1.4.4 用空间向量研究立体几何中的直线、平面的夹角问题（课时教学设计）-高中数学新教材选择性必修第一册单元教学方案

用空间向量研究夹角问题课时教学设计（一）教学内容：运用空间向量研究立体几何中直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角问题。（二）教学目标1.能利用空间向量方法求两异面直线所成的角；2.能利用空间向量方法求直线与平面所成角；3.能利用空间向量方法求两个平面夹角。（三）教学重点和难点重点：理解运用向量方法求空间角的原理；难点：掌握运用空间向量求空间角的方法（四）教学过程设计引入：建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键。上一节课我们学习了运用空间向量研究立体几何中有的距离问题，这节课，我们接着研究用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角问题。问题1：异面直线所成角的定义是什么？取值范围是什么？在必修中我们是如何求异面直线所成角的？学生回答：如是两条异面直线，过空间中任意一点O，分别作直线，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角。异面直线所成的角的取值范围是。在必修中我们求异面直线所成的角步骤是：一找，二证，三求，四答。【设计意图】让学生回忆旧知识，以建立新旧知识之间的联系。问题2：如图，在棱长为1的正四面体中，分别为的中点，求直线和夹角的余弦值。追问1：直线和是否为异面直线？学生回答：是。追问2：按照必修所学的方法我们怎么求直线和夹角的余弦值？学生回答：连接，取的中点，连接、，在三角形中，分别为的中点∴∴（或其补角）即为异面直线和夹角在三角形中，，，由余弦定理得：∴直线和夹角的余弦值为【设计意图】让学生回忆必修时求异面直线的步骤和方法。追问3：谁能在此题中找到一组基底，并将向量用这组基底表示出来？学生回答：以为基底，则，【设计意图】学生寻找基底，学生表示向量，可能表示的结果有所不同，但“殊途同归”。追问4：直线和夹角的余弦值是否与向量夹角的余弦值相等？学生回答：不一定。因为异面直线所成的角的范围是，而向量夹角的范围是，所以他们可能相差一个负号。也就是说，设向量夹角为，则直线和夹角的余弦值为.【设计意图】让学生体会异面直线所成的角与向量的夹角的异同。追问5：谁能计算出向量夹角的余弦值学生回答：，而都是正三角形，所以，∴，∴直线和夹角的余弦值为【设计意图】加强学生的表达规范与运算能力。追问6：谁能对比一下必修的方法和向量的方法？学生回答：必修的方法需要做辅助线找异面直线所成的角，还需要证明平行，利用解三角形的方法求角，有的时候找不到角就无从下手了，而向量的方法只需要我们找到基底计算就可以了。以后遇到容易找到异面直线所成角的题就选择用必修的方法，遇到容易找到基底的问题就选择用向量的方法。【方法小结】研究立体几何问题要注意转化思想，将立体几何问题化为向量问题进行向量运算回到图形，解决立体几何问题。一般地，两条异面直线所成的角，转化为两条异面直线方向向量的夹角.问题3：直线与平面所成角的定义是什么？取值范围是什么？在必修中我们是如何求直线与平面所成角的？学生回答：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，如果直线垂直于平面，我们说它们所成的角为90°，一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角为0°。直线与平面所成的角的取值范围是。在必修中我们求直线与平面所成的角步骤是：一找，二证，三求，四答。【设计意图】让学生回忆旧知识，以建立新旧知识之间的联系。问题4：直线和平面所成的角能否转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角的问题解决，如果能，该如何转化.学生回答：可以转化。如图所示，直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量与平面的法向量，则【设计意图】揭示用向量法解决直线和平面所成角的理论依据。追问1：如果上图中的法向量的方向向下，那么是否依然成立？学生回答：依然成立。【设计意图】思考问题应该全面。问题5：什么是两个平面的夹角？学生回答：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角成为平面与平面的夹角。【设计意图】让学生清楚两个平面夹角与二面角的区别。追问1：两个平面的夹角的取值范围是什么？学生回答：【设计意图】清楚两个平面夹角的范围。问题6：两个平面夹角问题能否转化为两个平面的法向量的夹角的问题解决，如果能，该如何转化.学生回答：可以转化。两平面的夹角可转化为两平面法向量的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，平面，的法向量分别是，则【设计意图】揭示用向量法解决直线和平面所成角的理论依据。追问1：如果上图中的一个法向量反向，或者两个法向量都反向，那么上述结论是否依然成立？学生回答：依然成立。【设计意图】思考问题应该全面。问题7：如图1.4-22，直棱柱中，，，，为中点，分别在棱，上，，.求平面与平面夹角的余弦值.追问1：平面与平面夹角问题能否转化为它们的法向量的夹角问题？学生回答：可以转化。设平面法向量为，平面法向量为，平面与平面夹角即为，的夹角或其补角。追问2：能否建立空间直角坐标系，如果能，你会怎样建系？学生回答：可以建立。以为坐标原点，分别以所在直线为建立空间直角坐标系。追问3：谁能求出平面法向量为和平面法向量为学生回答：易知：平面的一个法向量为.由题意，，，，，.设，则即∴取，追问4：谁能求出平面与平面夹角的余弦值学生回答：设平面与平面夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.【设计意图】加强学生的表达规范与运算能力。问题8：哪位同学们可以总结一下本节课学习的重点？学生回答：用空间向量解决立体几何夹角问题的“三部曲”：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；通过向量的运算，研究立体几何中夹角夹角问题；把向量运算的结果“翻译”成相应的几何问题.【设计意图】通过学生总结，让他们进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。（五）目标检测设计1.若异面直线的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线的夹角的余弦值等于()A. B. C. D.解析因为a·b=-4,|a|=5,|b|=25,所以cosθ=|cos<a,b>|=a·b2.若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°,则直线与平面所成的角等于()A.120° B.60° C.150° D.30°解析：因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°,所以它们所在直线的夹角为60°,则直线与平面所成的角等于90°-60°=30°.答案：D3.二面角中,平面的一个法向量为n1=32,-12,-2,平面的一个法向量是n2=0,1A.120° B.150°C.30°或150° D.60°或120°解析：设所求二面角的大小为θ,则,所以θ=30°或150°答案：C4.在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=12PA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC,则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为解析:以O为原点,射线OA,OB,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,设AB=a,则OP=72a,OD=-24所以cos<OD,n>=OD·n|OD||n|=21030答案:2105.如图,四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.点E在棱PA上,且PE=2EA.求二面角A-BE-D的余弦值.解：以B为原点,以直线BC,BA,BP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设平面EBD的一个法向量为n1=(x,y,1),因为BE=(0,2,1),BD=(3,3,0),由n1·BE于是n1=12又因为平面ABE的一个法向量为n2=(1,0,0),所以cos<n1,n2>=16=66.故二面角（六）课后作业：1.课本P38页1-4题；2.选作：课本P36页例7能否建立空间直角坐标系解决问题。设计意图：巩固学生用向量法求空间角的知识，拓宽学生的知识面。（七）教学反思：教学中主要突出了几个方面：一是进一步突出运用向量法解决立体几何问题的基本程序，发展学