2.3 直线交点坐标与距离公式（单元教学设计）-高中数学新教材选择性必修第一册单元教学方案

“直线的交点坐标与距离公式”的单元教学设计一、内容和内容解析（一）内容1.两条直线的交点坐标.2.距离公式.（二）内容解析内容本质：1.平面内两条不重合的直线位置关系有相交和平行，如果相交，可以借助直线方程，通过解方程组把交点位置精确入微地求解出来，并且反过来，可以通过直线方程联立的方程组的解的情况，反推出两条直线的位置关系，其本质就是在平面直角坐标系中，直线与方程方程的解建立了一一对应的关系：直线上点的坐标都是这条直线方程的解，以直线方程的解为坐标的点都在这条直线上，因此，两条直线的交点坐标是这两条直线方程的公共解，也就是这两条直线的方程组成的方程组的解，所以解两条直线的方程组成的方程组就可以得到是这两条直线的交点2.度量是几何的本质所在，而长度是度量的根本，两点之间线段最短是欧氏几何的本质所在，把两点所确定的线段定义为这两点之间的距离，以此为基础解决几何中的各种距离问题，两点间距离公式是解析几何的基本公式之一，点到直线的距离公式是知识的交汇点，承上启下.蕴含的思想与方法：通过求解两条直线的交点坐标，让学生体会几何直观与代数运算之间的对应关系，初步领悟方程与曲线的含义；通过距离公式的不同的推导及其运用，让学生体会向量在几何中的运用，体会图形的特征在代数计算中的简化作用；学生通过寻找求点到直线的距离的不同方法中，促进不同知识之间的联系，有效促进学生理解数学的整体性；本单元内容蕴含了对应的思想，数形结合的思想，等价转换，设而不求以及分类讨论的数学方法，在教学中要根据问题引领，让学生的理性思维得到提升.知识点上下位关系：初中学生已经具备求解二元一次方程组的知识，也定性地研究了相交直线与平行直线。建立直线方程之后，可以用代数的方法判断直线之间的位置关系，如果相交，能够求出交点坐标，能找到交点在坐标系中的具体位置；如果平行，可以求出它们之间的距离；求交点坐标的思想方法是后续研究直线与圆锥曲线的位置关系、曲线与曲线的交点的基础；前面学生学习的平面向量、空间向量与立体几何内容为学习两点之间的距离以及推导点到直线的距离公式提供了知识和思想方法的准备，两点间距离公式是解析几何的基本公式之一，圆锥曲线方程的建立是在此基础上展开的，两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离.育人价值：通过求两条直线的交点坐标及其相关内容，感悟解析几何的思想，体会平面几何的综合法与解析几何坐标法的差异，提升学生直观想象与数学抽象的核心素养；通过距离公式的推导，让学生体会如何将所求距离的几何定义和步骤一步步地翻译成代数表达，通过对“自然求法”的改进以及不同求法的探究，培养学生由特殊到一般、合理地解决问题，因为不同的解法的实质是知识的不同联系方式，学生能想到新的方法，就意味着对相关知识及其蕴含的思想方法具有较为深刻的理解，以距离问题为核心，将向量、三角、最值等相关知识联系起来，可以形成一个结构化的知识体系，从而提升学生的的逻辑推理以及数学运算的核心素养；通过距离公式的运用，体会解析几何解决问题的三部曲，能更好地用数学的知识解决所遇到的问题.教学重点：1.两条直线的交点坐标.2.点到直线的距离公式及距离公式的运用二、目标和目标分析（一）单元目标1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.（二）目标解析达成上述目标的标志是：1.学生能求出两条相交直线的交点坐标，并能根据方程组解的个数判断两条直线的位置关系.2.学生能提出求点到直线距离的思路，能改进算法或能说出不同求法的依据，能自觉运用距离公式求距离，以及解决相关问题.三、教学问题诊断分析1.学生虽然已经在函数内容的学习中已经非常熟悉，可以通过解方程求出两个函数图像交点的坐标，但是对于其在解析几何中的含义依然理解不清，这是第一个教学问题，要通过点拨，要学生加深理解方程与曲线对应关系的认识.2.学生虽然在平面几何中已经知道”点到直线的距离”的定义，但是按步骤将定义代数化，在求出距离公式的过程中其计算是困难的，这是第二个教学问题，这涉及到数学运算核心素养，因此需要老师在关键的节点处点拨，引导学生反思计算过程，改进计算方法，引进计算技巧，3.学生虽然在空间向量与立体几何里就知道距离的本质就是垂直，也知道可以通过向量来表达距离，但是具体如何运用投影向量的数量积来计算点到直线的距离（课本上给出的第二种推导）是非常困难的，这是第三个教学问题，需要设计一系列问题，引导学生数形结合，按照步骤，逐步展开.教学难点：点到直线距离公式的推导.四、教学支持条件分析1.学生虽然在初中已经具备初步的平面几何的知识以及解二元一次方程组的有关知识，也学习了三角函数、平面向量、立体几何中的相关距离定义及其向量表达的基础知识，了解向量是解决距离问题的有力工具，但是教学时也要评估学生原有的基础，进行必要复习与完善.2.利用网络平台（比如：数学实验室、等）在课堂检测、学生展示等环节中，让教师及时了解学生的反馈信息，适时作出评价和引导.五、课时教学设计本单元共4