代数拓扑中纤维化的同伦群长正合列中连接同态的加减极限

代数拓扑中纤维化的同伦群长正合列中连接同态的加减极限在代数拓扑的研究范畴里，纤维化作为一种核心的拓扑结构，为探索空间的同伦性质搭建起关键桥梁。而纤维化所诱导的同伦群长正合列，更是将不同维数的同伦群以精妙的代数关系串联起来，其中连接同态作为序列中的“纽带”，其性质与行为的研究，对于深入理解纤维化的拓扑内涵具有不可替代的价值。当我们将视角聚焦于连接同态的加减极限时，便踏入了一个融合代数技巧与拓扑直觉的前沿领域，这不仅能为同伦群的计算提供新的思路，更有助于揭示空间在连续形变下的深层规律。一、纤维化与同伦群长正合列的基础回顾（一）纤维化的定义与基本性质纤维化的概念起源于对纤维丛的推广，其核心在于刻画一种具有“同伦提升性质”的连续映射。具体而言，设(p:E\toB)是一个连续映射，若对于任意拓扑空间(X)，任意连续映射(f:X\toE)以及任意同伦(H:X\timesI\toB)满足(H(x,0)=p(f(x)))（其中(I=[0,1])），都存在一个同伦(\widetilde{H}:X\timesI\toE)使得(p(\widetilde{H}(x,t))=H(x,t))且(\widetilde{H}(x,0)=f(x))，则称(p)是一个纤维化。纤维化具有一系列重要的基本性质。例如，纤维化的复合仍然是纤维化，即若(p:E\toB)和(q:B\toC)都是纤维化，则(q\circp:E\toC)也是纤维化。此外，纤维化在同伦等价下保持不变，若(p:E\toB)是纤维化，且(E')与(E)同伦等价，(B')与(B)同伦等价，则存在纤维化(p':E'\toB')与(p)同伦等价。这些性质为纤维化的研究提供了灵活的工具，使得我们可以在同伦等价的框架下对纤维化进行分类和比较。（二）同伦群的定义与基本运算同伦群是代数拓扑中用于衡量空间连通性和“孔洞”性质的代数不变量。对于拓扑空间(X)及其基点(x_0)，(n)维同伦群(\pi_n(X,x_0))定义为所有从(n)维单位球面(S^n)到(X)的保持基点的连续映射的同伦类所构成的集合，在映射的复合运算下构成一个群。同伦群具有丰富的代数结构。当(n\geq1)时，(\pi_n(X,x_0))是一个群，且当(n\geq2)时，(\pi_n(X,x_0))是交换群。同伦群之间存在着各种同态，如同伦映射诱导的同态：若(f:X\toY)是一个保持基点的连续映射，则(f)诱导出同态(f_:\pi_n(X,x_0)\to\pi_n(Y,f(x_0)))，满足(f_([\alpha])=[f\circ\alpha])，其中([\alpha])表示映射(\alpha:S^n\toX)的同伦类。（三）纤维化诱导的同伦群长正合列对于纤维化(p:E\toB)，设(F=p^{-1}(b_0))是(B)中基点(b_0)处的纤维，取(E)中的基点(e_0\inF)，则存在如下的同伦群长正合列：[\cdots\to\pi_n(F,e_0)\xrightarrow{i_}\pi_n(E,e_0)\xrightarrow{p_}\pi_n(B,b_0)\xrightarrow{\partial}\pi_{n-1}(F,e_0)\to\cdots\to\pi_0(E,e_0)\to0]其中(i:F\toE)是包含映射，(i_*)和(p_*)分别是(i)和(p)诱导的同伦群同态，而(\partial)便是连接同态。这个长正合列的正合性意味着每一个同态的像等于下一个同态的核，即(\text{Im}(i_)=\text{Ker}(p_))，(\text{Im}(p_)=\text{Ker}(\partial))，(\text{Im}(\partial)=\text{Ker}(i_))（当(n\geq2)时）。连接同态(\partial)的定义可以通过同伦提升性质来构造。对于([\alpha]\in\pi_n(B,b_0))，其中(\alpha:(D^n,S^{n-1})\to(B,b_0))是一个保持基点的映射（这里(D^n)是(n)维单位圆盘，(S^{n-1})是其边界），利用纤维化的同伦提升性质，将常值同伦(H:D^n\timesI\toB)，其中(H(x,t)=\alpha(x))提升为(\widetilde{H}:D^n\timesI\toE)，使得(\widetilde{H}(x,0)=e_0)。