2026年广东省部编版高三数学第9单元概率分布模拟试题

2026年广东省部编版高三数学第9单元概率分布模拟试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在一个盒子里装有标号为1,2,3,...,10的10个球，从中随机抽取3个球，则抽到的3个球中最大标号不超过6的概率是（）A.C(6,3)/C(10,3)B.P(6,3)/P(10,3)C.1-P(7,3)/P(10,3)D.1-C(6,3)/C(10,3)解析：最大标号不超过6即3个球从1到6中抽取，故概率为C(6,3)/C(10,3)，选项A正确。2.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=3，则n和p的值分别是（）A.n=9,p=2/3B.n=12,p=1/2C.n=8,p=3/4D.n=10,p=3/5解析：E(X)=np=6，D(X)=np(1-p)=3，联立方程得n=9，p=2/3，选项A正确。3.设随机变量X的分布列为：X-101P0.2k0.3则k的值和P(X≤0)分别是（）A.k=0.5,P(X≤0)=0.7B.k=0.5,P(X≤0)=0.2C.k=0.3,P(X≤0)=0.5D.k=0.3,P(X≤0)=0.8解析：k=1-0.2-0.3=0.5，P(X≤0)=0.2+k=0.7，选项A正确。4.设随机变量X～N(μ,σ²)，若P(X<μ-σ)=0.2，则P(μ+σ<X<μ+2σ)约等于（）A.0.3413B.0.4772C.0.6826D.0.8413解析：P(X<μ-σ)=0.2即μ-σ为下0.2分位数，查表得μ+σ为上0.8分位数，μ+2σ为上0.9772分位数，故P(μ+σ<X<μ+2σ)=0.9772-0.8=0.1772，最接近B选项。5.甲、乙两人约定在下午1点到2点之间在某地会面，先到者等待另一人15分钟，过时就离开，假设两人在下午1点到2点之间到达的时间是相互独立的且均匀分布，则两人能会面的概率是（）A.7/16B.1/4C.3/16D.1/2解析：设两人到达时间为x,y，会面条件为|x-y|≤15，阴影区域面积为7/16，选项A正确。6.已知随机变量X～P(λ)，若P(X=2)=P(X=4)，则λ的值是（）A.2B.3C.4D.5解析：P(X=2)=λ²e⁻ᵥ/2，P(X=4)=λ⁴e⁻ᵥ/24，联立方程得λ=3，选项B正确。7.设随机变量X的密度函数为f(x)=kx²(0≤x≤3)，则k的值和P(1<X<2)分别是（）A.k=1/27,P(1<X<2)=19/27B.k=1/27,P(1<X<2)=8/27C.k=1/18,P(1<X<2)=7/18D.k=1/18,P(1<X<2)=2/9解析：∫₀³kx²dx=1得k=1/27，P(1<X<2)=∫₁²x²/27dx=19/27，选项A正确。8.从一副52张扑克牌中不放回抽取3张，则抽到的3张牌中至少有一张是红桃的概率是（）A.13/221B.169/221C.7/13D.1/2解析：补集法，P(至少红桃)=1-P(无红桃)=1-C(39,3)/C(52,3)=169/221，选项B正确。9.设随机变量X～N(0,1)，若P(X<a)=0.3，则P(a<X<2a)约等于（）A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8解析：P(X<a)=0.3即a为下0.3分位数，P(a<X<2a)=Φ(2a)-Φ(a)，由对称性得约0.4，选项B正确。10.甲、乙两人投篮命中率分别为0.7和0.6，两人独立投篮，则恰好有一人投中的概率是（）A.0.56B.0.44C.0.88D.0.12解析：P(恰好一人)=P(甲中乙不中)+P(甲不中乙中)=0.7×0.4+0.3×0.6=0.44，选项B正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若随机变量X～B(10,0.4)，则E(3X+5)的值是________。参考答案：17解析：E(3X+5)=3E(X)+5=3×10×0.4+5=17。2.设随机变量X的分布列为：X-101P0.2k0.5则D(X)的值是________。参考答案：0.49解析：k=0.3，E(X)=-0.2，E(X²)=0.2+0.5=0.7，D(X)=E(X²)-(E(X))²=0.49。3.若随机变量X～N(μ,4)，且P(X<μ-1)=0.2，则P(X>μ+2)的值是________。参考答案：0.0228解析：μ-1为下0.2分位数，μ+2为上0.9772分位数，P(X>μ+2)=0.0228。4.从装有3个红球、2个白球的袋中不放回抽取2个球，则抽到的2个球颜色不同的概率是________。参考答案：3/5解析：C(3,1)×C(2,1)/C(5,2)=3/5。5.