思课题：29.1.2过三点的圆（2）教学目标1.了解反证法,掌握反证法证明的过程；2.通过学生的独立思考、交流合作,让学生经历问题解决的过程,体验解决问题策略的多样性.重点难点反证法的证明过程.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程一、复习引入请同学们判断下列命题的真假,并说明理由.1.在直角三角形中,两锐角互余.2.若x>y,z<0,则xz<yz.3.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形.4.在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于60.学生回答,并说明理由.(1,2,4为真命题,3为假命题.命题3学生只需举出反例,命题1,2,4需证明.)师:根据大家刚才的推理,3是假命题,我们只需要举出反例说明它是错误的.1,2,4是真命题,我们需要进行严格的证明.这三个命题的证明方法有什么区别呢?生:学生叙述三个命题证明方法上的区别.师:1,2两个命题是直接由已知推导出结论正确,命题4是从命题结论的反面出发间接证明,这种方法就是今天我们要学习的反证法.二、合作探究【探究】反证法思考:我们知道,经过不在同一条直线上的三个点,可以作一个圆.那么,经过同一条直线上的三个点,可以作一个圆吗?教师引导学生写出已知、求证,并画出图形.图29-1-36解:已知:如图29-1-36,点A,B,C三点在直线l上.求证:过A,B,C三点不能作圆.图29-1-37证明:如图29-1-37,假设经过同一条直线l上的A,B,C三点可以作一个圆.设这个圆的圆心为P,那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上,又在线段BC的垂直平分线l2上,即点P为l1与l2的交点.而l1⊥l,l2⊥l,这与以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以,经过同一条直线上的三个点不能作圆.上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同,它不是直接去证明命题的结论,而是先提出与结论相反的假设(即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆),再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果,然后由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.这种方法叫作反证法.反证法的一般步骤:①假设命题的结论不成立;②推理得出矛盾;③肯定原命题的结论成立.三、例题讲解例1用反证法说明:两直线平行,同位角相等.图29-1-38解:如图29-1-38,我们要证明:如果AB∥CD,那么∠1=∠2.假设∠1≠∠2,过点O作直线A'B',使∠EOB'=∠2.根据“同位角相