天津第二中学2026-2027学年高二年级上学期假期知识阶段性回顾数学试卷（含解析）

2026—2027（一）天津二中高二年级假期知识阶段性回顾数学学科试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，且，则（）A. B.{2} C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集和补集的定义可求.【详解】，由题设有，故，故选：C.2.设，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先求解两个不等式对应的集合，再根据充分条件与必要条件的概念判断即可.【详解】由不等式得，其解集为，由不等式得，即，其解集为，由于为的真子集，所以是的必要不充分条件.3.已知,,,则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】容易得出，，，从而得出的大小关系.【详解】解：，且，则；；，故，故选：C.本题考查指数式，对数式的大小比较，考查函数单调性的应用，是基础题.4.函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的单调性、值域排除选项可得到结果．【详解】由函数，可得函数在上单调递增，且此时函数值大于1；在上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零，结合所给的选项，只有B项满足条件，故选：B．5.设，向量且，则（）A. B. C. D.10【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直、平行列方程，求得，进而求得正确答案.【详解】由于，所以，解得，所以，所以.故选：C6.如图，在正方体中，给出以下四个结论：①平面②与平面相交③平面④平面平面正确的结论的序号是（）A.①② B.③④ C.①④ D.②③【答案】C【解析】【详解】对于①，因为平面平面，而平面，所以平面，故①正确；对于②，因为，则与确定一个平面，所以平面，故②错误；对于③，与平面内的直线不垂直，故③错误；对于④，在正方体中，得平面，而平面，所以平面平面，故④正确.7.某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.频率分布直方图中的值为0.004B.估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在内的学生人数为160【答案】B【解析】【分析】根据所有矩形的面积和为1求出，然后逐一判断即可.【详解】由可得，故A错误前三个矩形的面积和为，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B正确这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C错误总体中成绩落在内的学生人数为，故D错误故选：B8.某兴趣小组有3名男生和2名女生，现从中选2人参加公益活动，则至少选中一名女生的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题知从此兴趣小组中任选2人参加公益活动共有个结果，至少选中一名女生有个结果，由此能求出至少选中一名女生的概率.【详解】由题知从此兴趣小组中任选2人参加公益活动共有个结果，至少选中一名女生有个结果，所以至少选中一名女生的概率为.故选：C本题主要考查了组合的应用，古典概率的计算，考查了学生分类讨论的思想.9.已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②在上单调递增；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是（）A.① B.①② C.②③ D.①②③【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的图象及性质逐一判断即可求解.【详解】对于①，的最小正周期为，故①正确；对于②，因为，所以，由正弦函数的图像可知，在上单调递增，故②正确；对于③，函数的图象上所有点向左平移个单位长度，则，而，故③错，故选：.10.已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别作出函数，的图象，分、、和四种情况讨论，结合函数图象分析交点个数即可得解.【详解】分别作出函数，的图象，如图所示，令，则即为，若，则方程没有根，不合题意；若，则方程有且仅有1个根，即，可知方程有且仅有2个不相等根，不合题意；若，则方程有2个不相等实根，，方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根，所以方程有4个不相等实根，不合题意；若，则方程有3个不相等实根，，，方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根，由题意可知方程有且仅有2个不相等实根，则或，可得；综上所述：实数的取值范围是.二、填空题：本大题共10个小题，每空4分，共40分．答案填在题中横线上．11.已知是虚数单位，化简的结果为_______．【答案】##【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出．【详解】．故答案为：．12.函数的定义域为________．【答案】【解析】【分析】偶次根式被开方数不为负数，分母不为0，真数大于0，根据这些条件列出的不等式组，则此不等式组的解就是函数的定义域．【详解】要使函数有意义所以解得函数的定义域为．13.已知为角终边上一点，则____________．【答案】1【解析】【详解】因为为角终边上一点，所以，所以.14.已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则___________.【答案】1【解析】【详解】试题分析：∵，∴，又∵，分别是定义在上的偶函数和奇函数，∴，，∴，∴．考点：函数的奇偶性．15.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】利用对数的运算公式法则和换底公式计算.【详解】因为，所以，所以，所以．故答案为：16.正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为________．【答案】【解析】【详解】试题分析：因为正三棱柱的底面边长为，侧棱长为为中点，所以底面的面积为，到平面的距离为就是底面正三角形的高，所以三棱锥的体积为．考点：几何体的体积的计算．17.已知，，，则的最小值为__________．【答案】【解析】【详解】由得,故.18.如图，正四棱柱中，，若直线与直线所成的角为，则直线与平面所成的角为____________．【答案】##【解析】【分析】作出辅助线，结合线面垂直，找到异面直线夹角和线面角，结合边长得到答案.【详解】连接，设与相交于点，因为，所以即为直线与直线所成角，故，因该几何体为正四棱柱，则，,则，故为等边三角形，所以，连接，易得⊥，因平面，平面，则⊥，又，平面，所以⊥平面，所以即为直线与平面所成的角，因为，，所以，故，即直线与平面所成角的大小为19.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，．则____________．【答案】【解析】【分析】设参数表示边长，利用余弦定理即可求解出边长和，再利用余弦定理求出，最后求出即可.【详解】在中，令，，，由余弦定理得，即，解得，则，由余弦定理得，而，所以.20.如图，在中，，，为上一点，且满足，则____________；若，则的最小值为____________．【答案】①.##②.【解析】【分析】由，得，把改写为的线性组合，利用C，P，D三点共线，则系数之和为1，求出；对平方展开，代入得到表达式；再用基本不等式，求出的最小值，开方得到模长最小值.【详解】因为，所以，所以，因为三点共线，由向量三点共线结论：若，则，所以，所以；所以，因为，所以，得，因为，所以，由基本不等式，，当且仅当，即时取等号，所以，所以，即的最小值为.三、解答题：本大题共2个小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.已知．（1）求最小正周期；（2）若，求的最大值和最小值；（3）若，，求．【答案】（1）（2）最大值为，最小值为（3）【解析】【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解；（2）利用换元法，结合正弦函数性质求解；（3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解.【小问1详解】；【小问2详解】若，则，由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即，当，即时，函数有最大值，即.所以函数的最大值为，最小值为；【小问3详解】若，，所以，则，，则.22.在中，角所对的边分别为，且．（1）求的值；（2）已知．（i）若的外接圆半径为，，求的值；（ii）求的值．【答案】（1）（2）（i），；（ii）【解析】【分析】（1）借助余弦定理计算即可