2026年中考二轮复习之填空题复习14：《特殊的平行线》（学生版+教师版合并）

2026年中考第二轮复习填空题专题14.特殊的平行线本课题是中考数学填空题几何模块的核心必考、高频拉分考点，全国各省市中考卷固定考查1-2题，分值稳定在3-6分，是二轮复习中衔接平行四边形基础与几何综合压轴的关键枢纽。一、题型特点一、题型特点命题梯度精准分层，适配二轮复习进阶需求题目严格形成三级梯度，完全匹配中考填空题命题逻辑：①基础保分层，聚焦矩形、菱形、正方形的基础性质、面积计算、角度求解，是全员必拿的保底分；②中档提分层，深度融合折叠变换、尺规作图、勾股定理、三角形全等/相似、锐角三角函数、三角形中位线，是二轮复习的核心突破重点，也是学生失分的重灾区；③压轴拉分层，绑定动点最值、函数最值、规律探究、多结论综合判断，是中考填空题的核心拉分点，侧重考查学生的几何综合推理与数学运算素养。考点融合性极强，核心载体高度聚焦100%的题目围绕矩形、菱形、正方形的边、角、对角线三大核心性质命题，超90%的题目实现跨模块融合，摒弃纯概念考查，高频绑定6大核心考点：折叠全等变换（占比最高，超40%）、勾股定理与方程思想、正方形半角模型、菱形对角线的垂直平分性质、矩形的直角与斜边中线定理、平面直角坐标系与一次函数，完全贴合中考“重综合、强关联”的命题趋势。模型化命题特征显著，可实现填空题快速破题超85%的题目围绕中考5大必考几何模型命题，形成固定解题路径与结论：①矩形折叠勾股方程模型；②正方形45°半角模型；③菱形对角线等腰三角形模型；④一线三垂直全等/相似模型；⑤中点四边形模型。二轮复习可通过模型识别，实现“见题识型、结论秒解”，大幅缩短填空题解题时间。填空题专属命题特征：重细节、强分类、无提示与选择题不同，本课时填空题无选项提示，命题人高频设置无图多解题、动点范围限定题、多结论判断题，侧重考查学生思维的严谨性，区分度集中在细节把控与分类讨论能力，极易出现“会做但拿不到分”的隐性失分，完全符合中考填空题“重基础、考细节、辨思维”的命题特点。规律探究与最值题成固定压轴题型填空题压轴题固定以两大形式呈现：一是特殊平行四边形与一次函数结合的循环规律探究题，侧重考查周期规律与等比数列通项；二是动点背景下的线段/面积最值题，侧重考查二次函数最值、将军饮马、圆的轨迹最值，是二轮复习中尖子生的核心突破点。二二、答题要点（一）核心通用答题要点筑牢三大图形的性质根基，锁定破题核心矩形核心：牢记“四个内角为直角、对角线相等且互相平分”，延伸结论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，矩形对角线分割出4个等腰三角形；菱形核心：紧扣“四条边相等、对角线互相垂直且平分每一组内角”，延伸结论：菱形面积=对角线乘积的一半，对角线分割出4个全等的直角三角形；正方形核心：兼具矩形与菱形的双重性质，四个角为直角、四边相等、对角线相等且垂直平分，对角线与边的夹角固定为45°，是全等三角形构造的核心载体。强化方程思想，填空题核心解题工具遇折叠、动点求线段长的题目，优先设未知数，利用勾股定理、相似三角形对应边成比例列方程求解，这是本课时填空题最核心、最常用的解题方法，90%的折叠题、线段计算题均可通过此方法破题。审题必圈画关键信息，规避填空题无提示失分填空题审题必须圈画核心限定词：动点运动范围（不与端点重合/在射线/直线上）、无图题、“正确/错误的结论有”、单位、角度/边长的限定条件，避免漏看条件导致破题方向错误，杜绝会做但拿不到分的低级失误。（二）分题型精准答题要点基础性质题：直接套用核心性质，秒解保分角度计算题：矩形遇对角线直接用等腰三角形等角转换，菱形遇对角线直接用垂直平分内角的性质，正方形直接用45°固定角转换；面积计算题：菱形优先用“对角线乘积的一半”，矩形/正方形用底乘高，遇中点直接用三角形中线平分面积的结论。折叠变换题：抓全等+勾股，两步破题第一步：锁定折叠前后的对应边相等、对应角相等，找到全等三角形，标注相等的线段与角度；第二步：在直角三角形中，设未知数表示三边，利用勾股定理列方程求解，尤其注意矩形折叠后，点落在边上/对角线/延长线上的不同情况，精准定位直角三角形。