2025中考数学二模试题分类汇编06 解直角三角形实际应用（湖南专用）（学生版+教师版合并）

专题06解直角三角形实际应用题型概览题型01解直角三角形基础应用题型02解直角三角形综合应用（不含参考数据）题型03解直角三角形综合应用（含参考数据）题型01题型011．(2025·6月湖南省衡阳市·二模)如图，身高1.6米的小亮站在B点测得旗杆CD的仰角为27°，小亮向旗杆走了6米到达F点，测得旗杆CD的仰角为63°，则旗杆的高度为米．（sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，2．(2025·6月湖南省衡阳市·二模)如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为cm．3．(2025·湖南省汨罗市·二模)如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，

4．(2025·湖南省常德市·二模)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东32°方向、距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的东南方向上的B处，若海轮以每小时30海里的速度航行，则海轮从A处航行到达B处大约要小时．（参考数据：2≈1.41，sin32°≈0.53，cos题型02题型025．(2025·湖南省长沙市·二模)为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB的高度是4m，从侧面点D测得显示牌顶端点C和底端点B的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度是多少米？（用含根号的式子表示结果）6．(2025·湖南省永州市·二模)如图①是某型号家用轿车后备箱开启侧面示意图，将其简化成如图②所示模型，其中AF?BE，sin?BAF=45，箱盖开启过程中，点B，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别至点B′，E′(1)求旋转角∠BAB(2)若AB=30cm，求B7．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，一楼房AB后有一假山，CD的坡度为i=1:2，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山脚与楼房水平距离BC=24米，与亭子距离CE=85米，小丽从楼房房顶测得E的俯角为45°(1)求点E到水平地面的距离；(2)求楼房AB的高．8．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，一艘小船从A处出发向正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东30°方向，航行2小时后到达B处，测得灯塔C在南偏东45°方向，A处与灯塔C的距离AC为40海里，求小船航行的平均速度（结果保留根号）．题型03题型039．(2025·6月湖南省衡阳市·二模)图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB=1m，BC=0.6m，∠ABC=123°，该车的高度AO=1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB′

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B′到地面l(2)若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C（结果精确到0?01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.89110．(2025·湖南省益阳市·二模)某特大桥以其独特的造型和雄伟的身姿成为某地标性建筑．某学习小组开展测量活动．活动主题测算某特大桥主桥塔的高度测量工具无人机，测角仪，水平仪器等模型抽象为测量某特大桥主桥塔的高度（图1），学习小组设计了如下方案（图2）：测量过程与数据信息1．无人机在距桥面边缘的E处测得塔底B的俯角∠CEB=40°；2．无人机沿着EC方向前进120米至D处，测得塔底B的俯角?BDC=59?，塔顶A的仰角3．点E，D，注：图中所有点均在同一平面内．参考数据：tan40°≈0.84(1)求桥基BC的长（结果取整数）；(2)求主桥塔AB的高度（结果取整数）．11．(2025·湖南省永州市·二模)综合与实践：A．新增选项项目测量某塔的高度方案方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB．方案二：利用锐角三角函数，测量：距离CD，仰角α，仰角β．测量示意图测量项目第一次第二次平均值测量项目第一次第二次平均值测量数据CD1.611.591.626.4°26.6°26.5°ED1.181.221.2α37.1°36.9°37°DB38.939.139CD34.8°35.2°35(1)根据“方案一”的测量数据，求出塔AB的高度；(2)根据“方案二”的测量数据，求出塔AB的高度；（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.5°≈0.45，12．(2025·湖南省衡阳市·二模)在湖南桃江县风景宜人之处，有一座别具一格的“天下第一笋”建筑．这座建筑的设计灵感源自竹笋，它象征着坚强与奋进，寄托着桃江县经济如同雨后春笋般，节节攀升、持续向上发展的美好期许．小王和小赵打算测量它的高度，在同一水平线上取A，B两点，点B在点A的右侧，AB相距24m．在点A处测得这座建筑的顶端的仰角为60°，在点B处测得这座建筑顶端的仰角为45°(1)求点A到“天下第一笋底部”的水平距离；(2)求这座“天下第一笋”的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：313．(24-25九·湖南岳阳岳阳县·二模)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4m，CE=1.6m，GH⊥CD，