然后，定义(\partial([\alpha])=[\widetilde{H}|{S^{n-1}\times{1}}]\in\pi{n-1}(F,e_0))。二、连接同态的代数性质与拓扑意义（一）连接同态的函子性连接同态具有良好的函子性质，即它与纤维化的映射是相容的。设((p:E\toB,F))和((p':E'\toB',F'))是两个纤维化，若存在连续映射(f:E\toE')和(g:B\toB')使得(p'\circf=g\circp)，且(f(F)\subseteqF')，则诱导出同伦群同态之间的交换图：[\begin{CD}\pi_n(B,b_0)@>{\partial}>>\pi_{n-1}(F,e_0)\@V{g_}VV@V{f_}VV\\pi_n(B',g(b_0))@>{\partial'}>>\pi_{n-1}(F',f(e_0))\end{CD}]这意味着(f_*\circ\partial=\partial'\circg_*)。函子性反映了连接同态在纤维化的变换下保持其代数结构的一致性，是研究连接同态性质的重要基础。（二）连接同态的拓扑解释从拓扑的角度来看，连接同态(\partial)描述了“将(B)中的球面映射提升到(E)后，其边界在纤维(F)中所代表的同伦类”。具体而言，当我们将(B)中的一个(n)维球面(\alpha)提升到(E)中时，由于纤维化的同伦提升性质，我们可以得到一个从(n)维圆盘到(E)的映射，其边界映射到纤维(F)中，这个边界映射所代表的同伦类就是(\partial([\alpha]))。这种拓扑解释为连接同态赋予了直观的几何意义。例如，当(n=1)时，(\pi_1(B,b_0))中的元素是(B)中以(b_0)为基点的环路的同伦类，连接同态(\partial:\pi_1(B,b_0)\to\pi_0(F,e_0))则将一个环路映射到其提升的终点所在的道路连通分支，这反映了纤维在(B)中沿环路移动时的“变化”情况。（三）连接同态与纤维化的同伦不变性连接同态的性质与纤维化的同伦不变性密切相关。若两个纤维化(p:E\toB)和(p':E'\toB)是同伦等价的，即存在连续映射(f:E\toE')和(g:E'\toE)使得(p'\circf\simeqp)且(p\circg\simeqp')，并且(f)和(g)在纤维上的限制也是同伦等价的，则它们诱导的连接同态是同构的。这表明连接同态是纤维化的同伦不变量，即同伦等价的纤维化具有相同的连接同态结构。三、连接同态的加减极限的定义与构造（一）极限与colimit的代数背景在代数拓扑中，极限（limit）和余极限（colimit）是处理代数结构族的重要工具。极限通常用于描述“反向”系统的“公共部分”，而余极限则用于描述“正向”系统的“并合”。对于一个由群和群同态构成的序列({G_n,f_n:G_n\toG_{n+1}})（正向系统），其colimit(\varinjlimG_n)是一个群，它是将所有(G_n)中的元素通过同态(f_n)进行“粘贴”得到的商群。具体而言，(\varinjlimG_n=\left(\bigsqcup_{n}G_n\right)/\sim)，其中等价关系(\sim)定义为：若存在(k\geqn,m)使得(f_{k-1}\circ\cdots\circf_n(g_n)=f_{k-1}\circ\cdots\circf_m(g_m))，则(g_n\simg_m)。而对于反向系统({G_n,f_n:G_{n+1}\toG_n})，其limit(\varprojlimG_n)是所有序列((g_n)\in\prod_{n}G_n)满足(f_n(g_{n+1})=g_n)的集合，在分量运算下构成一个群。（二）连接同态的正向极限构造考虑一个由纤维化构成的正向序列({p_n:E_n\toB_n,i_n:E_n\toE_{n+1},j_n:B_n\toB_{n+1}})，其中(p_{n+1}\circi_n=j_n\circp_n)，即每个纤维化都可以嵌入到下一个纤维化中。