正方形半角模型题：直接套用固定结论，简化推导遇正方形内∠MAN=45°，直接套用核心结论：①MN=BM+DN；②△CMN的周长=2倍正方形边长；③AE=AB（AE⊥MN），无需重复推导全等，快速判断结论与计算线段长。动点最值题：先定轨迹，再求最值线段最值题：先判断动点轨迹，若为定角对定边，轨迹为圆弧；若为直线运动，用将军饮马、垂线段最短求解；面积最值题：设动点对应的线段长为x，将面积表示为x的二次函数，通过二次函数顶点式求最值，注意自变量的取值范围。规律探究题：先找周期，再算通项先计算前3-4次变换后的坐标/边长，找到循环周期，再用总次数除以周期，通过余数定位对应位置，结合等比/等差数列通项公式求解，尤其注意正方形/矩形在坐标系中滚动的方向与坐标变换规律。多结论判断题：先易后难+排除法，高效破题先验证最容易证明的结论，锁定错误结论直接排除，无需逐一证明全部结论，尤其注意结论中的“一定/都/恒成立”等绝对化表述，通过举反例快速判断。（三）填空题专属秒杀技巧特值法：遇动点题、定值题，取端点、中点等特殊位置代入验证，快速求出定值，无需严谨推导；模型秒解法：识别核心模型后，直接套用固定结论，跳过推导过程，实现10秒破题；数形结合法：无图题先画精准图形，通过几何直观快速定位多解情况，避免漏解。三三、避坑指南（一）概念性避坑：杜绝基础题零分严防特殊平行四边形的判定前提遗漏高频易错点：①忽略“平行四边形”的大前提，直接用“对角线相等的四边形是矩形”“对角线垂直的四边形是菱形”判定，正确结论必须以平行四边形为前提；②混淆矩形与菱形的判定，错用“对角线垂直的平行四边形是矩形”“对角线相等的平行四边形是菱形”；③误将正方形的判定条件放宽，忽略“既是矩形又是菱形”的双重要求。严防核心性质混淆误用高频易错点：①菱形面积公式误用，错用“邻边相乘”代替“对角线乘积的一半”；②矩形对角线性质误用，错认为矩形对角线互相垂直；③正方形对角线与边的夹角记错，误写为30°/60°，正确为45°；④混淆三角形中位线与中线，在中点题中错用性质。严防模型结论死记硬背、错用乱用高频易错点：正方形半角模型结论误用；折叠模型中，错认为折叠后对应点一定落在边上，忽略落在延长线、对角线上的情况。（二）审题性避坑：杜绝非知识性失分严防无图题漏解，分类讨论不全面高频易错点：题干无图的题目，如“点E在直线AD上”“点F在射线DP上”，学生极易只考虑线段上的情况，忽略直线/射线上的多解情况，导致答案漏写。严防设问看错、限定词漏看高频易错点：①多结论题中，题干要求选“正确的结论”，学生误选错误的；②动点题中，忽略“不与端点重合”的限定，导致最值取值范围错误；③单位不统一，题干为cm，答案写m。（三）计算性避坑：杜绝会做做不对严防勾股定理计算错误高频易错点：勾股定理中平方、开方计算失误；折叠题中设未知数后，方程列对但解错，是本课时最常见的计算失分点。严防锐角三角函数值记错、比例式列错高频易错点：sin、cos、tan的定义混淆，对边与邻边搞反；相似三角形对应顶点错位，导致比例式列错，最终线段长计算错误。严防二次函数最值计算错误面积最值题中，二次函数顶点式配方错误，顶点坐标算错，忽略自变量的取值范围，导致最值求解错误，如第30题△DEF的面积最大值，配方错误会直接导致结论判断失误。（四）逻辑推理避坑：杜绝中档题、压轴题失分严防全等/相似三角形的判定条件不足高频易错点：证明三角形全等时，错用SSA判定；证明相似时，仅找到一组角相等，无第二组条件就判定相似，导致推导逻辑断裂，结论错误。严防多结论题中，“不能证伪就认为是对的”高频易错点：多结论题中，对无法快速证明的结论，直接默认为正确，不通过举反例证伪。严防动点轨迹判断错误最值题中，错判动点的运动轨迹，把圆弧轨迹当成直线轨迹，或反之，导致最值求解完全错误。四四、真题练习1.（25-26·河北模拟）如图，四边形ABCD是矩形，△ADG是正三角形，点F是GD的中点，点P是矩形ABCD内一点，且△PBC是以BC为底的等腰三角形，则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是____________．