根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据3≈1.73(1)求PQ的长；(2)该充电站有20个停车位，求PN的长．14．（湖南省永州市祁阳市2025年中考第二次模拟）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28,

15．(2025·湖南省汨罗市·二模)如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，(1)求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．16．(2025九·湖南省岳阳市·二模)某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．课题测量学校旗杆的高度成员组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX工具皮尺等测量示意图说明：线段AB表示学校旗杆，AB垂直地面于点B．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作BC，用皮尺测出BC的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出BD的长度．测量数据测量项目数值（单位：米）图①中BC的长度1图②中BD的长度5．．．．．．．．．(1)根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆AB的高度．(2)如图③，第三次操作：某同学从点D前行至点F处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端E到地面的距离EF的长度为1米，求该同学前进的距离DF的长度．317．(2025·湖南省衡阳市·二模)2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD=17米，BD=10米．(1)求CD的长；(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，18．(2025·湖南省娄底市冷水江市·二模)数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格．课题设计遮阳棚前挡板模型抽象示意图正定某景点游客服务中心，为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到2.29m宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板BC测量数据实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚AB长为3.5m，其与墙面的夹角∠BAD=70°，其靠墙端离地面高AD为4m．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE）约为60°，若加装前挡板BC后，此时服务窗口前恰好有2.29m任务1求出遮阳棚前端B到墙面AD的距离．任务2当∠CFE为60°时，求线段BC的长度．（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.74719．(2025·湖南省衡阳市·二模)近年来，为了解决户外劳动者喝水难、热饭难、歇脚难等急难愁盼问题，越来越多的户外劳动者服务站亮相街头．如图是某社区在户外劳动者服务站外墙安装的遮阳篷截面示意图，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳篷AB长为5.5米，与水平线的夹角为16°．(1)求点A到墙面BC的距离；(2)当太阳光线AD与水平线CE的夹角为45°时，量得CD为1.78米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长．（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，20．(2025·湖南省永州市·二模)某学校物理实验室有一种演示桌，收起时桌面与一支架的夹角∠CAB=20°，打开时桌面与同一支架的夹角∠GDB=63°（桌面FG?EC），已知支架BA=BD=40cm，求桌面上升的高度约为多少？（桌面的厚度与前后移动的距离等因素不用考虑）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin21．(2025·湖南省郴州市·二模)综合与实践目标篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度工具测角仪、卷尺素材1小敏借助测角仪测得：∠BED=90°，∠CAB=150°，∠ABE=120°．素材2为计算篮球架的伸臂AC距离地面的高度，小明在点M处测得：EM=4.8米，∠CME=60°.在距离点M左侧1.2米的N处测得：∠CNE=45°．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，任务一利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂AC∥地面DE，支架BE⊥地面DE）．任务二利用素材2，求篮球架的伸臂AC距离地面DE的高度．（结果保留一位小数）22．(2025·湖南省常德市·二模)【问题背景】2025年某市将迎来“第四届天门山跑酷大赛”，筹备委员会要在“云纵天梯”上设置108组障碍道具，但需要知道天梯最后一段AB的长度，某数学兴趣小组在老师的指导下进行了测量活动．