2027届湖南师大附中高三上学期8月月考卷(一)数学试卷及答案

本试卷分第I卷（(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。时量120分钟，满分150分。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一个样本3，4，5，6，a的平均数是b，且不等式x2−12x+c<0的解集为(b，a)，则这个样本的标准差是3.已知集合A={x∣lnx0},B={x∣−≤0},则CAB=A.{x|1<x<2}B.{x|1<x≤2}C.{x|x>2}D.{x|x≥2}4.已知函数−3x+a在区间(t-3，t+5)上单调递增，则实数t的取值范围是A.-6<t<6B.t≥6或t≤-6C.t>6或t<-6D.-6≤t≤65.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn=nan−2nn−1,则A.S6=a17+a16.三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0处的切线与函数y=f(x)的图象的交点个数为A.1个B.3个C.1个或者2个D.2个7.过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l与C相交于A,B两点,点P在y轴上,PA⊥PB,M为线段AB的中点，O为坐标原点，则∠OPM的取值范围是8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,PA=PB=4,PC=PD=22则该四棱锥的外接球的表面积为数学试卷（T1）第1页（共4页）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列有关复数的结论正确的是A.3+i>1+iB.若复数z=m+1+(m-1)i是纯虚数,则m=-1C.若2i-3是关于x的方程2x²+px+q=0(p,q∈R)的一个根,则p+q=38D.若复数z满足1≤|z|<3,则复数z对应的点所构成的图形面积为3π10.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中,AC⟂AB,AB=AC=AA1=2,点D,E,F分别为A1B1,AA1,CD的中点.下列结论正确的是A.EF//平面ABCB.异面直线EF与BC所成角的余弦值为C.直线BE与平面CC1D所成角的正弦值为D.平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值为11.已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不间断,当x≥0时,f(1+x)=2f(1-x),且当x>0时,f'(1+x)+f'(1-x)<0,则下列说法正确的是A.f(1)=0B.f(x)在(-∞,1]上单调递减C.若x1<x2,fx1<fx2,则x1+x2<2D.若x1,x2是g(x)=f(x)-cos(πx)的两个零点，且x1<x2,则1<<2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线0,b>0)的一条渐近线方程是则该双曲线的离心率为.13.已知函数f(x)=sinωx-cosωx(ω>0),若集合A={x∈[0,π)|f(x)=1}只含有3个元素，则实数ω的取值范围是.14.在两个实数a，b之间插入这两个数的和，得到数列A1：a，a+b，b；在数列A1的每相邻两个数之间插入这相邻两个数的和，得到数列.A2:a,2a+b,a+b,a+2b,b用同样的方式依次构造数列A3,A4,….若数列A100中所有各项的和为3100+1,则a+b=.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）如图,在三棱锥A-BCD中,点E在BD上,AE丄CE,AE丄DE,CD丄AD.数学试卷（T1）第2页（共4页）（1）证明:平面ACD⊥平面ABD;（2）若DE=2,BE=1,AE=2,CD=23,求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值.16.（本小题满分15分）△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b2+c2−a2=2bcsinA.