【《常微分方程初值问题的数值解法分析》1800字】

常微分方程初值问题的数值解法分析虽然求常微分方程解析解的方法多种多样，但这些方法只能对一些特殊类型的常微分方程进行求解.在实际问题中遇到的常微分方程，往往不能求出其解析解，所以在实际应用时需要通过数值计算求出满足要求的数值解.在自然科学与社会科学的许多领域中，常常会遇到一阶常微分方程的初值问题 （1.1）定理：如果方程（1.1）中的右端函数满足：（1）是实值函数；（2）函数在矩形区域内连续；（3）关于满足Lipschitz条件：即存在正常数，使得对任意,下列不等式成立：，则方程（1.1）存在唯一的解.对于方程（1.1），本文给出了三种常见的数值解法：欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法.1.1欧拉法欧拉法是最简单的方法，虽然其精度不高，但欧拉法的公式简单，也体现了其他方法的基本特征.欧拉法的具体求解如下：将区间作等分，步长为，节点为：.由可以得到在的导数值为：.利用泰勒展式：，忽略二阶无穷小量，得到：，其中为的近似值.由可以算出，依次进行可计算出在所有节点上的近似值，可以得出递推公式： （1.2）欧拉法的几何意义：欧拉法实际上是用过已知点的折线（图(1)中的虚折线）来近似代替过该点的积分曲线.不难看出，越小，则该折线逼近积分曲线越好，因此人们也将欧拉法称为欧拉折线法.由泰勒展式导出的欧拉法是一种单步法，其局部截断误差的阶为，整体误差的阶为.图11.2改进的欧拉法欧拉法是最简单的方法，容易操作且计算量小，但欧拉法的精度太低，如果增加步数，误差也会随之增多.因此，需要进一步对欧拉法进行研究.为了解决欧拉法带来的不便，可以通过改进欧拉法来提高精度.除了可以用泰勒展式导出欧拉法外，还可以从数值积分的角度来求解方程（1.1）.对微分方程两边从到进行积分，得到：，即：.用梯形公式近似上式积分，得：，再用，分别替代，，得： . (1.3)公式（1.3）被称为梯形公式.梯形公式法是二阶方法，其本身是一种隐式算法.虽然梯形公式的精度提高了，但是计算较为复杂.因此，可以结合欧拉公式和梯形公式再进行一次改进.先用欧拉公式求出一个初步的近似值，称其为预报值：，然后再用梯形公式（1.3）对预测值进行一次校正，得到校正值：.因此可以得到改进的欧拉公式（1.4）： （1.4）公式（1.4）也可以表示为下列平均化形式 （1.5）改进的欧拉法的局部截断误差的阶为，整体误差的阶为，所以改进的欧拉法也是二阶方法.1.3龙格-库塔法龙格-库塔法是求解方程（1.1）的一类重要方法，该方法稳定、精确并且容易计算与编程.它是用在区间上若干个点处的函数值的线性组合构造的高阶单步法:具体就是用在区间上若干个点处的函数值的线性组合代替在节点处的导数，来避免直接计算的高阶导数，然后利用泰勒展开式确定其中的系数.一些常见的龙格-库塔公式有：(1)三阶龙格-库塔法常用公式有：Heun三阶方法，此时公式为： （1.6）Kutta三阶方法，此时公式为： （1.7）当与无关时，公式（1.7）为Simpson公式.(3)四阶龙格-库塔法常用公式有： （1.8）和 （1.9）其中，公式（1.8）是最经常使用的龙格-库塔法，也被称为经典的四阶龙格-库塔法,其局部截断误差的阶为.四阶龙格-库塔法精度高，程序简单，计算过程稳定，并且易于调节步长.但是四阶龙格-库塔法要求函数具有具有较高的光滑性，同时每一步都需要计算四次函数值，计算量比较大.1.3典型例题以上是求解常微分方程初值问题的几种常见数值解法，结合例题可以对以上方法有更深入的理解，因此列举出了几道常见的例题进行分析.例1用欧拉法求解初值问题：解：欧拉公式的具体形式：取步长为0.1，计算结果见表格5.表格50.11.1001.09540.61.50901.48320.21.19181.18320.71.58031.54920.31.27741.26490.81.64981.61250.41.35821.34160.91.71781.67330.51.43511.41421.01.78481.7321例2用改进的欧拉法求解初值问题：解：改进的欧拉公式为：取步长为0.1，计算结果见表格6.与例1中的欧拉法计算结果相比，改进的欧拉法明显改善了精度.表格60.11.09591.09540.61.48601.48320.21.18411.18320.71.55251.54920.31.26621.26490.81.61531.61650.41.34341.34160.91.67821.67330.51.41641.41421.01.73791.7321例3用四阶龙格-库塔法计算初值问题：解：取步长为0.2，经典的四阶龙格-库塔公式具有形式：计算结果见表格7.表格70.21.18321.18320.41.34171.34160.61.48331.48320.81.61251.61251.01.73211.7321由表格5、6、7的计算结果可以发现，龙格-库塔法的精度更高.虽然四阶龙格-库塔法的计算量比改进的欧拉法的计算量大了一倍，但是由于例3放大了步长，所以表格6与表格7所消耗的计算量几乎是相同的.本章主要研究了求解常微分方程初值问题的数值方