2.（24-25·甘肃模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OB，OA分别在x轴、y轴正半轴上，点D在BC边上，将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的点E处．若OA=8，OB=10，则点D的坐标是

．

3.（24-25·湖北模拟）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是

．

4.（24-25·四川模拟）在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点E在直线AD上，且DE=2cm，则点E到矩形对角线所在直线的距离是___________cm．5.（25-26·天津模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E在边BC上，且EC=2BE．

(1)线段AE的长为________________；

(2)F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN=75∘，则线段MN的长为_________________．

6.（25-26·辽宁模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6，点E、F分别是边AD、CD上的动点，连接BE、EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是___________．

7.（24-25·浙江中考）如图，矩形ABCD内接于⊙O,E是AD⌢上一点，连接EB,EC分别交AD于点F,G．若AF=1,EG=FG=3，则⊙O的直径为______________．

8.（24-25·山东中考）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a=6，b=4，则矩形ABCD的面积是____________．

9.（24-25·四川中考）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF // BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上的点M处．若A、M、E三点共线，则ADDC的值为____________．

10.（24-25·江苏模拟）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：

，使四边形ABCD成为菱形．

11.（24-25·黑龙江中考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，请添加一个条件_____________，使平行四边形ABCD为菱形．

12.（25-26·江苏模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则∠ADC的度数是____________．

13.（24-25·湖北模拟）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=40∘，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是

．

14.（25-26·辽宁模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12，点E在线段OA上，AE=2，点F在线段OC上，OF=1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为__________．

15.（25-26·全国模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=45，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF=3，则EF的长为____________．

16.（25-26·河南模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60∘，对角线AC=6cm．点M从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以3cm/s的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN，DM交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为____________m．

17.（25-26·浙江模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC．以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG=12，GF=5，则DF的长度为______________，EH的长度为____________．

18.（24-25·云南中考）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O．若AC=6，BD=5，则菱形ABCD的面积是__________．

19.（25-26·福建模拟）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E，F．若OA=2,OD=1，则△AOE与△DOF的面积之和为___________．

20.（25-26·山东模拟）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90∘得到△CBF．若∠ABE=55∘，则∠EGC=____________度．

21.（24-25·四川模拟）（3分）如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，AC=2．点P在边AC上，过点P作PD⊥AB，垂足为D，过点D作DF⊥BC，垂足为F．连接PF，取PF的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为_______________．

22.（24-25·山东中考）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为(3,0)，△OAB是等边三角形，点B坐标是(1,0)，△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M→⋯）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是(2,0)；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是(2,0)；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是3−23.（24-25·江苏中考）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则EF⌢的长度为__________（结果保留π）．

24.（24-25·广东模拟）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（见图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为

dm2．

25.（23-24·四川中考）如图，正方形ABCD的边长为1,M，N分别是边BC,CD上的动点．若∠MAN=45∘,则MN的最小值为

．

26.（23-24·江西中考）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan∠CAB=__________．

27.（25-26·山东模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点．连接EF．若∠FEO=45∘，则EFBC的值为_________．

28.（24-25·吉林中考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E在线段OA上．连接BE，作CF⊥BE于点F，交OB于点P．给出下面四个结论：

①∠OCP=∠OBE；

②OE=OP；

③当CE=CB时，BP=EF；

④点A与点F之间的距离的最小值为25−2．

上述结论中，正确结论的序号有____________．

29.（24-25·全国中考）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+3交x轴于点A，交y轴于点B．四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，A3A4B4C4，⋯都是正方形，顶点A1，A2，A3，A4，⋯都在x轴上，顶点B1，B2，B3，B4，⋯都在直线y=−12x+3上，连接BA1，B1A2，B2A3，30.（24-25·四川中考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP=45∘，点F在射线DP上，且AE:DF=1:2，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论：①sin∠BFE=22；②AE2+CG2=EG2；③△DEF的面积最大值是