【实施过程】活动主题测量天门山云纵天梯的长度测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象测绘过程与数据信息设台阶的起点为B，终点为A，B在水平直线l上，线段AB和直线l在同一平面内，点A的铅垂高AC⊥l于点C．已知台阶BA的坡度i=9:10①从点B开始沿CB的延长线方向行走44米到达点D处，在D处测得点A的仰角为37°；②用计算器计算得：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin42°≈0.67，【问题解决】请根据表格中提供的信息，解决下列问题：(1)求天梯的坡角α的度数；(2)求天梯AB的长度是多少米．（结果精确到整数）23．(2025·湖南省永州市·二模)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某矩形水池中假山露出水面部分的高度测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象某学校的矩形水池中有一假山，其露出水面部分的高度为CD，其示意图如下：测绘过程与数据信息①在矩形水池的一组对边上分别取点A，B，使得AB⊥CD于点E，再分别过点A，B作CD的平行线交水面于点M，N，通过皮尺在矩形水池的边缘测得其宽度为10.8米，即AB=MN=10.8米；②在点A处用测角仪测得∠EAD=11.2°，∠EAC=33.0°，在点B处用测角仪测得∠EBD=14.1°，∠EBC=39.1°；③用计算器计算得tan11.2°≈0.20，tan14.1°≈0.25，tan33.0°≈0.65请根据表格中提供的信息，求假山露出水面部分的高度CD．（最后结果保留整数）24．（湖南省祁阳市浯溪第二中学2025年中考二模）台风“康妮”来袭，小胜发现校园内一棵大树被吹斜了，他想利用所学知识测算倾斜后的大树顶端A距离地面的高度．他在同一时刻测得如下数据：①大树AB的影长BC为10m；②大树与地面所成锐角∠ABC大约为76°；③点D处竖直放置1.6m的竹杆DE，其影长DC为（参考数据：tan76°≈4，sin76°≈0.97，tan37°≈(1)该时刻太阳光线与水平地面所成夹角∠ACB为多少度？(2)小胜收集的数据能否帮助他计算出大树顶端A距离地面的高度？若能，请计算出结果；若不能，请说明理由．25．（湖南省娄底市2025年二模）几位同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题篮球架的结构测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象篮球架（如实物图所示）的结构示意图如下：立柱BC垂直地面DI，横梁EF平行地面DI，篮筐FG与横梁EF在同一直线上，点B、C、D在同一条垂直于地面的直线上．测绘过程与数据信息①用测角仪在A处测得后拉杆AB与水平面的夹角∠BAC=70°，在B处测得伸臂BE与水平面的夹角∠EBH=35°；②用皮尺测得后拉杆AB的长为1.91m，伸臂BE的长为1.49m，箱体的高度CD为③用计算器计算得到：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin35°≈0.57，请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到0.01m(1)求立柱BC的高度；(2)已知墩墩站立时手臂举至最高处，手掌距地面最大高度为2.48m，若墩墩站在地面上想摸到篮筐FG

专题06解直角三角形实际应用题型概览题型01解直角三角形基础应用题型02解直角三角形综合应用（不含参考数据）题型03解直角三角形综合应用（含参考数据）题型01题型011．(2025·6月湖南省衡阳市·二模)如图，身高1.6米的小亮站在B点测得旗杆CD的仰角为27°，小亮向旗杆走了6米到达F点，测得旗杆CD的仰角为63°，则旗杆的高度为米．（sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，【答案】5.6【来源】2025年6月湖南省衡阳市船山实验中学中考二模数学试卷【分析】本题主要考查解直角三角形的应用；在Rt?AHC中，得到AH=2CH，在Rt?EHC中，得到EH=1【详解】解：在Rt?AHC中，∴AH=2CH在Rt?EHC中，∴EH=∵AH−EH=AE=6∴2CH?∴CH=4∴CD=CH+HD=4+1.6=5.6答：旗杆的高度为5.6米；故答案为：5.6．2．(2025·6月湖南省衡阳市·二模)如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为cm．【答案】64【来源】2025年6月湖南省衡阳市船山实验中学中考二模数学试卷【分析】连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，求出CE,EF,DF即可解决问题；【详解】解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．∵AB//EF，AE//BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵∠AEF＝90°，∴四边形AEFB是矩形，∴EF＝AB＝10（cm），∵AE//PC，∴∠PCA＝∠CAE＝30°，∴CE＝AC•sin30°＝27（cm），同法可得DF＝27（cm），∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），故答案为64．【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．3．(2025·湖南省汨罗市·二模)如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，