对于每个(n)，纤维化(p_n)诱导出连接同态(\partial_n:\pi_k(B_n,b_{n0})\to\pi_{k-1}(F_n,e_{n0}))，其中(F_n=p_n^{-1}(b_{n0}))是(B_n)中基点(b_{n0})处的纤维，(e_{n0}\inF_n)是(E_n)中的基点。由于正向序列的存在，我们可以定义连接同态的正向极限(\varinjlim\partial_n)。首先，群同态(j_n)诱导出同伦群同态((j_n)*:\pi_k(B_n,b{n0})\to\pi_k(B_{n+1},j_n(b_{n0})))，群同态(i_n)诱导出同伦群同态((i_n)*:\pi{k-1}(F_n,e_{n0})\to\pi_{k-1}(F_{n+1},i_n(e_{n0})))（因为(i_n(F_n)\subseteqF_{n+1})）。我们要求这些同态与连接同态是相容的，即((i_n)*\circ\partial_n=\partial{n+1}\circ(j_n)_*)。在这种相容性条件下，连接同态的正向极限(\varinjlim\partial_n:\varinjlim\pi_k(B_n,b_{n0})\to\varinjlim\pi_{k-1}(F_n,e_{n0}))定义为：对于([x]\in\varinjlim\pi_k(B_n,b_{n0}))，其中(x\in\pi_k(B_m,b_{m0}))，令(\varinjlim\partial_n([x])=[\partial_m(x)]\in\varinjlim\pi_{k-1}(F_n,e_{n0}))。可以证明，这个定义是良定的，即不依赖于代表元(x)的选择。（三）连接同态的反向极限构造类似地，对于由纤维化构成的反向序列({p_n:E_n\toB_n,i_n:E_{n+1}\toE_n,j_n:B_{n+1}\toB_n})，其中(p_n\circi_n=j_n\circp_{n+1})，我们可以定义连接同态的反向极限(\varprojlim\partial_n)。每个纤维化(p_n)诱导出连接同态(\partial_n:\pi_k(B_n,b_{n0})\to\pi_{k-1}(F_n,e_{n0}))，其中(F_n=p_n^{-1}(b_{n0}))，(e_{n0}\inF_n)。群同态(j_n)诱导出同伦群同态((j_n)*:\pi_k(B{n+1},b_{(n+1)0})\to\pi_k(B_n,j_n(b_{(n+1)0})))，群同态(i_n)诱导出同伦群同态((i_n)*:\pi{k-1}(F_{n+1},e_{(n+1)0})\to\pi_{k-1}(F_n,i_n(e_{(n+1)0})))。我们要求相容性条件((i_n)*\circ\partial{n+1}=\partial_n\circ(j_n)_*)成立。连接同态的反向极限(\varprojlim\partial_n:\varprojlim\pi_k(B_n,b_{n0})\to\varprojlim\pi_{k-1}(F_n,e_{n0}))定义为：对于((x_n)\in\varprojlim\pi_k(B_n,b_{n0}))，其中(x_n\in\pi_k(B_n,b_{n0}))且((j_n)*(x{n+1})=x_n)，令(\varprojlim\partial_n((x_n))=(\partial_n(x_n))\in\varprojlim\pi_{k-1}(F_n,e_{n0}))。由于相容性条件，((i_n)*(\partial{n+1}(x_{n+1}))=\partial_n((j_n)*(x{n+1}))=\partial_n(x_n))，所以((\partial_n(x_n)))确实属于反向极限(\varprojlim\pi_{k-1}(F_n,e_{n0}))。四、连接同态的加减极限的性质研究（一）正合性的保持与破坏在代数拓扑中，正合性是同伦群长正合列的核心性质之一，而连接同态的加减极限是否保持正合性是一个值得深入探讨的问题。对于正向极限，在一定条件下，连接同态的正向极限可以保持正合性。具体而言，若正向系统({G_n,f_n})中的同态(f_n)都是单同态，那么正向极限(\varinjlimG_n)与原系统的正合性具有良好的相容性。