(1)求角A;17.（本小题满分15分）某次联考中，有一道四选一的单项选择题考查了某个核心知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.(1)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，求X=1的概率及X的数学期望.(2)教育测量学中，常采用如下模型分析单选题：学生如果未掌握该知识点，就会从四个选项中随机盲猜一个作为答案.假设甲校学生只要掌握了该知识点，就能100%选择正确.①求甲校学生真正掌握该知识点的概率估计值p₁;②已知抽查到的一名甲校学生该题选择正确，求该生实际上是靠“盲猜”答对的概率.数学试卷（T1）第3页（共4页）18.（本小题满分17分）已知椭圆b>0)的离心率为长轴长与短轴长的差为2，点A，B，C都在E上，O为坐标原点，且(2)若直线OA，OB的斜率存在，求直线OA与OB的斜率之积；(3)设直线OA与E的另一个交点为D，点P在线段AD上运动，过点P作斜率为的直线l与E相交于M,N两点,若直线AD的斜率为3,求|PM|+2|PN|的最大值.19.（本小题满分17分）已知当x∈0时，定义函数=cosx+x−1,g完成以下问题：(1)证明不等式：fx≥0x∈0,并指出等号成立条件.(2)若gx≥0对任意x∈0恒成立，求实数k的取值范围.(3)设数列满足:an=Σ=1cos证明：数列单调递减，且对任意正整数n，有数学试卷（T1）第4页（共4页）A.{6,8{B.{6,7,8{C.{1,3,5{D.{1,2,3,4,5{2.复数z=在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(x-的展开式中,x3项的系数是A.5B.-5C.10D.-10A.3B.5C.7D.95.2025年湖南省足球协会超级联赛(湘超)将于2025年9月至12月进行,比赛的第一阶段为常规赛,共有两组,则排名第一与第二的球队被分在不同组A.A.B.C.D.7.函数f(x(=、x-log0.25x的零点所在区间为8.已知双曲线=1(a>0,b>0(线MF1与y轴交于点N,且M—=M—1,则双曲线E的离心率为A.2B.3+1C.3D.23A.已知X∼B(40,p(,且E(X(=16,则p=0.4B.若X∼N(1,22(,Y∼N(2,22(,则P(X<1(<P(Y<2(D.已知ξ为离散型随机变量，则D(1+ξ(=D(1-ξ(A.l=r1+r2B.R=D.的最大值为11.在平面直角坐标系中,已知圆K:(x-k(2+(y-k(2=,其中k≠0,则A.圆K过定点B.圆K的圆心在定直线上C.圆K与定直线相切D.圆K与定圆相切12.若直线y=2x+m是曲线y=ex+x+4的一条切线，则m=.14.已知函数f(x(=2sinωx(ω>0(，如图，O为坐标原点，M，N，P是曲线y=f(x(与直线y=m(m>0(相邻的三个交点，若|NP|=(1)若bsinB-csinC+(c-a(sinA=0，求α;1234567896838956627756788469(2)现假设该植物感染病毒γ后的存活日数为随机变量X(X可取任意正整数).研究人员统计①试推导P(X=k((k∈N*(的表达式；②求该植物感染病毒γ后存活日数的期望E(X(的值.附，其中n=a+b+c+d；m≈0.αxα2.D因为z==4-2i,所以在复平面上对应的点为(4,-2(,位于第四象限.3.A(5=(x-x二项式展开式的通项为:Tr+1=Cr⋅x5-r=C(-1(r⋅x5-,令5-3⇒r=4,所以x3项的系数是C(-1(4=5.4.B【解析】在等差数列{an{中,2a4+a7=3a5=15,所以a5=5. .【解析】易知y=、x在(0,+∞(单调递增,y=log0.25x在(0,+∞(单调递减,∴f(x(在(0,+∞(上单调递f(0.25(=。-log0.250.25<0,f(0.5(=-log0.250.5=>0,∴零点所在区【解析】设双曲线E的半焦距为c(c>0(,如图:=2x,=|MF1|-2a=3x-2a,N=∠MF1F2,、3c-2a,+2+(3c-2a(2=4c2,化简得c2-23ca+2a2=0,则e2-23e+2=0,而e>1,解得e=3+1.9.ACD根据正态分布对称性可知，P(X<1(=P(Y<2(=0.5，B说法错误;由方差的性质,D(1+ξ(=D(ξ(=D(1-ξ(,故D正确.【解析】由切线长定理易得l=r1+r2,A正确;由勾股定理知(2R(2=(r1+r2(2-(r1-r2(2=4r1r2,解得R=、r1r2,B正确;因为===, 1=πR3=πR3=。