【答案】21【来源】2025年湖南省汨罗市中考二模数学试题【分析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解．【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，且CD⊥AB，∴AD=BD，∵CD=3m∴AC=BC=CD∴共需钢材约为2AC+2AD+CD=21m故答案为21．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．4．(2025·湖南省常德市·二模)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东32°方向、距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的东南方向上的B处，若海轮以每小时30海里的速度航行，则海轮从A处航行到达B处大约要小时．（参考数据：2≈1.41，sin32°≈0.53，cos【答案】2.76【来源】2025年湖南省常德市澧县中考二模数学试题【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方位角和三角函数是解题的关键．过点P作PH⊥AB于点H，由题意知AB=AH+BH=AH+PH=PAcos【详解】解：如图，过点P作PH⊥AB于点H，由题意知∠A=32°,∠B=45°∴AH=PA∴AB=AH+BH=AH+PH=PAcos则海轮从A处航行到达B处需要的时间t=?=2.76（小时）．故答案为：2.76题型02题型025．(2025·湖南省长沙市·二模)为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB的高度是4m，从侧面点D测得显示牌顶端点C和底端点B的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度是多少米？（用含根号的式子表示结果）【答案】4【来源】2025年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考二模数学试卷【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，在Rt?ABD中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边AD的长；同理在Rt?ADC中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边AC的长；进而由【详解】解：∵在Rt?ABD中，∠BDA=45°，∠BAD=90°∴DA=AB在Rt?ADC中，∠CDA=60°∴tan∴CA=43m（米∴BC=CA−BA=4答：路况显示牌BC的高度约为436．(2025·湖南省永州市·二模)如图①是某型号家用轿车后备箱开启侧面示意图，将其简化成如图②所示模型，其中AF?BE，sin?BAF=45，箱盖开启过程中，点B，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别至点B′，E′(1)求旋转角∠BAB(2)若AB=30cm，求B【答案】(1)∠BAB(2)BE′的长度为【来源】2025年湖南省永州市冷水滩区京华中学中考二模数学试题【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．（1）由旋转得，∠B（2）过点A作AP⊥BE于点P，过点B′作B′H⊥AP于点H．在Rt?ABP中，利用三角函数的定义求得AP=24，BP=18，证明【详解】（1）解：由旋转得，∠B∵∠ABE+∠ABE∴∠B∵BE⊥B∴在四边形ABE?B（2）解：如图，过点A作AP⊥BE于点P，过点B′作B′H⊥AP∵AF?∴∠ABP=∠BAF．在Rt?ABP中，∴sin?ABP=∴AP=24．∴BP=30由（1）知，∠BAB′=90°∵∠ABP+∠PAB=90°，∴∠B′AP=∠ABP，由旋转，得AB=AB∴△BPA≌△AHB∴PA=HB∵BE⊥B∴∠B∴四边形B?∴PE∴BE所以，BE′的长度为7．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，一楼房AB后有一假山，CD的坡度为i=1:2，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山脚与楼房水平距离BC=24米，与亭子距离CE=85米，小丽从楼房房顶测得E的俯角为45°(1)求点E到水平地面的距离；(2)求楼房AB的高．【答案】(1)8米(2)48米【来源】2025年湖南省长沙市雅礼教育集团中考二模数学试卷【分析】（1）过点E作EF⊥BC的延长线于F，根据CD的坡度为i=1:2得CF=2EF，再由勾股定理可得EF=8米，CF=16米；（2）过E作EH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质求出AH的长，进而可得AB的长．【详解】（1）解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，在Rt?CEF∵CD的坡度为i=1:2，CE=85∴i=EF∴CF=2EF，∵EF∴EF∴EF=8（米），CF=16（米），答：点E到水平地面的距离为8米；（2）过E作EH⊥AB于点H，则BH=EF=8米，由题意得：HE=BF=BC+CF=24+16=40（米），在Rt?AHE中，∠HAE=45°∴△AHE是等腰直角三角形，∴AH=HE=40（米），∴AB=AH+HB=40+8=48（米）．答：楼房AB的高为48米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．8．(2025·湖南省长沙市·二模)如图，一艘小船从A处出发向正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东30°方向，航行2小时后到达B处，测得灯塔C在南偏东45°方向，A处与灯塔C的距离AC为40海里，求小船航行的平均速度（结果保留根号）．【答案】10+103【来源】2025年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学中考二模数学试卷【分析】此题考查了解直角三角形的应用．作CH⊥AB于点H，求出AB，根据速度的求出答案．【详解】解：作CH⊥AB于点H，∵在Rt?AHC中，∠HAC=30°?HC=12AC=20∵在Rt?BHC中，∠HBC=45°∴HB=HC=20，∴AB=AH+HB=20+203又t=2，∴小船的航行速度为v=AB答：小船的航行速度为10+103题型03题型039．(2025·6月湖南省衡阳市·二模)图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB=1m，BC=0.6m，∠ABC=123°，该车的高度AO=1.7m．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB′

