1.4.3 用空间向量研究立体几何中的直线、平面的距离问题（课时教学设计）-高中数学新教材选择性必修第一册单元教学方案

课时教学设计用空间向量研究距离一、教学内容点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离。二、教学目标2.1课前预习目标复习空间两点间的距离公式，向量夹角公式，向量投影概念及求法。2.2课时目标（1）通过利用投影向量，勾股定理能够得到点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．发展学生直观想象、逻辑推理、数学运算等素养。（2）通过点到直线的距离公式、点到平面的距离公式能用向量方法解决点到直线、平行线间、点到平面、直线到平面（直线与平面平行）、平行平面间的距离问题，发展学生直观想象、逻辑推理、数学运算等素养。2.3内容层次能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离（直线与平面平行）、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得上述距离。能归纳出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何中的问题；通过用向量方法、综合几何方法从不同角度解决立体几何问题，体会向量方法的优势以及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用。提升学生直观想象和数学运算核心素养。三、教学重点与难点重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．难点：利用投影向量统一研究空间距离问题.四、教学过程设计前面我们学习了用空间向量及其运算研究立体几何中点、直线、平面这些几何元素的平行、垂直的位置关系．除了上述平行、垂直这些特殊的位置关系外，立体几何中还经常需要研究距离、角度等度量问题．现在，我们仍然通过空间向量及其运算研究这些几何元素之间产生的距离与夹角等问题．进一步体会空间向量解决立体几何的向量法法。距离是欧氏几何中最基本的度量，回顾立体几何的学习，我们发现空间中点、直线、平面之间的距离问题包括：两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及平行平面之间的距离等．距离是这些几何要素之间最短的路径，除两点间距离外，其他距离都需要用垂直刻画．问题1：你能把这些空间中的距离问题归类吗？师生活动：首先学生思考讨论，教师引导得到结果，点到直线的距离、两条平行线之间的距离可以归结为一类，因为两条平行线之间的距离可以转化为一直线上的点到另一条直线的距离问题；其次，点到平面的距离、直线到平面的距离以及平行平面之间的距离可以归结为点（或直线上的点，或一平面上的点）到平面的距离．所有的距离问题，都可以归结为两点间的距离．追问：如何用空间向量研究距离？师生活动：学生思考讨论，类比平面向量的知识，距离可以通过向量的模获得．例如，空间两点间的距离可以转化为空间向量的模的计算．教师可进一步点拨，除两点间的距离外，其他距离问题都需要通过垂直来刻画，投影向量和勾股定理势必在这些距离的计算中发挥重要作用．设计意图:明确研究内容和研究思路，将距离问题归类，引导学生研究其中最基本的问题问题2：如图，在空间中任取一点，作，xOO.xOO（1）怎样表示向量方向上的单位向量？（2）如何作出向量在向量方向上的投影向量？（3）怎样用单位向量表示向量在向量方向上的投影向量及投影向量的模？师生活动：学生回忆已学的概念、讨论交流．给出结果预设的答案（1）；（2）过点作垂直于直线，垂足为，向量即为向量在向量方向上的投影向量；（3），即，.设计意图:投影向量的概念是一个比较抽象的概念，不易被学生理解，而本节课距离公式的推导主要依赖于投影向量.投影向量的几何意义、代数表示及模，既体现了几何直观，又体现了代数定量刻画，从而提供了研究距离的方法.复习回顾求任意非零向量方向上的单位向量，及投影向量的相关知识点，以便于学生更好的参与后续公式的推导过程，以及对公式的理解，进而突破难点.问题3：已知直线的单位方向向量，是直线上的定点，P是直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离？师生活动：学生结合已有知识，小组讨论思考，每组选出代表回答.连接，得到向量在直线直线上的投影向量，表示投影向量，求.进而利用勾股定理，可以求出点到直线的距离.预设的答案：如图，设，则向量在直线上的投影向量.在中，由勾股定理，得.设计意图：学生多思考，多发言，老师引导学生实现问题的转化，让学生经历公式的推导过程，发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养.追问1：若与直线垂直，点到直线的距离还等于吗？师生活动：学生思考后作答，若与直线垂直，则，.追问2：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点以及直线，那么点应该如何确定？师生活动：学生思考后作答，点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度不会随着点的变化而变化，故点可以是直线上的任意一点.追问3：求解距离的过程中是否需要确定垂线段的垂足？师生活动：学生思考后作答，不需要，只需要参考向量和直线的单位方向向量.设计意图：通过问题串，引导学生继续深入理解用空间向量的方法解决点到直线距离问题的方法，理解利用向量求解点到直线距离问题时，只需该点和直线上的任意一点确定的参考向量，不必确定垂足的位置，体会向量方法的的优越性.师生活动：教师总结，要理解公式中各字母的含义，明确点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.因此，求解点到直线距离问题时，只需直线的方向向量及直线上的任意一点，这样得到参考向量或，再求得直线的单位方向向量带入公式即可.追问4：求点到直线距离的主要有哪些方法？师生活动：学生思考后作答，(1)作点到直线的垂线,点到垂足的距离即为点到直线的距离；(2)在三角形中用等面积法求解；(3)向量法，即点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.问题4：类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行线间的距离？师生活动：教师引导学生分析，问题中条件是什么，如何利用条件实现问题转化，学生思考后作答，在其中一条直线上任取一点，将求两条平行直线之间的距离转化为求点到另一条直线的距离.设计意图：根据已有知识类比学习，引导学生明确平行直线间的距离的求法：转化为一条直线上的任一点到另一条直线的距离，让学生感悟转化思想，化未知为已知．