四川省达州市渠县崇德实验学校2026-2027学年九年级上学期暑假自测数学试题（含答案）

四川省达州市渠县崇德实验学校2026-2027学年九年级上学期暑假自测数学试题（全卷满分150分，考试时间120分钟）A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．下列命题是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 D．一组邻边相等的矩形是正方形2．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B．x2+3=2x C．x2﹣2y+4＝0 D．x3．下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b4．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ADC＝∠ACB B．ABBC=ACCD C．∠ACD＝∠B D．AC25．不等式组1−x＞03x−6≤0A．B． C．D．6．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠B＝40°，则∠EAF的度数为（）A．50° B．42° C．40° D．30°7．已知x是实数，且满足（x2+4x）2+3（x2+4x）﹣18＝0，则x2+4x的值为（）A．3 B．3或﹣6 C．﹣3或6 D．68．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，则EF长为（）A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．分解因式：xy2﹣2xy+x＝____________．10．若分式|x|−22−x的值为0，则x＝11．将方程x2﹣6x﹣10＝0化成（x﹣m）2＝n（m，n为常数）的形式，则m＝．12．如图，将周长为12的△ABC沿BC方向平移3个单位长度得△DEF，则四边形ABFD的周长为．13．如图，菱形ABCD中，BC＝10，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，若EO=10，则菱形的面积为三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（8分）解方程：（1）x（x﹣1）＝3x﹣3；（2）x2﹣4x+1＝0．15．（8分）（1）解方程：1−xx−3+2=13−x；16．（10分）在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．（1）在图中标出位似中心P的位置；（2）以原点O为位似中心，在第三象限画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1；（3）已知S△OAB的面积为2.5，则△OA2B2的面积为．17．（10分）东胜区“悠悠果业”经销一种进口水果，原价每千克75元，连续两次降价后每千克48元，若每次下降的百分率相同．（1）求每次下降的百分率．（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价0.5元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？18．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝CF，联结EF．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）延长EF，交AD的延长线于点G．求证：AE2＝CF•AG．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACD＝70°，则∠EDC的度数是．20．若关于x的分式方程2xx−1−1=ax−1有增根，则21．若α，β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则α2﹣α﹣3β的值为7．22．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是边AD上的动点，点F在边CD上，CF＝DE．连接AF、CE，则AF+CE的最小值为．23．如图，在正方形ABCD中，将线段BC绕点B逆时针旋转α度（0＜α＜90）得到线段BE，作∠ABE的角平分线交CE延长线于点F，若BF＝CF，CE＝2，则正方形ABCD的面积为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+5）x+3m+6＝0．（1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根；（2）若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为5时，求m的值．25．（10分）四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，且DE＝BF，AF＝CE．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若DE＝4，CF＝3，EF＝5，求四边形ABCD的周长．26．（12分）【课本再现】（1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正方形ABCD的边长相等，AB与OA相交于点E，BC与OC相交于点F，连接EF．在正方形A′B′C′O绕点O旋转的过程中，始终有AE2+EB2＝EF2，请证明这个结论．【迁移应用】（2）如图2，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＜BC，点D是AB边的中点，E是射线AC上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F，连接EF．（i）当点E在AC边上，点F在BC边上时，试探究线段AE，BF，EF之间的数量关系．并证明你的结论；（ii）若AC＝3，BC＝4，设AE＝x，EF＝y，请直接写出y与x的关系．