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B′到地面l(2)若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C（结果精确到0?01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891【答案】(1)车后盖最高点B′到地面的距离为(2)没有危险,详见解析【来源】2025年6月湖南省衡阳市船山实验中学中考二模数学试卷【分析】（1）作B′E⊥AD，垂足为点E，先求出B′（2）过C′作C′F⊥B′E，垂足为点F，先求得∠AB′E=63°【详解】（1）如图，作B′E⊥AD

在Rt?A∵∠B′∴sin∴B∵平行线间的距离处处相等∴B答：车后盖最高点B′到地面的距离为2.15（2）没有危险，理由如下：过C′作C′

∵∠B′∴∠A∵∠A∴∠在Rt?B∴B′∵平行线间的距离处处相等∴C′到地面的距离为2.15−0.3=1.85∵1.85>1.8∴没有危险．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．10．(2025·湖南省益阳市·二模)某特大桥以其独特的造型和雄伟的身姿成为某地标性建筑．某学习小组开展测量活动．活动主题测算某特大桥主桥塔的高度测量工具无人机，测角仪，水平仪器等模型抽象为测量某特大桥主桥塔的高度（图1），学习小组设计了如下方案（图2）：测量过程与数据信息1．无人机在距桥面边缘的E处测得塔底B的俯角∠CEB=40°；2．无人机沿着EC方向前进120米至D处，测得塔底B的俯角?BDC=59?，塔顶A的仰角3．点E，D，注：图中所有点均在同一平面内．参考数据：tan40°≈0.84(1)求桥基BC的长（结果取整数）；(2)求主桥塔AB的高度（结果取整数）．【答案】(1)桥基BC的长为204米；(2)桥塔AB的高度为332米．【来源】2025年湖南省益阳市安化县中考二模数学试题【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．（1）设线段CD的长为x米，根据tan?BDC=BCDC根据tan40°=1.66x120+x（2）根据解直角三角形求出AC的长，即可求解．【详解】（1）解：设线段CD的长为x米，在Rt?BCD中，∠BDC=59°,∠BCD=90°?tan∴BC=xtan在Rt?ECB中，∠BEC=40°,∠BCE=90°?tan∵EC=ED+DC，∴EC=120+x（米），∴tan解得：x≈122.9（米），∴BC≈1.66x≈204（米），答：桥基BC的长为204米；（2）解：由（1）知，CD=122.9米，在Rt?ACD中，∠ADC=46°,∠BCD=90°?tan∴AC=DC⋅tan∵AB=AC+BC，∴AB=128+204=332（米），答：桥塔AB的高度为332米．11．(2025·湖南省永州市·二模)综合与实践：A．新增选项项目测量某塔的高度方案方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB．方案二：利用锐角三角函数，测量：距离CD，仰角α，仰角β．测量示意图测量项目第一次第二次平均值测量项目第一次第二次平均值测量数据CD1.611.591.626.4°26.6°26.5°ED1.181.221.2α37.1°36.9°37°DB38.939.139CD34.8°35.2°35(1)根据“方案一”的测量数据，求出塔AB的高度；(2)根据“方案二”的测量数据，求出塔AB的高度；（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.5°≈0.45，【答案】(1)52(2)52.5【来源】2025年湖南省永州市中考适应性考试二模数学试题【分析】本题考查了相似三角形的性质和锐角三角函数的实际应用．（1）由题意可知△ABD∽△CDE，从而得出ABDB（2）根据锐角三角函数的正切值分别得出BC=ABtan37°，BD=【详解】（1）解：如图，由题意可知△ABD∽△CDE，∴ABDB=CD解得AB=52，∴塔AB的高度为52米；（2）解：如图，在Rt?ABC中，tan∴BC=AB在Rt?ABD中，tan∴BD=AB∵CD=BD−BC=35，∴ABtan26.5°−∴AB=52.5米，∴塔AB的高度为52.5米．12．(2025·湖南省衡阳市·二模)在湖南桃江县风景宜人之处，有一座别具一格的“天下第一笋”建筑．这座建筑的设计灵感源自竹笋，它象征着坚强与奋进，寄托着桃江县经济如同雨后春笋般，节节攀升、持续向上发展的美好期许．小王和小赵打算测量它的高度，在同一水平线上取A，B两点，点B在点A的右侧，AB相距24m．在点A处测得这座建筑的顶端的仰角为60°，在点B处测得这座建筑顶端的仰角为45°(1)求点A到“天下第一笋底部”的水平距离；(2)求这座“天下第一笋”的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：3【答案】(1)32.8(2)56.8【来源】2025年湖南省衡阳市第十七中学中考二模数学试卷【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是熟练掌握利用锐角三角函数解直角三角形的步骤．（1）假设OP长度为xm，表示出OB=OP=x（2）利用（1）的结果即可求解．【详解】（1）解：设OP长度为xm由题意得：∠OAP=60°，∠PBO=45°，OP⊥OB，∴△OBP为等腰直角三角形，∴OB=OP=xm在Rt?POA中，OA=?AB=OB?OA=x?3解得x≈56.8，∴OA≈32.8，所以，点A到“天下第一笋”底部的水平距离约为32.8m（2）解：由（1）可得x≈56.8，所以，这座“天下第一笋”的高度约为56.8m13．(24-25九·湖南岳阳岳阳县·二模)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4m，CE=1.6m，GH⊥CD，