为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，在思想方法上做铺垫.问题5：已知平面的法向量为,是平面内的定点，是平面外一点.过点作出平面的垂线，交平面于点.类比点到直线距离的研究过程，如何用向量表示？追问1:类似于直线可由一个点和方向向量确定，确定一个平面的条件是什么？师生活动：由学生回答法向量追问2:你能类比求点到直线的距离的方法，利用向量投影求出点到平面的距离吗？师生活动：学生独立思考，然后分组讨论交流；教师巡视、点拨；学生分享研究成果，多媒体投影展示，师生评价，梳理成果，得出用空间向量求点到平面的距离的步骤第一步，确定平面α的法向量;第二步，选择“参考向量”;第三步，确定“参考向量”向法向量的的投影向量;第四步，求投影向量的模长，得到设计意图：教师提出问题串，类比点到直线距离的研究过程，合作探究，得到点到平面的距离公式，让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中，平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观，又提供了代数定量刻画.在这个过程中，向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利.问题6：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点以及平面，那么点应该如何确定？求解距离的过程中是否需要找出点在平面内的投影以及垂线段？师生活动：学生思考后作答，点可以是平面内的任意一点.不需要找出点在平面内的投影以及垂线段.教师讲授：求解点到平面距离问题时，理解公式中各字母的含义，只需平面的法向量及平面内的任意一点，这样得到“参考向量”，明确点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比，即参考向量与法向量方向上的单位向量的数量积取绝对值.设计意图：类比点到直线距离的研究方法，以类似的方法研究点到平面的距离，使学生学会距离公式的同时，体会数学中常见的研究问题的方法“类比”.追问：如果直线与平面平行，如何求直线与平面的距离？如何求两平行平面之间的距离？师生活动：学生思考后作答，先证明直线与平面平行或面面平行，再转化为点到平面的距离.设计意图：通过对所提问题的思考，引导学生明确直线到平面的距离以及两平行平面的距离的求法：都可以转化为点到平面的距离．师生共析，将平行于平面的直线和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，得到统一的向量表达式，进一步体会转化的思想.问题7：求点到平面的距离主要有哪些方法？师生活动：学生思考后作答，(1)作点到平面的垂线,点与垂足的距离即为点到平面的距离.(2)在三棱锥中用等体积法求解.(3)向量法，即点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比.2.初步应用，解决问题例1如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.(1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离.师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.让学生注意到点在直线上，因此，可以选择作为参考向量.事实上，可以选择直线上的任意一点和确定“参考向量”，另外，让学生注意到平面的法向量不唯一.解：以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，,,,,.取，，则，．所以，点到直线的距离为．(2)因为，所以，又面，面，所以平面，所以点到平面的距离，即为直线到平面的距离．设平面的法向量为，则所以所以取，则，,所以，是平面的一个法向量,又因为，所以点到平面的距离为,即直线到平面的距离为．设计意图：通过典型例题，使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法，体会向量方法再解决距离问题中的作用，渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程,并注意培养学生规范的解题能力.追问：求两种距离的步骤是怎样的？师生活动：学生结合具体实例及公式特征，尝试总结解题步骤，教师总结.点到直线的距离：第一步：建系，在直线上任取一点(注：选择特殊便于计算的点)，求“参考向量(或)”的坐标.第二步：依据图形先求出直线的单位方向向量.第三步：带入公式求解.点到面的距离:第一步：建系，选择“参考向量”；第二步：确定平面的法向量；第三步：带入公式求值.设计意图：总结求解距离问题的步骤，培养学生抽象概括的数学素养.3.梳理归纳，感悟本质思考：回顾这节课的学习，我们学习了哪些内容？用的是什么方法？【预设的答案】本节课我们一起应用空间向量及其运算研究了求空间中的距离问题，包括两点间的距离，点到直线的距离，平行直线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等，结合投影向量、勾股定理以及向量数量积运算等，我们得到了这些距离问题的计算公式，并通过例题的解决，体会了公式的使用，在很多问题中，我们需要建立空间直角坐标系，求出点的坐标，以及直线的方向向量、平面的法向量的坐标表示，代入公式进行计算．我们用类比和转化的研究方法，把要解决的五个距离问题转化为两个距离问题，几何问题转化为向量问题，求解距离转化为向量运算，在此过程中提升直观想象、数学运算和逻辑推理等数学学科核心素养．教师讲授：本节课的学习你体会到向量方法解决立体几何问题的“三步曲”吗？与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.五、课堂检测与评价1．在棱长为的正方体中，点到平面的距离等于_________；直线到平面的距离等于________；平面到平面的距离等于__________．2．已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（）A．B．C．D．3．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（）A．B．C．D．4．如图，在棱长为的正方体中，求平面与平面的距离．设计意图：作业中的4个题目，包括了求点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及两平行平面间的距离等主要的距离问题，尤其突出训练了本节课的重点以及难点，即点到直线、点到平面的距