2025中考数学二模试题分类汇编06 四边形的填空与解答（北京专用）（学生版+教师版合并）

专题06四边形的填空与解答题型概览题型01四边形中的相似题型02四边形解答题题型01四边形中的相似题型011．（2025·北京顺义·二模）如图所示的网格是正方形网格，则（点，，，是网格线交点）．2．（2025·北京西城·二模）如图，在中，点是上一点，延长，交于点．若，的面积为6，则的面积为．3．（2025·北京朝阳·二模）如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为．4．（2025·北京海淀·二模）如图，正方形的边长为3，点在上，连接，以为边作正方形，点与点在直线异侧．若正方形的面积为10，则点到的距离为．5．（2025·北京密云·一模）如图，矩形中，垂足为E，延长交于F，，，则的长为．6．（2025·北京丰台·二模）如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为．7．（2024·北京平谷·二模）如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为．8．（2024·北京朝阳·二模）如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为．9．（2025·北京石景山·二模）如图，在中，于点D，平分，于点E，于点F．若，则的长为．10．（2025·北京顺义·二模）已知，，如图．（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；（2）作直线，分别交于点；（3）连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（写出所有符合题意的序号）．①；②；③；④以为直径的圆不经过点和点．题型02题型021．（2025·北京房山·二模）如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，求的长．2．（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求的长．3．（2025·北京石景山·二模）如图，在中，，于点D，O为的中点，作点D关于点O的对称点E，连接，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．4．（2025·北京西城·二模）如图，在中，，的平分线交于点，过点作，交于点，点是上一点，且，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长．5．（2025·北京朝阳·二模）如图，在四边形中，，相交于点，，点在上，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，，求的长．6．（2025·北京顺义·二模）如图，在四边形中，，点E在上，，平分．(1)求证：四边形为菱形；(2)连接交于点．若，，，求的长．7．（2025·北京丰台·二模）如图，在四边形中，，，是的中点，是对角线的中点，．(1)求证：四边形为菱形；(2)连接交于点，若，，求的长．8．（2025·北京海淀·二模）如图，在中，，于点，点在上，过点作的平行线交的延长线于点，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若点在线段的垂直平分线上，且，求证：四边形是矩形．9．（2025·北京密云·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E为的中点，连接并延长至点F，使，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，菱形的周长为40，求的值．10．（2025·北京昌平·二模）如图，在平行四边形中，于点，延长到点，使得，连接交于点，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接．若，求．

专题06四边形的填空与解答题型概览题型01四边形中的相似题型02四边形解答题题型01四边形中的相似题型011．（2025·北京顺义·二模）如图所示的网格是正方形网格，则（点，，，是网格线交点）．【答案】45【分析】本题考查了三角形外角的定义和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形的外角的定义及性质可知，然后利用网格的性质可推出，即可得到答案【详解】解：如图所示，点是网格线交点，连接，根据题意可知，，，根据网格的性质可知，，，，，故答案为：45．2．（2025·北京西城·二模）如图，在中，点是上一点，延长，交于点．若，的面积为6，则的面积为．【答案】24【分析】本题主要考查平行四边形的性质（对边平行）以及相似三角形的判定（两角分别相等的两个三角形相似）和性质（相似三角形面积比等于相似比的平方）．解题的关键在于利用平行四边形对边平行的性质找出相似三角形，准确求出相似比，再运用相似三角形面积比与相似比的关系计算所求三角形的面积．本题围绕平行四边形展开，已知和的面积，要求的面积．需要利用平行四边形对边平行的性质，找出相似三角形，再依据相似三角形的性质来建立面积关系求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，即．∴，．∴．∵四边形是平行四边形，∴．∵，∴，∴．∵．∴．∴．即，∴故答案为：．3．（2025·北京朝阳·二模）如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为．【答案】4【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质，根据矩形的性质和三角形面积计算公式可得，，则，同理可得，则．【详解】解：如图所示，连接，∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴同理可得，∴，故答案为：．4．（2025·北京海淀·二模）如图，正方形的边长为3，点在上，连接，以为边作正方形，点与点在直线异侧．若正方形的面积为10，则点到的距离为．【答案】【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，根据正方形的性质和勾股定理可求得、和的长度，以及可证得，从而得到，代入计算求得的长度即为答案．【详解】解：作于点，如图所示，则，四边形是边长为3的正方形，，，四边形是正方形，且面积为10，，，在中，，，又，，，，，即，．故答案为：．5．（2025·北京密云·一模）如图，矩形中，垂足为E，延长交于F，，，则的长为．【答案】【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∵矩形，∴，∵，，∴，∴，即，解得，故答案为：．6．（2025·北京丰台·二模）如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为．【答案】【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．【详解】解：在正方形中，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为．7．（2024·北京平谷·二模）如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为．【答案】【分析】本题考查了正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键．由题意可求，证明，则，即，计算求解即可．【详解】解：∵正方形，∴，，，，∴，∵，∴，，∴，∴，即，解得，，故答案为：．8．（2024·北京朝阳·二模）如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为．【答案】10【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到，推出，得到，即可求出，即可求出．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，，，．故答案为：10．9．（2025·北京石景山·二模）如图，在中，于点D，平分，于点E，于点F．若，则的长为．【答案】6【分析】由全等三角形的性质得，，得到是的面积的两倍，然后用等面积法求得和的关系，进而得到的长．