根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据3≈1.73(1)求PQ的长；(2)该充电站有20个停车位，求PN的长．【答案】(1)6.1(2)66.7【来源】湖南省岳阳市岳阳县2024-2025学年九年级中考二模数学试卷【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用：（1）先由矩形的性质得到∠Q=∠P=90°，再解Rt?ABQ得到AQ=27310m（2）解Rt?BCE得到BE=3.2m，解Rt?ABQ得到BQ=2.7【详解】（1）解：∵四边形PQMN是矩形，∴∠Q=∠P=90°，在Rt?ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4∴AQ=AB?sin?ABQ=27∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∴∠CBE=30°，∴BC=CE∴AD=8∵∠PAD=180°−30°−90°=60°，∴AP=AD?cos∴PQ=AP+AQ=35

（2）解：在Rt?BCE中，BE=在Rt?ABQ中，BQ=AB?∵该充电站有20个停车位，∴QM=QB+20BE=66.7m∵四边形ABCD是矩形，∴PN=QM=66.7m14．（湖南省永州市祁阳市2025年中考第二次模拟）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28,

【答案】2.2米【来源】湖南省永州市祁阳市2025年中考第二次模拟考试数学试卷【分析】过点A作AG⊥BC于点G，AF⊥CE于点F，则四边形AFCG是矩形，在Rt?ABG中，求得BG,AG，进而求得CG,AF,DF，根据CD=CF−DF【详解】解：如图所示，过点A作AG⊥BC于点G，AF⊥CE于点F，则四边形AFCG是矩形，

依题意，∠BAG=16°，AB=5（米）在Rt?ABG中，GB=AB×sin∠BAG=5×sin16°≈5×0.28=1.4∵BC=4（米）∴AF=CG=BC−BG=4−1.4=2.6（米）∵∠ADF=45°，∴DF=AF=2.6（米）∴CD=CF−DF=4.8−2.6=2.2（米）．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．15．(2025·湖南省汨罗市·二模)如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，(1)求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．【答案】(1)A，C两港之间的距离77.2海里；(2)甲货轮先到达C港．【来源】2025年湖南省汨罗市中考二模数学试题【分析】（1）过B作BE⊥AC于点E，由题意可知：∠GAB=45°，∠EBC=60°，求出AE=ABcos?BAE=202（2）通过三角函数求出甲行驶路程为：AB+BC=40+56.4=96.4，乙行驶路程为：AD+CD=66.8+38.6=105.4，然后比较即可；本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．【详解】（1）如图，过B作BE⊥AC于点E，∴∠AEB=∠CEB=90°，由题意可知：∠GAB=45°，∠EBC=60°，∴∠BAE=45°，∴AE=ABcos∴CE=BEtan∴AC=AE+CE=202∴A，C两港之间的距离77.2海里；（2）由（1）得：∠BAE=45°，∠EBC=60°，AC=77.2，∴BE=ABsin∴BC=BE由题意得：∠ADF=60°，∠CDF=30°，∴∠ADC=90°，∴CD=12AC=∴甲行驶路程为：AB+BC=40+56.4=96.4（海里），乙行驶路程为：AD+CD=66.8+38.6=105.4（海里），∵96.4<105.4，且甲、乙速度相同，∴甲货轮先到达C港．16．(2025九·湖南省岳阳市·二模)某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．课题测量学校旗杆的高度成员组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX工具皮尺等测量示意图说明：线段AB表示学校旗杆，AB垂直地面于点B．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作BC，用皮尺测出BC的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出BD的长度．测量数据测量项目数值（单位：米）图①中BC的长度1图②中BD的长度5．．．．．．．．．(1)根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆AB的高度．(2)如图③，第三次操作：某同学从点D前行至点F处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端E到地面的距离EF的长度为1米，求该同学前进的距离DF的长度．3【答案】(1)旗杆AB的高度为12米(2)1.9米【来源】2025年湖南省岳阳市九年级数学二模试卷【分析】本题考查了勾股定理的应用、矩形的判定和性质等知识，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键；（1）设旗杆AB的高度为x米，根据题意可得：AD=x+1（米），则在直角三角形ABD中，根据勾股定理构建方程求解即可；（2）作EG⊥AB于点G，如图，则由题意可得四边形BFEG是矩形，AE=AD=13米，在直角三角形AEG中，根据勾股定理求出EG，即BF的长度即可解决问题．