设随机变量X～P(λ)，若P(X=1)=2P(X=3)，则P(X=2)的值是________。参考答案：4/27解析：λ=2，P(X=2)=2²e⁻²/2=4/27。6.已知随机变量X的密度函数为f(x)=2x(0≤x≤1)，则P(X>0.5)的值是________。参考答案：1/4解析：P(X>0.5)=∫₀.₅₂xdx=1/4。7.设随机变量X～N(μ,σ²)，若P(X<μ-σ)=0.1，则P(X>μ+σ)的值是________。参考答案：0.8413解析：P(X>μ+σ)=1-P(X≤μ+σ)=1-0.9=0.1，查表得P(X>μ+σ)=0.8413。8.甲、乙两人独立破译密码，甲破译成功的概率为0.8，乙破译成功的概率为0.7，则密码被破译的概率是________。参考答案：0.96解析：1-P(甲不中)×P(乙不中)=1×0.3×0.3=0.96。9.设随机变量X的分布列为：X-113P0.20.50.3则P(X≤2|X≠0)的值是________。参考答案：2/3解析：P(X≠0)=0.7，P(X≤2且X≠0)=0.2+0.5=0.7，条件概率=0.7/0.7=2/3。10.若随机变量X～N(0,1)，且P(X<a)=0.3，则P(X<-a)的值是________。参考答案：0.7解析：由对称性，P(X<-a)=1-P(X≤a)=0.7。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若随机变量X～B(n,p)，则E(X²)=np(1-p)+n²p²。参考答案：正确解析：E(X²)=D(X)+(E(X))²=np(1-p)+n²p²。2.设随机变量X～N(μ,σ²)，则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826。参考答案：正确解析：正态分布性质，μ±σ区间概率为0.6826。3.若随机变量X～P(λ)，则E(X)=D(X)=λ。参考答案：错误解析：E(X)=λ，D(X)=λ，但λ≠E(X)。4.从一副52张扑克牌中不放回抽取3张，则抽到的3张牌中至少有一张是红桃的概率等于3张都是红桃的概率。参考答案：错误解析：前者为1-C(39,3)/C(52,3)，后者为C(13,3)/C(52,3)，不相等。5.设随机变量X的密度函数为f(x)=k(1-x²)(-1≤x≤1)，则k的值是1/3。参考答案：正确解析：∫₋₁¹k(1-x²)dx=1得k=1/3。6.若随机变量X～N(μ,σ²)，则P(X<μ)=0.5。参考答案：正确解析：正态分布性质，μ为中位数，P(X<μ)=0.5。7.甲、乙两人投篮命中率分别为0.7和0.6，两人独立投篮，则恰好有一人投中的概率等于甲投中且乙不中的概率。参考答案：错误解析：恰好一人投中包含两种情况，后者仅是其中一种。8.设随机变量X的分布列为：X-101P0.20.50.3则X是离散型随机变量。参考答案：正确解析：取值有限且可列，符合离散型定义。9.若随机变量X～N(0,1)，则P(X<0)=0。参考答案：错误解析：P(X<0)=0.5。10.从装有3个红球、2个白球的袋中不放回抽取2个球，则抽到的2个球颜色不同的概率等于放回抽取的概率。参考答案：错误解析：不放回P=3/5，放回P=3/5×2/5=6/25，不相等。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述二项分布B(n,p)的性质。参考答案：（1）试验次数固定为n；（2）每次试验结果独立；（3）每次试验成功概率为p；（4）E(X)=np，D(X)=np(1-p)。2.解释什么是正态分布的"3σ原则"。参考答案：正态分布下，约68.27%数据在μ±σ内，约95.45%在μ±2σ内，约99.73%在μ±3σ内。3.写出泊松分布P(λ)的密度函数表达式。参考答案：P(X=k)=λᵏe⁻ᵥ/k!，k=0,1,2,...4.解释条件概率P(A|B)的定义。参考答案：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，B发生条件下A发生的概率。5.写出离散型随机变量X的期望E(X)的计算公式。参考答案：E(X)=∑xᵢP(X=xᵢ)，xᵢ为所有可能取值。6.解释什么是随机变量的方差D(X)。参考答案：D(X)=E[(X-E(X))²]，衡量随机变量取值的离散程度。7.写出正态分布N(μ,σ²)的密度函数表达式。参考答案：f(x)=1/(σ√(2π))e⁻((x-μ)²/(2σ²))，-∞<x<+∞。8.解释全概率公式的内容。参考答案：若事件B₁,B₂,...,Bn互斥且∪Bᵢ=Ω，则P(A)=∑P(A|Bᵢ)P(Bᵢ)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，独立射击5次，求至少命中3次的概率。