参考答案A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．C．2．D．3．D．4．B．5．C．6．C．7．A．8．B．第Ⅱ卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．x（y﹣1）2．10．﹣211．3．12．18．13．60．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．解：（1）x（x﹣1）＝3x﹣3，x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，（x﹣1）（x﹣3）＝0，x﹣1＝0或x﹣3＝0，所以x1＝1，x2＝3；（2）x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝3，（x﹣2）2＝3，x﹣2＝±3，所以x1＝2+3，x2＝2−15．解：（1）去分母，得1﹣x+2（x﹣3）＝﹣1，去括号，得1﹣x+2x﹣6＝﹣1，解得：x＝4，当x＝4时，分母x﹣3≠0，故原分式方程的解为x＝4；（2）解不等式5x+1＞3（x﹣1），得：x＞﹣2，解不等式12x﹣7≤1−32x则不等式组的解集为﹣2＜x≤4．16．解：（1）如图所示，点P即为所求；（2）如图所示，△OA2B2即为所求；（3）∵在第三象限画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，∴△OA2B2的面积：△OAB的面积＝4：1，∵S△OAB的面积为2.5，∴△OA2B2的面积10，故答案为：10．17．解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意得：75（1﹣a）2＝48，解得：a1＝0.2＝20%，a2＝1.8（不符合题意，舍去）．答：每次下降的百分率为20%；（2）设每千克应涨价x元，则每千克盈利（10+x）元，日销售量为（500−x根据题意得：（10+x）（500−x整理得：x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，又∵要尽快减少库存，∴x＝5．答：每千克应涨价5元．18．证明：（1）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝CB＝CD＝AD，∠ADC＝∠B＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACF＝60°，在△ABE和△ACF中，AB=AC∠B=∠ACF∴△ABE≌△ACF（SAS），∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝60°，∴△AEF是等边三角形．（2）延长EF，交AD的延长线于点G，∵CB∥AD，CD∥AB，∴∠CEF＝∠G，∠FCE＝180°﹣∠B＝120°，∵FE＝FA＝AE，∠AFE＝60°，∴∠AFG＝180°﹣∠AFE＝120°，∴∠FCE＝∠AFG，∴△FCE∽△AFG，∴FEAG∴FE•FA＝CF•AG，∴AE2＝CF•AG．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．115°．20．2．21．7．22．58．23．4+22．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．解：（1）由题意可知：Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4（3m+6）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0，∴不论实数m取何值，即方程总有实数根；（2）设方程的两个根为a，b，则：a+b＝m+5，ab＝3m+6，由题意可得：a2+b2＝25，∴（a+b）2﹣2ab＝25，∴（m+5）2﹣2（3m+6）＝25，解得：m＝2或m＝﹣6，当m＝﹣6时，a+b＝﹣6+5＝﹣1＜0，不合题意，舍去．∴m＝2．25．（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠CED＝∠AFB＝90°，在△ABF和△CDE中，AF=CE∠AFB=∠CED∴△ABF≌△CDE（SAS），∴AB＝CD，∠BAF＝∠DCE，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：∵CF＝3，EF＝5，∴EC＝CF+EF＝3+5＝8，∵∠CED＝90°，∴CD=DE2由（1）可知，△ABF≌△CDE，∴BF＝DE＝4，∵BF⊥AC，∴∠BFC＝90°，∴BC=B∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝45，AD＝BC＝5，∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（45+5）＝8526．解：（1）证明：如图1，四边形ABCD、A′B′C′O都是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝∠EOF＝∠ABC＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴AE＝BF，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，∴AE2+EB2＝EF2．（2）（i）如图2，结论：AE2+BF2＝EF2，证明：作矩形ACBH，延长ED交BD于点G，连接FG，如图：点D是矩形ACBH的中心，又点D是AB的中点，∴AD＝BD，在矩形ACBH中，∠BCA＝90°，AC∥BD∠DAE＝∠DBG，∠AED＝∠BGD，∴△AED△CGD（AAS）；∴AE＝BG，DE＝DG，又∠DEF＝90°，∴EF＝GF，在矩形ABCH中，∠FBD＝90°，∴在Rt△FBG中，BF2+BG2＝GF2，∴AE2+BF2＝EF2．（ii）解：当E，F分别在AB和BC上时，如图3（a），由（2）的结论可得AE2+CF2＝EF2，在Rt△EBF中，由勾股定理得BE2+BF2＝EF2，∴AE2+CF2＝BE2+BF2，设AE＝x，EF＝y则BE＝3﹣x，∴（3﹣x）2+BF2＝x2+（4﹣B