2026年中考第二轮复习填空题专题14.特殊的平行线本课题是中考数学填空题几何模块的核心必考、高频拉分考点，全国各省市中考卷固定考查1-2题，分值稳定在3-6分，是二轮复习中衔接平行四边形基础与几何综合压轴的关键枢纽。一、题型特点一、题型特点命题梯度精准分层，适配二轮复习进阶需求题目严格形成三级梯度，完全匹配中考填空题命题逻辑：①基础保分层，聚焦矩形、菱形、正方形的基础性质、面积计算、角度求解，是全员必拿的保底分；②中档提分层，深度融合折叠变换、尺规作图、勾股定理、三角形全等/相似、锐角三角函数、三角形中位线，是二轮复习的核心突破重点，也是学生失分的重灾区；③压轴拉分层，绑定动点最值、函数最值、规律探究、多结论综合判断，是中考填空题的核心拉分点，侧重考查学生的几何综合推理与数学运算素养。考点融合性极强，核心载体高度聚焦100%的题目围绕矩形、菱形、正方形的边、角、对角线三大核心性质命题，超90%的题目实现跨模块融合，摒弃纯概念考查，高频绑定6大核心考点：折叠全等变换（占比最高，超40%）、勾股定理与方程思想、正方形半角模型、菱形对角线的垂直平分性质、矩形的直角与斜边中线定理、平面直角坐标系与一次函数，完全贴合中考“重综合、强关联”的命题趋势。模型化命题特征显著，可实现填空题快速破题超85%的题目围绕中考5大必考几何模型命题，形成固定解题路径与结论：①矩形折叠勾股方程模型；②正方形45°半角模型；③菱形对角线等腰三角形模型；④一线三垂直全等/相似模型；⑤中点四边形模型。二轮复习可通过模型识别，实现“见题识型、结论秒解”，大幅缩短填空题解题时间。填空题专属命题特征：重细节、强分类、无提示与选择题不同，本课时填空题无选项提示，命题人高频设置无图多解题、动点范围限定题、多结论判断题，侧重考查学生思维的严谨性，区分度集中在细节把控与分类讨论能力，极易出现“会做但拿不到分”的隐性失分，完全符合中考填空题“重基础、考细节、辨思维”的命题特点。规律探究与最值题成固定压轴题型填空题压轴题固定以两大形式呈现：一是特殊平行四边形与一次函数结合的循环规律探究题，侧重考查周期规律与等比数列通项；二是动点背景下的线段/面积最值题，侧重考查二次函数最值、将军饮马、圆的轨迹最值，是二轮复习中尖子生的核心突破点。二二、答题要点（一）核心通用答题要点筑牢三大图形的性质根基，锁定破题核心矩形核心：牢记“四个内角为直角、对角线相等且互相平分”，延伸结论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，矩形对角线分割出4个等腰三角形；菱形核心：紧扣“四条边相等、对角线互相垂直且平分每一组内角”，延伸结论：菱形面积=对角线乘积的一半，对角线分割出4个全等的直角三角形；正方形核心：兼具矩形与菱形的双重性质，四个角为直角、四边相等、对角线相等且垂直平分，对角线与边的夹角固定为45°，是全等三角形构造的核心载体。强化方程思想，填空题核心解题工具遇折叠、动点求线段长的题目，优先设未知数，利用勾股定理、相似三角形对应边成比例列方程求解，这是本课时填空题最核心、最常用的解题方法，90%的折叠题、线段计算题均可通过此方法破题。审题必圈画关键信息，规避填空题无提示失分填空题审题必须圈画核心限定词：动点运动范围（不与端点重合/在射线/直线上）、无图题、“正确/错误的结论有”、单位、角度/边长的限定条件，避免漏看条件导致破题方向错误，杜绝会做但拿不到分的低级失误。（二）分题型精准答题要点基础性质题：直接套用核心性质，秒解保分角度计算题：矩形遇对角线直接用等腰三角形等角转换，菱形遇对角线直接用垂直平分内角的性质，正方形直接用45°固定角转换；面积计算题：菱形优先用“对角线乘积的一半”，矩形/正方形用底乘高，遇中点直接用三角形中线平分面积的结论。折叠变换题：抓全等+勾股，两步破题第一步：锁定折叠前后的对应边相等、对应角相等，找到全等三角形，标注相等的线段与角度；第二步：在直角三角形中，设未知数表示三边，利用勾股定理列方程求解，尤其注意矩形折叠后，点落在边上/对角线/延长线上的不同情况，精准定位直角三角形。正方形半角模型题：直接套用固定结论，简化推导遇正方形内∠MAN=45°，直接套用核心结论：①MN=BM+DN；②△CMN的周长=2倍正方形边长；③AE=AB（AE⊥MN），无需重复推导全等，快速判断结论与计算线段长。动点最值题：先定轨迹，再求最值线段最值题：先判断动点轨迹，若为定角对定边，轨迹为圆弧；若为直线运动，用将军饮马、垂线段最短求解；面积最值题：设动点对应的线段长为x，将面积表示为x的二次函数，通过二次函数顶点式求最值，注意自变量的取值范围。规律探究题：先找周期，再算通项先计算前3-4次变换后的坐标/边长，找到循环周期，再用总次数除以周期，通过余数定位对应位置，结合等比/等差数列通项公式求解，尤其注意正方形/矩形在坐标系中滚动的方向与坐标变换规律。多结论判断题：先易后难+排除法，高效破题先验证最容易证明的结论，锁定错误结论直接排除，无需逐一证明全部结论，尤其注意结论中的“一定/都/恒成立”等绝对化表述，通过举反例快速判断。（三）填空题专属秒杀技巧特值法：遇动点题、定值题，取端点、中点等特殊位置代入验证，快速求出定值，无需严谨推导；模型秒解法：识别核心模型后，直接套用固定结论，跳过推导过程，实现10秒破题；数形结合法：无图题先画精准图形，通过几何直观快速定位多解情况，避免漏解。三三、避坑指南（一）概念性避坑：杜绝基础题零分严防特殊平行四边形的判定前提遗漏高频易错点：①忽略“平行四边形”的大前提，直接用“对角线相等的四边形是矩形”“对角线垂直的四边形是菱形”判定，正确结论必须以平行四边形为前提；②混淆矩形与菱形的判定，错用“对角线垂直的平行四边形是矩形”“对角线相等的平行四边形是菱形”；③误将正方形的判定条件放宽，忽略“既是矩形又是菱形”的双重要求。严防核心性质混淆误用高频易错点：①菱形面积公式误用，错用“邻边相乘”代替“对角线乘积的一半”；②矩形对角线性质误用，错认为矩形对角线互相垂直；③正方形对角线与边的夹角记错，误写为30°/60°，正确为45°；④混淆三角形中位线与中线，在中点题中错用性质。严防模型结论死记硬背、错用乱用高频易错点：正方形半角模型结论误用；折叠模型中，错认为折叠后对应点一定落在边上，忽略落在延长线、对角线上的情况。（二）审题性避坑：杜绝非知识性失分严防无图题漏解，分类讨论不全面高频易错点：题干无图的题目，如“点E在直线AD上”“点F在射线DP上”，学生极易只考虑线段上的情况，忽略直线/射线上的多解情况，导致答案漏写。严防设问看错、限定词漏看高频易错点：①多结论题中，题干要求选“正确的结论”，学生误选错误的；②动点题中，忽略“不与端点重合”的限定，导致最值取值范围错误；③单位不统一，题干为cm，答案写m。（三）计算性避坑：杜绝会做做不对严防勾股定理计算错误高频易错点：勾股定理中平方、开方计算失误；折叠题中设未知数后，方程列对但解错，是本课时最常见的计算失分点。严防锐角三角函数值记错、比例式列错高频易错点：sin、cos、tan的定义混淆，对边与邻边搞反；相似三角形对应顶点错位，导致比例式列错，最终线段长计算错误。严防二次函数最值计算错误面积最值题中，二次函数顶点式配方错误，顶点坐标算错，忽略自变量的取值范围，导致最值求解错误，如第30题△DEF的面积最大值，配方错误会直接导致结论判断失误。（四）逻辑推理避坑：杜绝中档题、压轴题失分严防全等/相似三角形的判定条件不足高频易错点：证明三角形全等时，错用SSA判定；证明相似时，仅找到一组角相等，无第二组条件就判定相似，导致推导逻辑断裂，结论错误。严防多结论题中，“不能证伪就认为是对的”高频易错点：多结论题中，对无法快速证明的结论，直接默认为正确，不通过举反例证伪。严防动点轨迹判断错误最值题中，错判动点的运动轨迹，把圆弧轨迹当成直线轨迹，或反之，导致最值求解完全错误。四四、真题练习1.（25-26·河北模拟）如图，四边形ABCD是矩形，△ADG是正三角形，点F是GD的中点，点P是矩形ABCD内一点，且△PBC是以BC为底的等腰三角形，则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是_____2_______．