考虑由纤维化正向序列诱导的同伦群长正合列构成的正向系统：[\cdots\to\pi_n(F_n)\xrightarrow{(i_n)*}\pi_n(E_n)\xrightarrow{(p_n)}\pi_n(B_n)\xrightarrow{\partial_n}\pi_{n-1}(F_n)\to\cdots]假设对于每个(n)，同态((i_n)_)都是单同态，那么其正向极限(\varinjlim(i_n)*:\varinjlim\pi_n(F_n)\to\varinjlim\pi_n(E_n))也是单同态。此时，连接同态的正向极限(\varinjlim\partial_n)所参与的序列：[\varinjlim\pi_n(E_n)\xrightarrow{\varinjlim(p_n)}\varinjlim\pi_n(B_n)\xrightarrow{\varinjlim\partial_n}\varinjlim\pi_{n-1}(F_n)]仍然保持正合性，即(\text{Im}(\varinjlim(p_n)_)=\text{Ker}(\varinjlim\partial_n))。这是因为正向极限与正向系统的正合性在一定条件下是可交换的，当同态都是单同态时，正向极限能够“继承”原系统的正合性。然而，当同态不是单同态时，正向极限可能会破坏正合性。例如，考虑一个由群构成的正向序列(0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{2}\mathbb{Z}\xrightarrow{2}\mathbb{Z}\to\cdots)，其中每个同态都是乘以2的映射。这个序列在每个位置都是正合的，但它的正向极限是(\mathbb{Z}[1/2]/\mathbb{Z})（即有理数群中分母为2的幂次的子群模整数群），而原序列的正合性在正向极限中不再保持，因为(\varinjlim\mathbb{Z}\xrightarrow{\varinjlim2}\varinjlim\mathbb{Z})的像不再是核。对于反向极限，情况则更为复杂。反向极限一般不保持正合性，这是因为反向极限是一种“限制”操作，它要求序列中的元素满足相容条件，这可能会导致一些正合性的丢失。例如，考虑由群构成的反向序列(\mathbb{Z}\xleftarrow{2}\mathbb{Z}\xleftarrow{2}\mathbb{Z}\xleftarrow{}\cdots)，这个序列在每个位置都是正合的，但它的反向极限是(\mathbb{Z}_2)（2进整数群），而原序列的正合性在反向极限中也不再保持。（二）函子性的传递连接同态的加减极限同样具有函子性，即它与纤维化之间的映射是相容的。对于纤维化的正向序列之间的映射({f_n:E_n\toE'_n,g_n:B_n\toB'n})，满足(p'n\circf_n=g_n\circp_n)，并且这些映射与正向序列的结构相容，即(f{n+1}\circi_n=i'n\circf_n)，(g{n+1}\circj_n=j'n\circg_n)，其中(i_n:E_n\toE{n+1})，(j_n:B_n\toB{n+1})是正向序列中的嵌入映射，(i'_n:E'n\toE'{n+1})，(j'_n:B'n\toB'{n+1})是另一个正向序列中的嵌入映射。此时，这些映射诱导出同伦群同态((f_n):\pi_k(E_n)\to\pi_k(E'n))，((g_n):\pi_k(B_n)\to\pi_k(B'n))，((f_n|{F_n}):\pi_{k-1}(F_n)\to\pi_{k-1}(F'n))（其中(F_n=p_n^{-1}(b{n0}))，(F'n=p'n^{-1}(g_n(b{n0})))），并且满足相容性条件((f_n|{F_n})_\circ\partial_n=\partial'n\circ(g_n)*)。