1.3 概率的公理化定义及其性质（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版第4版）

《概率论与数理统计》

§1.3概率的公理化定义及其性质

概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫

1933年建立.

柯尔莫哥洛夫

(A.H.Колмогоров1903-1987)

俄国数学家

1939年任苏联科学院院

士.先后当选美,法,意,荷,英,

德等国的外籍院士及皇家

学会会员.为20世纪最有影

响的俄国数学家.

柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一

系列重要分支作出重大贡献.

他建立了在测度论基础上的概率论

公理系统,奠定了近代概率论的基础.

他又是随机过程论的奠基人之一,

其主要工作包括:

20年代关于强大数定律、重对数

律的基本工作;

1933年在《概率论的基本概念》

一文中提出的概率论公理体系(希尔伯

特第6问题)

30年代建立的马尔可夫过程的两

个基本方程;

用希尔伯特空间的几何理论建立

弱平稳序列的线性理论;

40年代完成独立和的弱极限理论,

经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等;

在动力系统中开创了关于哈密顿系

统的微扰理论与K系统遍历理论;

50年代中期开创了研究函数特征的

信息论方法,他的工作及随后阿诺尔德

的工作解决并深化了希尔伯特第13问题

——用较少变量的函数表示较多变量的

函数;

60年代后又创立了信息算法理论;

1980年由于它在调和分析,概率论,

遍历理论及动力系统方面出色的工作

获沃尔夫奖;

他十分重视数学教育,在他的指引

下,大批数学家在不同的领域内取得重

大成就.其中包括и.M.盖尔范德,B.и.

阿诺尔德,Я.Г.西奈依等人.

他还非常重视基础教育,亲自领导

了中学数学教科书的编写工作.

一、定义

设是随机试验T的样本空间，若能找到

一个法则，使得对于T的每一事件Aℱ,总有

一个实数P(A)与之对应,且P(A)满足

q非负性：A,P(A)0

q规范性：P()1

q可列可加性：PAiP(Ai)

i1i1

其中A1,A2,为两两互不相容事件，

P(A)称为事件A的概率。

P(A)是事件A的函数，自变量为事件A，其

定义域为｛A｜Aℱ｝值域为［0,1］.

称(,ℱ,Ｐ)为概率空间.

二、概率的性质

性质1P()=0

性质有限可加性设两两互不

2()A1,A2,An

nn

相容，则

PAiP(Ai)

i1i1

性质3P(A)P(A)1

性质4(可减性)ABP(BA)P(B)P(A)

(单调性)ABP(A)P(B)

性质5.(加法公式)对任意两个事件A,B,有

P(AB)P(A)P(B)P(AB)加法公式

P(AB)P(A)P(B)半可加性

推广：

P(ABC)P(A)P(B)P(C)

P(AB)P(AC)P(BC)

P(ABC)加法公式

一般：加法公式

nn

P(Ai)P(Ai)P(AiAj)

i1i11ijn

n

n1

P(AiAjAk)(1)P(A1A2An)

1ijkn

右端共有2n1项.

nn

P(Ai)P(Ai),P(Ai)P(Ai).

i1i1i1i1

半可加性

例1对任意两个事件A,B,有

P(BA)P(B)P(AB)

AB

AB=AB+(B–A)

应用性质2

B-ABBP(B)=P(AB)+

P(B–AB)

例2P(A)=1/4,P(B)=1/2,就下列三种情况

(1)A与B互不相容；(2)AB

(3)P(AB)=1/8

求P(B－A).

解(1)由于A与B不相容，即AB

ABBABAB

P(B－A)=P(B)=1/2

1

(2)P(B－A)=P(B)－P(A)=应用例1

4

3

(3)P(B－A)=P(B)－P(AB)=

8

例3设A,B满足P(A)=0.6,P(B)=0.7,

在什么条件下，P(AB)取得最大(小)值？

最大(小)值是多少？

解P(AB)P(A)P(B)P(AB)

P(AB)P(A)P(B)P(AB)

P(A)P(B)10.3——最小值

最小值在P(AB)1时取得.