本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线与面积，解题的关键是熟练应用等面积法求高．【详解】解：∵于点D，平分，∴，∵，∴，∴，是的中线，，，，，，，，故答案为：6．10．（2025·北京顺义·二模）已知，，如图．（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；（2）作直线，分别交于点；（3）连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（写出所有符合题意的序号）．①；②；③；④以为直径的圆不经过点和点．【答案】①②③【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆，根据作法可得垂直平分，可判断②；再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可判断①；由垂直平分线的性质得到，即可证明，即可判断③；再根据对角互补可得四点共圆，即可判断④．【详解】解：根据作法可得垂直平分，∴，点是的中点，，故②正确；∵，∴，故①正确；∵，∴，故③正确；∵，∴四点共圆，且为直径，故④错误．∴正确的结论是：①②③，故答案为：①②③．题型02题型021．（2025·北京房山·二模）如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，正切的定义，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键；（1）先证明，进而得出，根据平行四边形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，进而证明四边形是矩形；（2）根据正切的定义得出，进而在中，勾股定理，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，，点是的中点，，，，，，，，，四边形是矩形．（2）解：，．．四边形是矩形，．，．在中，，2．（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（）由平行线的性质可得，又是的角平分线，则，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，又从而求证；（）先证明是等边三角形，则，由平行四边形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∵是的角平分线，∴，∴，∴，∵，是中点，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；（2）解：∵，又∵，∴，∴是等边三角形，∴，∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．3．（2025·北京石景山·二模）如图，在中，，于点D，O为的中点，作点D关于点O的对称点E，连接，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，中心对称的性质，解题关键是熟悉上述知识点，并能熟练运用求解．（1）先证明四边形是平行四边形，再证明它有一个角是直角，从而可得四边形是矩形．（2）先根据矩形的性质证得，，，再利用正切求出，设，接着用表示出，，再用表示出与，根据，可求得，再利用勾股定理求得．【详解】（1）证明：∵点关于点的对称点为点，∴必过点且．∵为的中点，∴．∴四边形是平行四边形．∵于，∴．∴四边形是矩形．（2）∵四边形是矩形，∴，，．在中，．设，则，．∴，．∴．∴在中，．4．（2025·北京西城·二模）如图，在中，，的平分线交于点，过点作，交于点，点是上一点，且，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长．【答案】(1)详见解析(2)【分析】（1）首先利用角平分线的性质得到，再结合推出，从而得出．已知，可得到，根据一组对边平行且相等判定四边形是平行四边形．最后由，根据矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）得出四边形是矩形．（2）利用矩形的性质得到，进而推出，．已知，则，在中，根据正弦值和求出和的长度，进而得到的长度．最后在中，根据勾股定理求出的长．【详解】（1）证明：∵的平分线交于点，∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴四边形为平行四边形．∵，∴四边形为矩形．（2）解：如图所示，∵在矩形中，，∴，．∵，∴．∵在中，，∴，．∴．∵在矩形中，，∴在中，．【点睛】平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、三角函数以及勾股定理．解题关键在于利用已知条件逐步推导边与角的关系，通过角平分线和平行线的组合得到等腰三角形，利用矩形性质找到角的等量关系，再结合三角函数和勾股定理求解边长．5．（2025·北京朝阳·二模）如图，在四边形中，，相交于点，，点在上，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、解直角三角形、三线合一、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）利用平行线的性质得到，，结合推出，得到，再利用平行四边形的判定即可证明；（2）在中利用正切的定义得到，利用平行四边形的性质得到，由得到，最后利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：，，．又，，，又，四边形是平行四边形．（2）解：，，在中，，，四边形是平行四边形，，，，，，又，，，．6．（2025·北京顺义·二模）如图，在四边形中，，点E在上，，平分．(1)求证：四边形为菱形；(2)连接交于点．若，，，求的长．【答案】(1)见详解(2)【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先结合，，证明四边形为平行四边形，根据平分，以及，得，即，进行作答即可．（2）结合菱形的性质得，，因为，所以，得，代入数值得，，运用，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答．【详解】（1）解：∵，点E在上，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∵平分，∴，∴，∴，∴四边形为菱形；（2）解：依题意，如图所示：由（1）得四边形为菱形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴在中，，∴，∵，∴在中，．7．（2025·北京丰台·二模）如图，在四边形中，，，是的中点，是对角线的中点，．(1)求证：四边形为菱形；(2)连接交于点，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据中位线的性质得出，，根据，得出，即可得出答案；（2）根据菱形性质得出，，，解直角三角形得出，求出，根据F为中点，得出，最后求出结果即可．【详解】（1）证明：∵是的中点，是对角线的中点，∴，是的中位线，∴，，∵，∴．∵，∴．∵，∴四边形是平行四边形．∴是菱形．（2）解：∵四边形是菱形，∴，，，∴，．又在中，，∴，∴，∵F为中点，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查中位线的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，中位线的性质．8．（2025·北京海淀·二模）如图，在中，，于点，点在上，过点作的平行线交的延长线于点，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若点在线段的垂直平分线上，且，求证：四边形是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，再证明．则．即可证明四边形是平行四边形；（2）证明是直角三角形，．即可证明四边形是矩形．【详解】（1）证明：，．，．，．．四边形是平行四边形．（2）点在线段的垂直平分线上，．，．是直角三角形，．四边形是平行四边形，四边形是矩形．【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，证明四