那么，连接同态的正向极限(\varinjlim\partial_n)和(\varinjlim\partial'n)之间存在如下的交换图：[\begin{CD}\varinjlim\pi_k(B_n)@>{\varinjlim\partial_n}>>\varinjlim\pi{k-1}(F_n)\@V{\varinjlim(g_n)*}VV@V{\varinjlim(f_n|{F_n})_}VV\\varinjlim\pi_k(B'n)@>{\varinjlim\partial'n}>>\varinjlim\pi{k-1}(F'n)\end{CD}]即(\varinjlim(f_n|{F_n})\circ\varinjlim\partial_n=\varinjlim\partial'n\circ\varinjlim(g_n)*)，这表明连接同态的正向极限具有函子性。对于反向极限，类似地，若存在纤维化反向序列之间的映射({f_n:E_n\toE'_n,g_n:B_n\toB'n})，满足相应的相容性条件，则连接同态的反向极限(\varprojlim\partial_n)和(\varprojlim\partial'n)之间也存在交换图，即(\varprojlim(f_n|{F_n})*\circ\varprojlim\partial_n=\varprojlim\partial'n\circ\varprojlim(g_n)*)，这体现了反向极限的函子性。（三）与同伦群极限的关系连接同态的加减极限与同伦群的极限之间存在着紧密的联系。一方面，连接同态的极限是定义在同伦群的极限之上的，它是同伦群极限之间的同态。另一方面，连接同态的极限的性质受到同伦群极限的性质的影响。对于正向极限，同伦群的正向极限(\varinjlim\pi_k(B_n))可以看作是“所有(\pi_k(B_n))在同态((j_n)*)下的并合”，它反映了同伦群在正向序列中的“增长”情况。连接同态的正向极限(\varinjlim\partial_n)则将这种“增长”传递到纤维的同伦群的正向极限(\varinjlim\pi{k-1}(F_n))中。当同伦群的正向极限是一个自由群时，连接同态的正向极限的结构相对简单，因为自由群的同态可以通过其生成元来刻画。例如，若(\varinjlim\pi_k(B_n))是一个自由群，其生成元为({[x_m]})，其中([x_m]\in\pi_k(B_{n_m}))，则(\varinjlim\partial_n([x_m])=[\partial_{n_m}(x_m)])，这些元素生成了(\varinjlim\partial_n)的像。对于反向极限，同伦群的反向极限(\varprojlim\pi_k(B_n))是所有满足相容条件的序列((x_n))的集合，它反映了同伦群在反向序列中的“公共部分”。连接同态的反向极限(\varprojlim\partial_n)则将这些“公共部分”映射到纤维同伦群的反向极限(\varprojlim\pi_{k-1}(F_n))中。同伦群的反向极限可能会出现“挠元”等复杂情况，这会影响连接同态的反向极限的性质。例如，若(\varprojlim\pi_k(B_n))中存在一个元素((x_n))，使得对于每个(n)，(x_n)是(\pi_k(B_n))中的挠元，即存在正整数(m_n)使得(m_nx_n=0)，那么(\varprojlim\partial_n((x_n))=(\partial_n(x_n)))也可能是(\varprojlim\pi_{k-1}(F_n))中的挠元。五、连接同态的加减极限的计算方法与实例分析（一）基于同伦群计算的直接方法计算连接同态的加减极限的一种直接方法是先计算每个连接同态(\partial_n)，然后再计算其极限。这种方法依赖于同伦群的计算技巧，如同伦群的正合列、Hurewicz定理、覆盖空间等。例如，考虑纤维化正向序列({p_n:S^{2n+1}\to\mathbb{CP}^n})，其中(p_n)是从(2n+1)维球面到(n)维复射影空间的Hopf纤维化，其纤维是(S^1)。对于每个(n)，Hopf纤维化诱导的同伦群长正合列的一部分为：[\pi_2(S^{2n+1})\xrightarrow{(i_n)*}\pi_2(\mathbb{CP}^n)\xrightarrow{(p_n)*}\pi_2(S^1)\xrightarrow{\partial_n}\pi_1(S^{2n+1})]由于(\pi_2(S^{2n+1})=0)（当(n\geq1)时，球面的同伦群(\pi_k(S^m)=0)当(k<m)），(\pi_2(S^1)=0)，(\pi_1(S^{2n+1})=0)，根据正合性可知(\pi_2(\mathbb{CP}^n)\cong\mathbb{Z})，且连接同态(\partial_n=0)。