2017-2026上海十年高考数学专项汇编：专题14 导数（学生版）

/专题14导数10年真题1年模拟考点分类上海考情（2017-2026）命题规律考点1极值与参数范围2025高考解答，2026多模高频，单选填空均有基础：求导判极值点；新变化：限定区间存在极大/极小值，多参数分类讨论，常结合不等式解集综合设问考点2导数几何意义（切线）2023/2024/2026均为3问压轴，年年基础题不变传统切点斜率、切线方程稳定；2026创新：切线垂线与曲线无交点、切线衍生数列、切线垂直存在性证明，数形结合复杂度提升考点3单调性、最值应用2017-2026填空单选常规，解答高频建模题常规求单调区间、函数最值；新增工程、斜坡、投掷等实际建模，结合对称集、奇偶充要条件逻辑证明考点4导数综合应用近四年解答压轴核心，2026新定义集中爆发核心变化：原创概念（控制函数、最近点、k调整函数）为主载体，融合数列、三角形、解析几何，恒成立、存在性、充要证明为固定设问，计算与逻辑双重拔高考点01利用导数求函数极值存在的参数范围1．（2025·上海·高考真题）已知．(1)若，求不等式的解集；(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；考点02导数的几何意义1．（2026·上海·高考真题）已知，函数，．(1)已知，求的解集；(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．2．（2026·上海·高考真题）已知函数.(1)当，，求函数在处的切线方程；(2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围.3．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”.(1)对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”；(2)对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？(3)已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性.4．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列．(1)若正整数，证明；(2)若正整数，试比较与大小；(3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由．5．（2023·上海·高考真题）设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为．(1)若，试问是否为的控制函数”；(2)若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值；(3)若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，．考点03利用导数研究函数的最值或单调性1．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值2．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则______．3．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合．(1)，求；(2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；(3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有．4．（2023·上海·高考真题）已知为正比例系数，定义：为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）．(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，求该建筑体的（用表示）；(2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，L为建筑底面周长．已知为正比例系数，与成正比，定义：，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为．已知该建筑体推导得出，为层数，层高为3米，其中，试求当取第几层时，该建筑体最小？考点04导数的综合应用1．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（

）A．4个 B．3个 C．1个 D．无数个2．（2025·上海·高考真题）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为__________．

3．（2024·上海·高考真题）记(1)若，求和;(2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得.(3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”.02正0负0正极大值极小值一、单选题1．（2026·上海虹口·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（

）．A． B．C． D．2．（2026·上海长宁·二模）已知.①存在，使得函数在上严格增；②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点.对于以上两个结论，下列判断正确的是（

）A．①正确，②错误； B．①错误，②正确；C．①正确，②正确； D．①错误，②错误.3．（2026·上海杨浦·二模）已知函数和的定义域都为且都存在导函数.若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（

）.A．0是的极大值点，也是的极大值点B．0是的极小值点，也是的极小值点C．0是的极大值点，也是的极小值点D．0是的极小值点，也是的极大值点4．（2026·上海崇明·二模）已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（

）A．①②都真 B．①真②假 C．①假②真 D．①②都假5．（2026·上海·三模）定义在的函数满足，其中常数、、均为正数，是的导函数，则的图象可能是（

）A． B．C． D．6．（2026·上海·三模）已知函数在上可导，其导函数为，设对任意实数，与均成立；对任意正数，都有对任意实数恒成立，则是的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又不非必要条件二、填空题7．（2026·上海·三模）已知，则________．8．（2026·上海虹口·三模）如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度）9．（2026·上海·三模）已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________．10．（2026·上海徐汇·二模）若函数在处的切线方程为，则__________.11．（2026·上海杨浦·二模）掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）.

12．（2026·上海闵行·二模）已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则的最小值为______.13．（2026·上海·三模）已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为___________．14．（2026·上海黄浦·三模）已知是定义在上的可导函数，若，则________.三、解答题15．（2026·上海黄浦·三模）设，已知函数，其中．(1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围；(2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．16．（2026·上海虹口·三模）设．(1)解不等式：；(2)若恒成立，求实数的取值范围．17．（2026·上海徐汇·二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数.(1)设.求证：是的“2-调整函数”；(2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围；(3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由.18．（2026·上海静安·二模）已知函数（且）．(1)当时，求函数的极值；(2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标；(3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围．19．（2026·上海嘉定·二模）已知在神经网络中，常作为神经元激活函数．(1)证明：对任意实数x，有，并由此写出图像的对称中心；(2)设交叉熵损失函数，用于衡量预测值与真实标签t之间的差异，其中．试确定t的值，使得在上是减函数；(3)在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列满足，其中n为正整数．证明：存在唯一实数，使得，且对任意实数和任意正整数n，都有．20．（2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，．(1)若，，求；(2)求证：数列是严格递减数列；(3)若，比较与的大小，并说明理由．21．（2026·上海崇明·二模）设函数．(1)若，求的图象在处的切线方程；(2)若在上恒成立，求a的取值范围；22．（2026·上海·三模）设定义域为的函数在上可导，导函数为.若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”.(1)判断是否为上的函数，说明理由；(2)若实数满足：为上的函数，求的