【详解】（1）解：设旗杆AB的高度为x米，根据题意可得：AD=x+1，则在直角三角形ABD中（图②），根据勾股定理可得：AB即x2解得：x=12，所以旗杆AB的高度为12米.（2）解：作EG⊥AB于点G，如图，又∵AB⊥BF,EF⊥BF，∴四边形BFEG是矩形，AE=AD=13，∴BG=EF=1,GE=BF，∴AG=AB−BG=11，则在直角三角形AEG中，根据勾股定理得：AG即112解得：EG=43?6.92，即∴DF=6.92−5=1.92≈1.9；该同学前进的距离DF的长约为1.9米．【点睛】17．(2025·湖南省衡阳市·二模)2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD=17米，BD=10米．(1)求CD的长；(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，【答案】(1)CD的长约为8米；(2)模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒．【来源】2025年湖南省衡阳市衡南县中考第二次模拟考试数学试题【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键．（1）过点B作BE?CD交AD于点E，根据余弦值求出（2）先由勾股定理，求出AC的长，再利用正弦值求出BC的长，进而得到AB的长，然后除以速度，即可求出下降时间．【详解】（1）解：如图，过点B作BE?CD交AD于点由题意可知，∠DBE=36.87°，∴∠BDC=36.87°，在△BCD中，∠C=90°，BD=10米，?cos∴CD=BD⋅cos即CD的长约为8米；（2）解：∵AD=17米，CD=8米，?AC=A在△BCD中，∠C=90°，BD=10米，?sin∴BC=BD⋅sin∴AB=AC−BC=15−6=9米，∵模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，∴模拟装置从A点下降到B点的时间为9÷2=4.5秒，即模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒．18．(2025·湖南省娄底市冷水江市·二模)数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格．课题设计遮阳棚前挡板模型抽象示意图正定某景点游客服务中心，为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到2.29m宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板BC测量数据实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚AB长为3.5m，其与墙面的夹角∠BAD=70°，其靠墙端离地面高AD为4m．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE）约为60°，若加装前挡板BC后，此时服务窗口前恰好有2.29m任务1求出遮阳棚前端B到墙面AD的距离．任务2当∠CFE为60°时，求线段BC的长度．（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747【答案】任务1：遮阳棚前端B到墙面AD的距离为3.29m；任务2：BC的长度约为【来源】2025年湖南省娄底市冷水江市中考二模数学试题【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．任务1：过点B作BG⊥AD，垂足为G，延长BC交DE于点H，根据题意可得：BG=DH，BH=DG，BH⊥DE，然后在Rt?ABG，利用锐角三角函数的定义求出BG任务2：在Rt?ABG，利用锐角三角函数的定义AG的长，从而求出BH和FH的长，最后在Rt?CFH中，利用锐角三角函数的定义求出【详解】解：任务1：过点B作BG⊥AD，垂足为G，延长BC交DE于点H，由题意得：BG=DH，BH=DG，BH⊥DE，在Rt?ABG中，AB=3.5m，BG=AB⋅sin答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离为3.29m任务2：在Rt?ABG中，AB=3.5m，∴AG=AB⋅cos∵AD=4m∴BH=DG=AD−AG=4−1.197=2.803m∵DF=2.29m，DH=BG=3.29∴FH=DH−DF=3.29−2.29=1m在Rt?CFH中，∠CFH=60°∴CH=FH⋅tan∴BC=BH−CH=2.803−1.732=1.071≈1.07m∴BC的长度约为1.07m19．(2025·湖南省衡阳市·二模)近年来，为了解决户外劳动者喝水难、热饭难、歇脚难等急难愁盼问题，越来越多的户外劳动者服务站亮相街头．如图是某社区在户外劳动者服务站外墙安装的遮阳篷截面示意图，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳篷AB长为5.5米，与水平线的夹角为16°．(1)求点A到墙面BC的距离；(2)当太阳光线AD与水平线CE的夹角为45°时，量得CD为1.78米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长．（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，【答案】(1)5.28米(2)5.04米【来源】2025年湖南省衡阳市二模数学试题【分析】本题考查了解直角三角形的应用．