2025中考数学二模试题分类汇编07 三角形与四边形压轴（北京专用）（学生版+教师版合并）

专题07三角形与四边形压轴题型概览题型01三角形与四边形压轴题型01三角形与四边形压轴题型011．（2025·北京房山·二模）在和中，，连接，点是的中点，连接．(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是______；(2)如图2，当点在内部时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．2．（2025·北京朝阳·二模）在Rt中，为射线上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，线段与直线相交于点．(1)如图，当时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．(2)若对于任意的点，上一问的结论总成立，写出满足条件的的值，画出相应的图形，并证明．3．（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，，为内一点，，其中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点．(1)求的度数；(2)用等式表示，，的数量关系，并证明．4．（2025·北京石景山·二模）如图，在中，，，是边上一点（不与点，重合），线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．(1)求的度数．(2)如图，连接，是中点，是中点，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明．5．（2025·北京西城·二模）如图，在中，，，点为边上一点（），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接．(1)求证：平分；(2)若点，，分别为，，的中点，连接，补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．6．（2025·北京丰台·二模）在中，，，是内一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．(1)如图1，当点与点重合时，求证：；(2)如图2，当点在外部时，与交于点，取中点，连接、，直接写出的大小，并证明．7．（2025·北京顺义·二模）如图，在中，，，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．(1)连接，求的大小（用含的代数式表示）；(2)过点作交的延长线于点，连接．①依题意补全图形；②用等式表示线段与的数量关系，并证明．8．（2025·北京密云·二模）如图，在等腰直角三角形中，，是线段上一点（），连接，过点作的垂线，交延长线于点，交延长线于点．(1)依题意补全图形；(2)若，求的大小（用含的式子表示）；(3)若点在线段上，且，连接，用等式表示，，之间的数量关系并证明．9．（2025·北京海淀·二模）在中，为上一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．(1)如图1，若点在线段上，求证：；(2)如图2，若，点关于点的对称点为点，连接．①依题意补全图2；②直接写出的大小，并证明．

专题07三角形与四边形压轴题型概览题型01三角形与四边形压轴题型01三角形与四边形压轴题型011．（2025·北京房山·二模）在和中，，连接，点是的中点，连接．(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是______；(2)如图2，当点在内部时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【答案】(1)(2)成立；证明见解析【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键；（1）延长交于点，过点作，连接，则，进而根据等腰直角三角形的性质得出，证明四边形是矩形，得出，即可得证；（2）延长到，使得，证明，进而证明，得出，根据，即可得证．【详解】（1），理由如下如图，延长交于点，过点作，连接，则，∵在和中，，∴∴是等腰直角三角形，∴，∵∴是等腰直角三角形，又∵是的中点，∴∴，∴四边形是矩形，∴，∴，故答案为：．（2）证明：如图，延长到，使得．是的中点，，又，