那么，连接同态的正向极限(\varinjlim\partial_n=0)，因为每个(\partial_n=0)，其正向极限自然也是零同态。再考虑一个更复杂的例子，纤维化正向序列({p_n:E_n\toB_n})，其中(B_n=S^1\timesS^n)，(E_n=S^1\timesS^n\timesS^1)，(p_n(e,x,y)=(e,x))，即纤维是(S^1)。对于每个(n)，同伦群(\pi_1(B_n)=\pi_1(S^1)\times\pi_1(S^n)=\mathbb{Z}\times0=\mathbb{Z})（当(n\geq2)时，(\pi_1(S^n)=0)），(\pi_0(F_n)=\pi_0(S^1)=0)（因为(S^1)是道路连通的），所以连接同态(\partial_n:\pi_1(B_n)\to\pi_0(F_n))是零同态。因此，连接同态的正向极限(\varinjlim\partial_n=0)。（二）利用谱序列的间接方法谱序列是代数拓扑中一种强大的计算工具，它可以将复杂的同伦群计算转化为一系列低维的代数运算。对于纤维化的正向或反向序列，我们可以构造相应的谱序列，通过谱序列的收敛性来计算连接同态的加减极限。对于纤维化正向序列({p_n:E_n\toB_n})，我们可以构造一个正向系统的谱序列({E^r_n,d^r_n})，其中(E^2_n=H_p(B_n;\pi_q(F_n)))是系数为纤维同伦群的奇异上同调群，微分(d^r_n)是谱序列中的微分映射。这个谱序列收敛到同伦群的正向极限(\varinjlim\pi_{p+q}(E_n))。连接同态(\partial_n)与谱序列中的微分(d^2_n)密切相关，因为(d^2_n:E^2_{p,q}\toE^2_{p-2,q+1})实际上是由连接同态诱导的。通过分析谱序列的收敛过程，我们可以得到同伦群正向极限之间的关系，进而计算连接同态的正向极限(\varinjlim\partial_n)。例如，考虑纤维化正向序列({p_n:\mathbb{R}P^{2n+1}\to\mathbb{R}P^{2n}})，其中(p_n)是从(2n+1)维实射影空间到(2n)维实射影空间的纤维化，其纤维是(S^1)。利用实射影空间的同伦群性质和谱序列，可以计算出连接同态的正向极限。（三）典型纤维化序列的连接同态极限实例球面纤维化序列考虑球面纤维化正向序列({p_n:S^{n+k}\to\mathbb{HP}^n})，其中(p_n)是从(n+k)维球面到(n)维四元数射影空间的Hopf纤维化，其纤维是(S^3)（当(k=3)时）。对于每个(n)，同伦群长正合列的一部分为：[\pi_4(S^{n+3})\xrightarrow{(i_n)*}\pi_4(\mathbb{HP}^n)\xrightarrow{(p_n)}\pi_4(S^3)\xrightarrow{\partial_n}\pi_3(S^{n+3})]当(n\geq1)时，(\pi_4(S^{n+3})=0)（因为(4<n+3)），(\pi_3(S^{n+3})=0)（因为(3<n+3)），而(\pi_4(S^3)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})（这是球面同伦群中的一个经典结果）。根据正合性可知(\pi_4(\mathbb{HP}^n)\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})，且连接同态(\partial_n)是一个同构，因为(\text{Im}((p_n)_)=\text{Ker}(\partial_n)=0)，(\text{Im}(\partial_n)=\text{Ker}((i_n)_*)=\pi_3(S^{n+3})=0)不成立，实际上由于(\pi_3(S^{n+3})=0)，所以(\partial_n)是满同态，又因为(\pi_4(S^3))和(\pi_3(S^{n+3}))的阶相同（当(n\geq1)时，(\pi_3(S^{n+3})=0)不对，实际上当(n\geq1)时，(\pi_3(S^{n+3})=\mathbb{Z})当(n+3=3)即(n=0)，当(n\geq1)时，(\pi_3(S^{n+3})=0)是错误的，正确的是(\pi_k(S^m)=0)当(k<m)，当(k=m)时(\pi_m(S^m)=\mathbb{Z})，当(k>m)时，(\pi_k(S^m))是一个有限群或无限群，对于(\pi_4(S^3)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})，(\pi_3(S^4)=0)）。