【答案】2【解析】本题考查矩形的性质，正三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确设出边长表示出两个三角形的面积是解题的关键．

作辅助线如图，设BC=a，CD=b，根据相关图形的性表示出三角形的面积即可得到答案．【解答】解：如图，找BC，AD中点为M，N，连接MN，GN，连接PD，FC，过F作FR⊥CD交CD的延长线于R点，延长RF，与GN交于Q点．

设BC=a，CD=b，

∵△PBC是以BC为底的等腰三角形，

∴P在MN上，

∴P到CD的距离即为12a，

∴S△PCD=12×b×12a=14ab，

在△GQF和△DRF中

GF=DF∠GFQ=∠DFR∠FQG=∠FRD=90∘ ，

2.（24-25·甘肃模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OB，OA分别在x轴、y轴正半轴上，点D在BC边上，将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的点E处．若OA=8，OB=10，则点D的坐标是

(10,3)

．

【答案】【解析】根据折叠的性质得出，在中，利用勾股定理求得，进而得出，在中，利用勾股定理建立方程，求得的长，即可求解．【解答】∵四边形是矩形，∴.∵将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，∴，.在Rt△AOE中，OE=AE2−AO2=102−82=6，∴EB=OB−OE=10−6=4，∴设DB=m，则CD=8−m，∴DE=8−m.在Rt△DEB中，DE2=EB2+BD2，∴8−m23.（24-25·湖北模拟）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是

△MCB

．

【答案】【解析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出．【解答】解：四边形是矩形，，

∴∠DNM+∠DMN=90∘，

由折叠的性质可得：∠BMN=∠A=90∘，

∵∠NMD+∠BMN+∠BMC=180∘，

∴∠NMD+∠BMC=90∘，

∴∠DNM=∠BMC，

∴△NDM∽△MCB.

故答案为：4.（24-25·四川模拟）在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点E在直线AD上，且DE=2cm，则点E到矩形对角线所在直线的距离是____255或655或2【答案】255或6【解析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，设AC,BD交于点O，点E1在线段AD上，E2在AD的延长线上，过点E1,E2作【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=8，

∴AD=BC=8，CD=AB=4，

∴AC=AD2+CD2=42+82=45

∴sin∠CAD=CDAC=445=55，cos∠CAD=845=255，tan∠CAD=48=12

如图所示，设AC,BD交于点O，点E1在线段AD上，E2在AD的延长线上，过点E1,E2作AC，BD的垂线，垂足分别为F1,F2,F3

∵AO=DO

∴∠OAD=∠ODA

当E在线段AD上时，

∴AE1=AD−DE=8−2=6

在Rt△AE1F1中，E1F15.（25-26·天津模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E在边BC上，且EC=2BE．

(1)线段AE的长为________5__________；

(2)F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN=75∘，则线段MN的长为__________153________．

【答案】5,15【解析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩形的性质与勾股定理是解题的关键．

(1)求出BE=1，再利用勾股定理即可求出答案；

(2)过点M作MH⊥EF于H，由矩形的性质得到CD=AB=2,AD=BC=3，∠B=∠D=∠C=90∘，证明△ABE≅△ECFSAS，得到EF=EA，∠BAE=∠CEF，则可证明∠AEF=90∘，可得∠EAF=∠EFA=45∘，则∠MNF=180∘【解答】解：∵BC=3，EC=2BE，

∴BC=BE+CE=BE+2BE=3，

∴BE=1，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABE=90∘，

∴AE=AB2+BE2=22+12=5，

故答案为：5；

(2)如图所示，过点M作MH⊥EF于H，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=2,AD=BC=3，∠B=∠D=∠C=90∘，

∵F为CD的中点，

∴DF=CF=12CD=1，

∴CF=BE，

又∵CE=2BE=2=AB，

∴△ABE≅△ECFSAS，

∴EF=EA，∠BAE=∠CEF，

∴∠BEA+∠CEF=∠BEA+∠BAE=90∘，

∴∠AEF=90∘，

∴∠EAF=∠EFA=45∘，

∴∠MNF=180∘6.（25-26·辽宁模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6，点E、F分别是边AD、CD上的动点，连接BE、EF，点G为BE的中点，点H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是_____5_______．