．，．．，．，，．即．又，．．，．2．（2025·北京朝阳·二模）在Rt中，为射线上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，线段与直线相交于点．(1)如图，当时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．(2)若对于任意的点，上一问的结论总成立，写出满足条件的的值，画出相应的图形，并证明．【答案】(1)，证明见解析(2)，图形和证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。（1）连接．由旋转的性质可得．可证明垂直平分，得到．则，证明，则．即可证明．（2）作于点．证明．得到．再证明．得到．证明．得到．则．再证明．即可证明．【详解】（1）解：，证明如下：如图所示，连接．由题意可知，．，∴垂直平分，．．，∴，∴，．．（2）解：．证明如下：如图，作于点．由题意可知，．．，．．．．．，．．．，．．．，．．3．（2025·北京大兴·二模）如图，在中，，，为内一点，，其中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点．(1)求的度数；(2)用等式表示，，的数量关系，并证明．【答案】(1)(2)，见解析【分析】（1）利用证明，即可求得；（2）过点作交于点，求得，再证明，求得，在和中，分别利用勾股定理求解即可．【详解】（1）解：，．即，又，，；（2）解：用等式表示线段，，的数量关系为：，证明：过点作交于点，在中，，，，，，，，，，，，又，，．在中，，，，在中，，，，，，，，即．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．4．（2025·北京石景山·二模）如图，在中，，，是边上一点（不与点，重合），线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．(1)求的度数．(2)如图，连接，是中点，是中点，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（）在上取点，使得，可证，可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而即可求解；（）延长与交于点，连接，，，由等腰直角三角形的性质可得，，，再证明，可证，可得，，即得，即可证明，得到，，即得到为等腰直角三角形，进而即可求证．【详解】（1）解：在上取点，使得，∵线段绕点顺时针旋转得到线段，∴，．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴∴，∴；（2）解：．证明：延长与交于点，连接，，，∵，，是中点，∴，，，∵，∴,∴，∴，∴，，∵是中点，∴，∴，∴，，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴为等腰直角三角形，∵，∴，即．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，正确作出辅助线是解题的关键．5．（2025·北京西城·二模）如图，在中，，，点为边上一点（），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接．(1)求证：平分；(2)若点，，分别为，，的中点，连接，补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．【答案】(1)详见解析(2)，图见解析，证明见解析【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，熟练掌握全等的判定和性质是关键．（1）根据旋转的性质、全等三角形的判定和性质进行证明即可；（2）按照题意补全图形，证明，，．即可得到结论；【详解】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转得到线段，∴，．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴平分．（2）解：补全图形如图所示．线段与之间的数量关系：．证明：在上取点，使得，连接．∵，∴．∵点为的中点，∴．∴，．∴．∵，，∴．∴．∵点为的中点，∴．∴．∵点为的中点，∴．设，，则，．∴．∴．∴．6．（2025·北京丰台·二模）在中，，，是内一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．(1)如图1，当点与点重合时，求证：；(2)如图2，当点在外部时，与交于点，取中点，连接、，直接写出的大小，并证明．【答案】(1)见解析(2)的大小为，见解析【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．（1）根据旋转的性质和等边对等角的性质，得到，进而得出，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；（2）延长至点G，使得，连接、，．证明，从而得到，再根据四边形内角和和邻补角的定义，得到进而证明，再根据等腰三角形三线合一的性质求解即可；【详解】（1）证明：由题意可知，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（2）解：的大小为．证明如下：如图，延长至点G，使得，连接、，．∵是中点，∴．∵，∴．∴，．∴．∴，∵，，∴在四边形中，．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵．∴．∴．7．（2025·北京顺义·二模）如图，在中，，，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．(1)连接，求的大小（用含的代数式表示）；(2)过点作交的延长线于点，连接．①依题意补全图形；②用等式表示线段与的数量关系，并证明．【答案】(1)(2)①见解析；②，证明见解析【分析】（1）过点作于点H，由旋转的性质得：，易证是等腰三角形，进而推出，求出，根据，即可求解；（2）①根据题意补全图形即可；②连接AQ，取AQ中点M，连接MC，MD，证明，再根据证明得，得到，再根据平行线分线段成比例定理可得结论【详解】（1）解：过点作于点H，由旋转的性质得：，∴是等腰三角形，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：①如图所示.②，证明：取中点P，连接，∵，，，又，，，，，∴，∴，∴点中点，．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．添加适当辅助线构造相似三角形是解题的关键．8．（2025·北京密云·二模）如图，在等腰直角三角形中，，是线段上一点（），连接，过点作的垂线，交延长线于点，交延长线于点．(1)依题意补全图形；(2)若，求的大小（用含的式子表示）；(3)若点在线段上，且，连接，用等式表示，，之间的数量关系并证明．【答案】(1)图见解析(2)(3)，理由见解析【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，构造出等腰直角三角形和全等三角形是解本题的关键；（1）根据题意画出图形解答即可；（2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可；（3）如图2，连接交于点，延长交于点，证明，得出，可得，、是等腰直角三角形，即可解答．【详解】（1）解：补全图形，如图1，（2）解：，，，，，，，；（3）解：，理由如下：如图2，连接交于点，延长交于点，，，，，，，，，，，，，，即，，，，、、是等腰直角三角形，∴，，，设，，，，，．9．（2025·北京海淀·二模）在中，为上一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．(1)如图1，若点在线段上，求证：；(2)如图2，若，点关于点的对称点为点，连接．①依题意补全图2；②直接写出的大小，并证明．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②，理由见解析【分析】（1）根据旋转得出，证明，根据等腰三角形判定得出，即可得出答案；（2）①先作出对称点F，再连接即可；②，连接，取的中点，连接，证明，得出，证明．得出四点在以点为圆心，为半径的圆上