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文档简介

第二章知识结构图

随机变量

离散型随连续型随

机变量机变量

分布概率

分布律函数的分布函数的

函数密度分布

分布函数

定义常用分布定义常用分布

第三节随机变量的分布函数

为了对离散型的和连续型的随机变量,以及更广泛

类型的随机变量给出一种统一的描述方法，引进

了分布函数的概念.

f(x)

PK

0.6

0.3

0.1k

012x

o

一.随机变量分布函数的定义及其性质

1.随机变量分布函数的定义

定义：设X是一个随机变量，称：

F(x)P(Xx)(x)

为X的分布函数。

注▲如果将X看作数轴上随机点的坐标，则

分布函数F(x)的值就表示X落在区间

x上的概率。

(,]

Xxx

x

注▲

对任意的实数x1,x2(x1x2)

P(x1Xx2)P(Xx2)P(Xx1)

F(x2)F(x1)

因此，只要知道了随机变量X的分布函数，

它的统计特性就可以得到全面的描述。

▲分布函数是个普通函数，它是实数x的函数。

2.随机变量分布函数的性质

性质是一个不减函数，即若

1F(x)x1x2,

则：

F(x1)F(x2)0

证:F(x)F(x)

21P(x1Xx2)0,(x1x2)

则：

F(x1)F(x2)

F()limF(x)0

x

性质20F(x)1且:

F()limF(x)1

x

特别:若X仅在(a,b]内取值，则有:

F(a)P(Xa)0,F(b)P(Xb)1

性质3是右连续的函数，即

F(x)limF(x)F(x0)

xx0

注若分布函数定义为：F(x)P(Xx)

则为左连续的函数。

二.离散型随机变量的分布函数

定义：若离散型随机变量X的分布律为:

P(Xxk)pkk1,2,

则其分布函数为:

F(x)P(Xx)P(Xxk)

xkx

注▲是指对所有满足的求和

"xkx"xkxk.

▲在处有跳跃，其跳跃值为：

F(x)xxk

pkP(Xxk),其图形是个阶梯形图形：

F(x)的图形

p

n

1

p1

p

0

xxxx

012n

例1.设离散型随机变量X的分布律为:

X012

111

Pk实际上它把整个

362

数轴分成了4段

求:(1)X的分布函数

133

(2)P(X),P(1X),P(1X)

222

由题意可知的值有三个:

解:xk0,1,2

当x0时，{Xx},故F(x)=0

x012

X012

当时111

0x1Pk

362

0x12

11

F(x)P(Xx)0P(X0)0

33

当1x2时

01x2

F(x)P(Xx)0P(X0)P(X1)

111

0

362

当x2时

012x

F(x)P(Xx)0P(X0)P(X1)P(X2)

111

01

故得：362

0x0

1

0x1注意

3

F(x)右连续

1

1x2

2

1x2

0,x0

012

1/3,0x1

F(x)X~111

1/2,1x2

1,x2362

概率函数图

分布函数图画分布

函数图

PP(Xxx))F(x)

11

1

2

1122

160

1330

1166

O

0122xx

不难看出：F(x)的图形是阶梯状的图形，在

x=0，1，2处有跳跃，其跃度分

别等于P(X=0),P(X=1),P(X=2).

F(x)

1

1

2

12

160

130

16

O

012x

0,x0

111

(2).1/3,0x1

P(X)F()F(x)

2231/2,1x2

33111,x2

P(1X)F()F(1)0

2222

33

P(1X)F()

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