【答案】5【解析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是解题的关键．连接BD,BF，先由勾股定理求得BD=10，则BF≤BD=10，再由三角形中位线定理得到GH=12BF≤【解答】解：连接BD,BF，

∵矩形ABCD中，AB=8,AD=6，

∴∠A=90∘，

∴BD=AB2+AD2=10，

∴BF≤BD=10，

∵点G为BE的中点，点H为EF的中点，

∴GH是△EBF的中位线，

∴GH=12BF≤12×10=5，

∴7.（24-25·浙江中考）如图，矩形ABCD内接于⊙O,E是AD⌢上一点，连接EB,EC分别交AD于点F,G．若AF=1,EG=FG=3，则⊙O的直径为_____214_________．

【答案】214【解析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质；

根据题意证出△EFG∽EBC，得到FGBC=EGEC=EFEB，设DG=x，则AD=BC=4+x，表示出GC=x+1，DC=2x+1，连接AE，在Rt△AEG中，求出AE=7，在Rt△AEC【解答】解：∵ABCD为矩形，

∴AD // BC，∠D=90∘

∴EF // BC，

∴△EFG∽EBC，

∴FGBC=EGEC=EFEB，

设DG=x，则AD=BC=4+x，

∴34+x=33+GC

∴GC=x+1，

在Rt△GDC中，DC=GC2−DG2=2x+1=AB，

连接AE，

∵AC为直径，

∴∠AEC=90∘，

在Rt△AEG中，AE=AG2−EG2=7，

∴在Rt△AEC中，AC=AE28.（24-25·山东中考）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a=6，b=4，则矩形ABCD的面积是_____48_______．

【答案】48【解析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，

根据S△ABD【解答】解：如图，

由题意和图可得：S△ABD=S矩形AEFG=ab=6×4=24，

∴S矩形ABCD=29.（24-25·四川中考）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF // BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上的点M处．若A、M、E三点共线，则ADDC的值为_______22_______．

【答案】22【解析】此题考查矩形与折叠，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，根据矩形的性质及平行线的性质得到CE=BE=ME，再根据等角对等边推出AD=AM，设BE=ME=x，则AD=AM=2x，利用勾股定理求出AB=A【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC,AB=CD,∠ABC=90∘，

∵EF // BD，

∴∠CEF=∠CBD，∠FEM=∠EMB，

由翻折得∠CEF=∠FEM，MF=CF，

∴∠EMB=∠EBM，

∴CE=BE=ME，

∵AD // BC，

∴∠ADM=∠EBM，

∴∠ADM=∠AMD，

∴AD=AM，

设BE=ME=x，则AD=AM=2x，AE=AM+EM=3x，

∴AB=AE2−BE2=22x，10.（24-25·江苏模拟）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：

AD//BC（荅案不唯一）

，使四边形ABCD成为菱形．

【答案】AD//BC（荅案不唯一）【解析】根据题意，先证明四边形ABCD是平行四边形，根据AC⊥BD，可得四边形ABCD成为菱形．【解答】解：添加条件AD//BC∵AD=BC，AD//BC

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD成为菱形．

添加条件AB=CD

∵AD=BC，AB=CD

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD成为菱形．

添加条件OB=OD

∵AC⊥BD，

∴∠AOD=∠COB=90∘

∵AD=BC，OB=OD，

∴Rt△AOD≅Rt△COBHL

∴AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD成为菱形．

添加条件∠ADB=∠CBD

在△AOD与△COB中，

∠ADB=∠CBD∠AOD=∠COBAD=BC

∴△AOD≅△COB

∴AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD成为菱形．

故答案为：AD//BC11.（24-25·黑龙江中考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，请添加一个条件_____AB=AD(或AC⊥BD，答案不唯一）________，使平行四边形ABCD为菱形．

【答案】AB=AD(或AC⊥BD，答案不唯一）【解析】本题考查添加条件使平行四边形为菱形，根据菱形的判定方法，添加条件即可．【解答】解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：AB=AD；

根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：AC⊥BD；

故答案为：AB=AD(或AC⊥BD，答案不唯一）．12.（25-26·江苏模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则∠ADC的度数是____60°________．

【答案】60∘【解析】根据菱形的性质得到∠AOC=∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC=12∠AOC【解答】解：∵四边形OABC为菱形，

∴∠AOC=∠ABC，

由圆周角定理得：∠ADC=12∠AOC，

∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠ADC+∠ABC=180∘，

∴∠ADC+2∠ADC=180∘，解得：∠ADC=6013.（24-25·湖北模拟）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=40∘，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是

10∘或80∘

【答案】或【解析】根据题意画出图形，结合菱形的性质可得，再进行分类讨论,当点E在点A上方时，当点E在点A下方时，即可进行解答．【解答】∵四边形为菱形，，∴,

连接，

①当点E在点A上方时，如图，

∵，，

∴∠AE1C=12×180∘−20∘=80∘；

②当点E在点A下方时，如图E2，

∵AC=AE1，∠CAE1=20∘，

14.（25-26·辽宁模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12，点E在线段OA上，AE=2，点F在线段OC上，OF=1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为_______13__________．