当(n\geq1)时，(\pi_3(S^{n+3})=0)，所以(\partial_n:\pi_4(S^3)\to\pi_3(S^{n+3}))是零同态，因为(\pi_3(S^{n+3})=0)。而(\pi_4(\mathbb{HP}^n)\cong\text{Coker}((i_n)*)=\pi_4(S^{n+3})/\text{Im}((i_n))=0/0=0)不对，实际上根据正合性(\text{Ker}(p_)=\text{Im}(i_)=0)，所以(p_)是单同态，(\text{Im}(p_)=\pi_4(\mathbb{HP}^n))，(\text{Ker}(\partial)=\text{Im}(p_)=\pi_4(\mathbb{HP}^n))，而(\partial:\pi_4(S^3)\to\pi_3(S^{n+3})=0)，所以(\text{Ker}(\partial)=\pi_4(S^3))，因此(\pi_4(\mathbb{HP}^n)\cong\pi_4(S^3)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})，连接同态(\partial_n=0)。那么，连接同态的正向极限(\varinjlim\partial_n=0)，因为每个(\partial_n=0)。环面纤维化序列考虑环面纤维化正向序列({p_n:T^{n+1}\toT^n})，其中(T^n=S^1\times\cdots\timesS^1)（(n)个(S^1)的乘积）是(n)维环面，(p_n)是投影映射，将(T^{n+1})中的最后一个(S^1)投影掉，其纤维是(S^1)。对于每个(n)，同伦群(\pi_1(T^n)=\mathbb{Z}^n)，(\pi_1(T^{n+1})=\mathbb{Z}^{n+1})，连接同态(\partial_n:\pi_1(T^n)\to\pi_0(S^1)=0)，因为(S^1)是道路连通的，所以(\pi_0(S^1)=0)。因此，连接同态的正向极限(\varinjlim\partial_n=0)。而对于(n\geq2)，同伦群(\pi_n(T^m)=0)（因为环面是可缩空间的乘积，其高维同伦群为零），所以连接同态(\partial_n:\pi_n(T^n)\to\pi_{n-1}(S^1)=0)（因为(n-1\geq1)时，(\pi_{n-1}(S^1)=0)当(n-1\geq2)，(\pi_1(S^1)=\mathbb{Z})）。当(n=2)时，(\partial_2:\pi_2(T^2)=0\to\pi_1(S^1)=\mathbb{Z})是零同态。所以，所有连接同态(\partial_n)都是零同态，其正向极限也是零同态。六、连接同态的加减极限的应用与拓展（一）在同伦群计算中的应用连接同态的加减极限为同伦群的计算提供了新的途径。当我们需要计算一个复杂空间的同伦群时，可以将其表示为某个纤维化序列的极限，然后通过计算连接同态的极限来获取同伦群之间的关系。例如，对于无限维复射影空间(\mathbb{CP}^{\infty})，它可以看作是有限维复射影空间正向序列(\mathbb{CP}^1\to\mathbb{CP}^2\to\cdots)的正向极限。每个(\mathbb{CP}^n)都可以通过Hopf纤维化(p_n:S^{2n+1}\to\mathbb{CP}^n)与球面联系起来，其连接同态(\partial_n)具有一定的规律。通过计算连接同态的正向极限(\varinjlim\partial_n)，我们可以得到(\mathbb{CP}^{\infty})的同伦群与球面同伦群之间的关系，进而计算出(\mathbb{