P(AB)P(A)0.6——最大值

最大值在P(AB)P(B)时取得.

例4一只口袋中有45只白球，5只黑球，今从中任取

3只球，求其中有黑球的概率.

解以A表示“取出的3只球中有黑球”,Ai分别表示

“取出的3只球中有i只黑球”,i=1,2,3,

显然A＝A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互不相容

33CiC3i

545

P(A)P(Ai)30.2760

i1i1C50

这个问题也可用如下的方法：A表示“取出的三个

球全为白球”，则C3

45

P(A)1P(A)130.2760

C50

例5(几何概型)一口袋中装有N-1只黑球及一只白

球,每次从中随机地摸出一球,并换入一只黑球,这

样继续下去,问第k次才摸到白球的Pr等于多少?

解:A:表示第k次才摸到白球

(N1)k11

P(A)

Nk

k1

11

P(A)1

NN

性质6.(连续性)对任意的单调事件组Ann1

有

PlimAnlimP(An)

nn

称概率P是连续的。

定义对事件域ℱ上的非负集函数m，若对ℱ

的非降的事件组，即

Ann1

A1A2An

有

mlimAnlimm(An)

nn

则称m是下连续的。

同理对事件域ℱ上的非负集函数m，若对ℱ

的非增的事件组，即

Ann1

A1A2An

mlimAnlimm(An)

nn

则称m是上连续的。

m既是下连续的又是上连续的，则称m是连续的。

引理：m是ℱ上非负、规范的集函数，则m具有

可列可加性的充要条件是：

（1）m具有有限可加性；

（2）m在ℱ是下连续的。

证明：（1）显然成立。

（）

2A1A2AnlimAnAn

nn1

设

BiAiAi1,i1,2,A0

则且{B}两两互不相容。

AnBni

n1n1

由m的可列可加性，得

mAmBm(B)m(AA)

iiiii1

i1i1i1i1

由m的可列可加性，不难推出

(i)m()0(ii)ABm(BA)m(B)m(A)

mAm(AA)[m(A)m(A)]

iii1ii1

i1i1i1

limm(An)

n

mlimAnlimm(An)

nn

nn

具有有限可加性，得mAm(A)

mii

i1i1

两两互不相容，上式两边取极限

A1,A2,An

n

limmAim(Ai)

n

i1i1

令n

{S}

S1A1,S2A1A2,,SnAin

i1

由是下连续的，得

mmlimSnlimm(Sn)

nn

mAm(A)

ii

i1i1

性质6.(连续性)对任意的单调事件组Ann1

有

PlimAnlimP(An)

nn

证明：由引理知P具有下连续性；另一方面，

设

A1A2AnlimAnAn{An}

nn1

由下连续性有

P{An}PlimAnlimP(An)

n1nn

P{An}limP(An)即P具有上连续性。

n1n

例6某人一次写了n封信,又写了n个信封,如果他任

意地将n封信装入n个信封内,问至少有一个封信和

信封是一致的概率等于多少?

第封信恰好装入第i个信封

解:Ai{i}i1,2,n

n

求

P(Ai)

i1

n

1，

P(Ai)P(Ai)1

ni1

1P()211

P(AiAj),(ij),AiAjCn

n(n1)1ijnn(n1)2!

同理可得P()311

AiAjAkCn

1ijknn(n1)(n2)3!

1

P(AAAn)=

12n!

111n11

所以P(AAAn)=1-(1)

122！3！4！n！

当n充分大时，它近似地等于1-e-1。

这个例子是历史上有名的匹配问题。

例7把标有1,2,3,4的4个球随机地放入

标有1,2,3,4的4个盒子中，每盒放一球，

求至少有一个盒子的号码与放入的球的号

码一致的概率

解设A为所求的事件

设Ai表示i号球入i号盒，i=1,2,3,4

4

则

AAi

i1

3!1

P(A),i1,2,3,4