【答案】13【解析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得OA=12AC=4，OB=12BD=6，AC⊥BD，取OE中点H，连接GH，则【解答】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=12，

∴OA=12AC=4，OB=12BD=6，AC⊥BD，

∵AE=2，

∴OE=OA−AE=4−2=2，

如图，取OE中点H∵点G为BE的中点，点H为OE的中点，

∴GH=12OB=3，GH // OB，

∴∠GHE=∠BOA=90∘，

∵OF=1，

∴HF=OH+OF=12OE+OF=12×2+1=2，

15.（25-26·全国模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=45，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF=3，则EF的长为____85__________．

【答案】85【解析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．连接AC，交BD于点O，过点E作EG⊥OD于点G，利用四边形ABCD是菱形，得出AD=AB=45，BO=OD=12BD=8，AO⊥BD，得出AO=AD2−OD2=4【解答】解：连接AC，交BD于点O，过点E作EG⊥OD于点G，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB=45，BO=OD=12BD=8，AO⊥BD，

∴AO=AD2−OD2=4，EG∥AO，

∴△DEG∽△DAO，

∴DEAD=EGAO=DGOD，

∵E是AD的中点，

∴DE16.（25-26·河南模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60∘，对角线AC=6cm．点M从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以3cm/s的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN，DM交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为______23π3_________【答案】23【解析】如图，连接BD交AC于J．求解∠DAC=30∘=∠DCA，AJ=CJ=3，DJ=BJ=AJ⋅tan30∘=3，AD=AB=BD=23=CD，设运动时间为t，则AM=t，CN=3t，证明△ADM∽△CAN，可得∠APD=180∘−30∘=150∘【解答】解：如图，∵在菱形ABCD中，∠BAD=60∘，对角线AC=6cm，连接BD交AC于J．

∴∠DAC=30∘=∠DCA，AJ=CJ=3，DJ=BJ=AJ⋅tan30∘=3，AD=AB=BD=23=CD，

∵设运动时间为t，则AM=t，CN=3t，

∴t23=3t6，即AMAD=CNCA，

∴△ADM∽△CAN，

∴∠ADM=∠CAN，

∴∠APM=∠DAP+∠ADM=∠DAP+∠CAN=30∘，

∴∠APD=180∘−30∘=150∘，

作等边三角形ADO，以O为圆心，OD为半径作圆，取点K，连接AK17.（25-26·浙江模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC．以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG=12，GF=5，则DF的长度为______3__________，EH的长度为_______13413_________．

【答案】3,13【解析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、菱形的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、运用解直角三角形解决问题成为解题的关键．

由垂径定理以及勾股定理可得CG=GF=5，即CF=2CG=10、AC=13，由菱形的性质可得CD=AC=13，进而得到GD=8、DF=3、AD=413；如图：连接BC,BH，由圆周角定理可得∠ACB=90∘、∠AHB=90∘，再解直角三角形可得AB=16912、AH=13413；由菱形的性质以及平行线的性质可得∠DAE=∠CDA，如图：过H作【解答】解：∵AB⊥CD，AG=12，GF=5，

∴CG=GF=5，即CF=2CG=10，

∴AC=AG2+CG2=122+52=13，

∵菱形ACDE，

∴CD=AC=13，

∴GD=CD−GC=13−5=8，DF=CD−CF=13−10=3；

∴AD=AG2+GD2=122+82=413

如图：连接BC,BH，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90∘，∠AHB=90∘

∴cos∠CAB=AGAC=ACAB，即1213=13AB，

解得：AB=16912；

cos∠DAB=AGAD=AHAB，即12413=AH16912，

解得：AH=134

18.（24-25·云南中考）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O．若AC=6，BD=5，则菱形ABCD的面积是_____15_______．

【答案】15【解析】本题考查了菱形的性质，根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可，掌握菱形的性质是解题的关键．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=5，

∴菱形ABCD的面积是12AC×BD=12×6×5=15，

故答案为：19.（25-26·福建模拟）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB,CD分别相交于点E，F．若OA=2,OD=1，则△AOE与△DOF的面积之和为______1_______．

【答案】1【解析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出S菱形ABCD=12AC⋅BD=4【解答】解：∵菱形ABCD，OA=2,OD=1，

∴AC=4,BD=2，OA=OC，AB∥CD，

∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=4，∠OAB=∠OCD．

∵∠AOE=∠COF，

∴△AOE≅△COFASA，

∴S△AOE=20.（25-26·山东模拟）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90∘得到△CBF．若∠ABE=55∘，则∠EGC=_______80_________度．

【答案】80【解析】先求得∠BEF和∠CBE的度数，再利用三角形外角的性质求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90∘，

∵∠ABE=55∘，

∴∠CBE=90∘−55∘=35∘，

∵△ABE绕点B按顺时针方向旋转90∘得到△CBF

∴∠EBF=90∘，BE=BF21.（24-25·四川模拟）（3分）如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，AC=2．点P在边AC上，过点P作PD⊥AB，垂足为D，过点D作DF⊥BC，垂足为F．连接PF，取PF的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为______194__________．