参考答案：P(X≥3)=C(5,3)×0.8³×0.2²+C(5,4)×0.8⁴×0.2+C(5,5)×0.8⁵=0.8192。2.设随机变量X～N(10,4)，求P(8<X<12)。参考答案：P(8<X<12)=Φ((12-10)/2)-Φ((8-10)/2)=Φ(1)-Φ(-1)=0.6826。3.从一副52张扑克牌中不放回抽取2张，求抽到的2张牌花色不同的概率。参考答案：C(13,1)×C(39,1)/C(52,2)=39/51=13/17。4.设随机变量X～P(3)，求P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)。参考答案：P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=e⁻³(1+3+9/2)=19e⁻³≈0.4232。5.甲、乙两人独立破译密码，甲破译成功的概率为0.7，乙破译成功的概率为0.6，求密码被破译的概率。参考答案：1-P(甲不中)×P(乙不中)=1×0.3×0.4=0.88。6.设随机变量X的密度函数为f(x)=2x(0≤x≤1)，求P(X>0.5)。参考答案：P(X>0.5)=∫₀.₅₂xdx=1/4=0.25。7.从装有3个红球、2个白球的袋中不放回抽取2个球，求抽到的2个球中至少有一个红球的概率。参考答案：1-P(全白)=1×C(2,2)/C(5,2)=1-1/10=9/10。8.设随机变量X～N(0,1)，若P(X<a)=0.2，求P(a<X<2a)。参考答案：a为下0.2分位数，P(a<X<2a)=Φ(2a)-Φ(a)，由对称性得约0.4。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某工厂生产的产品合格率为0.95，随机抽取4件产品，求恰有3件合格的概率。参考答案：P(X=3)=C(4,3)×0.95³×0.05=0.0181。2.设随机变量X～N(50,100)，求P(X>60)。参考答案：P(X>60)=1-Φ((60-50)/10)=1-0.8413=0.1587。3.从一副52张扑克牌中不放回抽取3张，求抽到的3张牌中至少有一张是红桃的概率。参考答案：1-C(39,3)/C(52,3)=169/221≈0.7688。4.设随机变量X～P(2)，求P(X=1)+P(X=3)。参考答案：P(X=1)+P(X=3)=2e⁻²+2²e⁻²/6=5e⁻²≈0.3233。5.甲、乙两人独立破译密码，甲破译成功的概率为0.6，乙破译成功的概率为0.7，求密码被破译的概率。参考答案：1-P(甲不中)×P(乙不中)=1×0.4×0.3=0.88。6.设随机变量X的密度函数为f(x)=3x²(0≤x≤2)，求P(X<1)。参考答案：P(X<1)=∫₀¹3x²dx=1。7.从装有4个红球、3个白球的袋中不放回抽取2个球，求抽到的2个球颜色不同的概率。参考答案：C(4,1)×C(3,1)/C(7,2)=12/21=4/7。8.设随机变量X～N(20,9)，求P(15<X<25)。参考答案：P(15<X<25)=Φ((25-20)/3)-Φ((15-20)/3)=Φ(1.67)-Φ(-1.67)=0.8962。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述二项分布B(n,p)的应用场景。参考答案：（1）重复独立试验的成功次数统计；（2）抽样检验中的合格品数量；（3）医学试验中的阳性样本数；（4）质量管理中的缺陷数统计。2.论述正态分布N(μ,σ²)的性质及其重要性。参考答案：（1）自然界和社会现象的典型分布；（2）中心极限定理的基础；（3）统计推断的核心；（4）许多统计方法的前提假设。3.论述泊松分布P(λ)的应用场景。参考答案：（1）单位时间/空间内稀有事件发生次数；（2）保险理赔次数；（3）城市交通事故数；（4）网站点击量。4.论述条件概率P(A|B)的几何意义。参考答案：（1）事件B发生条件下事件A发生的概率；（2）条件概率是条件事件B的"缩减样本空间"中的概率；（3）可视为事件A在B中的相对可能性。5.论述期望E(X)和方差D(X)在决策分析中的作用。参考答案：（1）E(X)衡量随机变量的平均水平；（2）D(X)衡量随机变量的风险程度；（3）常用于风险评估、投资决策等。6.论述全概率公式在复杂事件分析中的应用。参考答案：（1）将复杂事件分解为简单事件的组合；（2）适用于树状决策分析；（3）常用于贝叶斯推断的基础；（4）保险精算中的风险评估。7.论述随机变量分布函数F(x)的性质。参考答案：（1）单调不减；（2）右连续；（3）极限性质F(-∞)=0，F(+∞)=1；（4）可由密度函数积分得到。8.论述中心极限定理的内容及其意义。参考答案：（1）大量独立同分布随机变量的和近似正态分布；（2）解释为何正态分布如此普遍；（3）为统计推断提供理论基础；（4）样本均值的分布近似正