（1）作AF⊥BC，在Rt?ABF中，根据三角函数，求出AF（2）作AG⊥CE，依次求出DG，AG,FC的长，在Rt?ABF中，根据三角函数，求出BF【详解】（1）解：过点A作AF⊥BC，垂足为F，在Rt?ABF中，AB=5.5∴AF=AB⋅cos∴点A到墙面BC的距离约为5.28米；（2）过点A作AG⊥CE，垂足为G，由题意得：AG=CF，AF=CG=5.28（米），∵CD=1.78（米），∴DG=CG−CD=5.28−1.78=3.5（米），在Rt?ADG中，∠ADG=45°∴AG=DG=3.5（米），∴CF=DG=3.5（米），在Rt?ABF∴BF=AB⋅sin∴BC=BF+CF=1.54+3.5=5.04（米）．20．(2025·湖南省永州市·二模)某学校物理实验室有一种演示桌，收起时桌面与一支架的夹角∠CAB=20°，打开时桌面与同一支架的夹角∠GDB=63°（桌面FG?EC），已知支架BA=BD=40cm，求桌面上升的高度约为多少？（桌面的厚度与前后移动的距离等因素不用考虑）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin【答案】桌面上升的高度约为22【来源】2025年湖南省永州市第十六中学中考二模数学试题【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是解题的关键．做辅助线，过点B作BM⊥FG于点M，交EC于点N，由三角函数求出BN、BM的值，即可得出答案．【详解】解：过点B作BM⊥FG于点M，交EC于点N，∵FG?∴BM⊥EC，在Rt?ANB中，∠ANB=90°，BA=40∴sin?NAB=∴sin20°=∴NB=sin在Rt?DMB中，∠DMB=90°，BD=40∴sin?MDB=∴sin63°=∴MB=sin∴MN=MB−NB≈35.6−13.6≈22，∴桌面上升的高度约为22cm21．(2025·湖南省郴州市·二模)综合与实践目标篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度工具测角仪、卷尺素材1小敏借助测角仪测得：∠BED=90°，∠CAB=150°，∠ABE=120°．素材2为计算篮球架的伸臂AC距离地面的高度，小明在点M处测得：EM=4.8米，∠CME=60°.在距离点M左侧1.2米的N处测得：∠CNE=45°．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，任务一利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂AC∥地面DE，支架BE⊥地面DE）．任务二利用素材2，求篮球架的伸臂AC距离地面DE的高度．（结果保留一位小数）【答案】任务一：合理，理由见详解任务二：篮球架的伸臂AC距离地面DE的高度约为2.8米【来源】2025年湖南省郴州市初中学业水平考试第二次监测数学试卷【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是关键．任务一：根据题意得到BE⊥DE，合格，如图所示，过点B作BP∥DE，根据平行线的判定可得AC∥DE，合格，由此即可求解；任务二：如图所示，过点C作CH⊥DE于点H，则∠CHM=90°，可得∠MCH=30°，设MH=x米，则tan∠MCH=tan30°=MHCH=33，可得CH=3【详解】解：任务一：篮球架安装合格，理由如下，∵∠BED=90°，∴BE⊥DE，合格，如图所示，过点B作BP∥DE，∴∠PBE=∠BED=90°，∴∠ABP=∠ABE−∠PBE=120°−90°=30°，∴∠CAB+∠ABP=150°+30°=180°，∴AC∥BP，∴AC∥DE，合格，综上所述，篮球架安装合格；任务二：如图所示，过点C作CH⊥DE于点H，则∠CHM=90°，∵∠CME=60°，∴∠MCH=30°，设MH=x米，则tan∠MCH=∴CH=3∵∠CNE=45°，∠CHN=90°，∴∠NCH=45°，△CNH是等腰直角三角形，∴HN=HC，即1.2+x=3解得，x=3∴CH=3∴篮球架的伸臂AC距离地面DE的高度约为2.8米．22．(2025·湖南省常德市·二模)【问题背景】2025年某市将迎来“第四届天门山跑酷大赛”，筹备委员会要在“云纵天梯”上设置108组障碍道具，但需要知道天梯最后一段AB的长度，某数学兴趣小组在老师的指导下进行了测量活动．【实施过程】活动主题测量天门山云纵天梯的长度测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象测绘过程与数据信息设台阶的起点为B，终点为A，B在水平直线l上，线段AB和直线l在同一平面内，点A的铅垂高AC⊥l于点C．已知台阶BA的坡度i=9:10①从点B开始沿CB的延长线方向行走44米到达点D处，在D处测得点A的仰角为37°；②用计算器计算得：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin42°≈0.67，【问题解决】请根据表格中提供的信息，解决下列问题：(1)求天梯的坡角α的度数；(2)求天梯AB的长度是多少米．（结果精确到整数）【答案】(1)∠α=42°(2)天梯的长度AB约为296米【来源】2025年湖南省常德市中考二模数学试题【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用：（1）由iAB=9:10=AC:BC，结合（2）设AC=9x米，BC=10x米．结合tan37°=ACCD，可得x≈22，AC≈9×22=198【详解】（1）解：∵AC⊥BC，?i?tan∴∠α=42°．（2）解：∵iAB设AC=9x米，BC=10x米．∵AC⊥BC，∠ADC=37°，∴tan?9x解得x≈22，∴AC≈9×22=198（米）．∵sin?0.67?198∴AB≈296米．答：天梯的长度AB约为296米．23．(2025·湖南省永州市·二模)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某矩形水池中假山露出水面部分的高度测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象某学校的矩形水池中有一假山，其露出水面部分的高度为CD，其示意图如下：测