2R2所以S1=V1C正确;2π(r+r+r1r2(h(r+r+r1r2(r+r+r1r2,S2V2,错误.【解析】圆K的方程可化为x2+y2-2k(x+y(+=0,若圆K过定点,则,0,可得=0,矛盾,A错;圆K的圆心坐标为(k,k(,则圆心在直线y=x上,B对;圆心到直线y=(2-·3(x的距离为d===。=|k|,故直线y=(2-、3(x与圆K相切,同理可知,直线y=(2+、3(x与圆K也相切,C对;设定圆的圆(a,b(,半径为r,设k>0,若定圆与圆K外切,则(a-k(2+(b-k(2=r+k,化简得k2-(2a+2b+、2r(k+a2+b2-r2=0,由二次函数的性质可知,关于k的二次函数f(k(=k2-(2a+2b+、2r(k+a2+b2-r2在k>0时的值不可能恒为零,舍去;若定圆与圆K内切,则(a-k(2+(b-k(2=|r-k|,化简可得k2-(2a+2b-2r(k+a2+b2-r2=0,由二次函数的性质可知,关于k的二次函数g(k(=k2-(2a+2b-、2r(k+a2+b2-r2在k>0时的值不可能恒为零,舍去.同理可知,当k<0时,不存在定圆与圆K相切,D错.【解析】对于y=ex+x+4,其导数为yl=ex+1,因为直线y=2x+m的斜率为2,令yl=ex+1=2,即ex=1,解得x=0,所以切点坐标为(0,5(,而切点(0,5(在直线y=2x+m上,所以m=5.故AB⊥平面PNO,PN⊂平面PNO,故AB⊥PN,故AO=、2,PO=、2,故PA与平面α=,即x2-x1=.又x1+x2=联立解得,x2=,所以m=2sinωx1=1,则=x1x2+m2=x1x2+1=+1。=6,解得ω=,故f(x(的最小正周期=12.15.(1)在△ABC中，由bsinB-csinC+(c-a(sinA=0及正弦定理得b2-c2+(c-a(a=0，即a2+c2-b2=由余弦定理得cosB=而0<B<π,所以α=.(6分)(2)由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB⋅BCcosα=1+4-2×1×2cosα=5-4cosα,因为△ACD为正三角形,所以S△ACD=AC2=cosα,S所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=sinα-cosα+=2sin(α--所以四边形ABCD面积的取值范围为设平面A1EC的法向量为=(x,y,z(,则即0,令z=1,则x=y=2,—→又DA=(2,0,0(为平面A1EB的一个法向量,所以平面A1EC与平面A1EB夹角的余弦值为.(7分)根据题意有3-a=、b2+4,即b2=(3-a(2-4,(9分)又因为A=(0,a,b(,A—=(-2,0,2(,则点P到AD1的距离=a2+2=a2+(3-a(2-2=a2-3a+=(a-1(2+1,(13分)17.(1)由Sn+Sn-1=-1(n≥2(可得，Sn+1+Sn=-1，于是an+1+an=0,即an+1=-an(n≥2(,(3分)又因为a1=-1,S2+S1=-1,所以a2=1=-a1.所以{an{是首项为-1,公比为-1的等比数列,故an=(-1(n.(6分)-1(n=(-1(nn+(-1(n=(-1(nn++(-1(n.(8分)当n为偶数时,Tn=[-1+2-3+4+⋯-(n-1(+++-++=-1+。=(11分)当n为奇数时+1-bn+1=-(n+1(-(13475根据列联表中的数据,经计算得到≈5.934<6.635,(2)①由题意得P(X=1(=P(X=k+1∣X>k(=0.1.又P(X=k+1∣X>k(=,故P(X=k+1(=0.1P(X>k(.把k换成k-1,则P(X=k(=0.1P(X>k-1(.两式相减,得P(X=k(-P(X=k+1(=0.1P(X=k(,又P(X=2(=0.1P(X>1(=0.1×(1-P(X=1((=0.9P(X=1(,从而{P(X=k({是首项为0.1,公比为0.9的等比数列,因此P(X=k(=0.1×0.9k-1.(11分)②由定义可知E(X(=P(X=1(+2P(X=2(+3P(X=3(+⋯+kP(X=k(+⋯,而iP(X=i(=0.1i×0.9i-1,下面先求i×0i-1=1+0.91+0.92+⋯+0.9k-1-k×0.9kk≈0,故iP(X=i(≈10,可认为E(X(=10.(17分)设直线BP:x=m(y+2(+1,则直线AQ:y=-mx+9m+6,联立2m-