【答案】194【解析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以C为原点，建立如图所示的坐标系，设AP=a，则CP=2−a，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点E的坐标，得到点E在直线y=1−433x上运动，求出点P分别与【解答】解：以C为原点，建立如图所示的坐标系，设AP=a，则CP=2−a，

则：P(0,2−a)，

∵∠B=30∘，

∴∠A=60∘，

∵PD⊥AB，

∴∠PDA=90∘，

∴∠APD=30∘，

∴AD=12AP=a2，

过点D作DG⊥AC，则：∠AGD=90∘，

∴AG=12AD=a4,DG=3AG=34a，

∵DF⊥BC，DG⊥AC，∠ACB=90∘，

∴四边形DGCF为矩形，

∴DG=CF，

∴F3a4,0，

∵E为P,F的中点，

∴E38a,1−12a，

令x=38a,y=1−12a，

则：22.（24-25·山东中考）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为(3,0)，△OAB是等边三角形，点B坐标是(1,0)，△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M→⋯）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是(2,0)；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是(2,0)；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是3−3【答案】(1,3)【解析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A的对应点A1，A2，⋯⋯，【解答】解：∵正方形OMNP顶点M的坐标为(3,0)，

∴OM=MN=NP=OP=3,

∵△OAB是等边三角形，点B坐标是(1,0)，

∴等边三角形高为32，

由题知，

A1的坐标是(2,0)；

A2的坐标是(2,0)；

A3的坐标是3−32,12；

继续滚动有，A4的坐标是(3,2)；

A5的坐标是(3,2)；

A6的坐标是52,3−32；

A7的坐标是(1,3)；

A8的坐标是(1,3)；

A9的坐标是32,52；

A10的坐标是(0,1)；

A11的坐标是(0,1)；

A12的坐标是12,32；

A13的坐标是23.（24-25·江苏中考）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则EF⌢的长度为_____2π3_______（结果保留π）．

【答案】2π3【解析】本题主要考查了弧长的计算、正方形的性质及翻折变换（折叠问题），解直角三角形，熟知正方形的性质、图形翻折的性质及弧长的计算公式是解题的关键．

由对折可知，∠EOM=∠FOM，过点E作OM的垂线，进而可求出∠EOM的度数，则可得出∠EOF的度数，最后根据弧长公式即可解决问题．【解答】解：∵折叠，且四边形ABCD是正方形

四边形AOMD是矩形，∠EOM=∠FOM，

则OM=AD=2，DM=12CD=1．

过点E作EP⊥OM于P，

则EP=DM=12CD=1，

∵OE=OM=AD=2,CD=AD=2，

∴EP=12OE.

在Rt△EOP中，sin∠EOP=EPOE=12，

∴∠EOP=30∘，24.（24-25·广东模拟）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板（见图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为

2dm2．

【答案】2【解析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得OE的长，即可求解．【解答】解：如图所示，

依题意，OD=22AD=22，OE=12OD=2，

∴图中阴影部分的面积为OE25.（23-24·四川中考）如图，正方形ABCD的边长为1,M，N分别是边BC,CD上的动点．若∠MAN=45∘,则MN的最小值为

−2+22

【答案】−2+22【解析】此题暂无解析【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，∴AD=AB=BC=CD=1,∠BAD=∠ABC=∠C=∠D=90∘,

将△ADN顺时针旋转90∘得到△ABP,则△ADN≅△ABP,

∴∠DAN=∠BAP,∠D=∠ABP=90∘,AN=AP,DN=BP,

∴点P，B，M，C共线，

∵∠MAN=45∘,

∴∠MAP=∠MAB+BAP=∠MAB+DAN=90∘−∠MAN=45∘=∠MAN,

∵AP=AN,∠MAP=∠MAN,AM=AM,

∴△MAP≅△MANSAS,

∴MP=MN,

∴MN=MP=BM+BP=BM+DN,

设CN=a,CM=b,则DN=1−a,BM=1−b,

∴MN=BM+DN=2−a−b,

∵∠C=90∘,

∴CN2+CM2=MN2,即a2+b2=2−a−b2,

整理得2−a26.（23-24·江西中考）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则tan∠CAB=_____12_______．

【答案】12【解析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图1，设等腰直角△MNQ的直角边为a，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键．【解答】解：如图1，设等腰直角△MNQ的直角边为a，则MQ=2a，小正方形的边长为a，

∴MP=2a，

∴EM=(2a)2+(2a)2=22a，

∴MT=EM=22a，

∴QT=22a−2a=2a，

如图2，过点C作CH⊥AB的延长线于点H，则CH=BD，BH=CD，

由图(1)可得，AB=BD=22a，CD=27.（25-26·山东模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点．连接EF．若∠FEO=45∘，则EFBC的值为_____12_______．【答案】12【解析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到∠OAD=45∘，AD=BC，再证明EF∥AD，进而可证明△OEF∽△OAD，由相似三角形的性质可得EFAD【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，

∴∠OAD=45∘，AD=BC，

∵点E是OA的中点，

∴OEOA=12，

∵∠FEO=45∘，

∴EF∥AD，

∴△OEF∽△OA