2.4 连续型随机变量（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版第4版）

《概率论与数理统计》

2.4连续型随机变量

一、连续型r.v.的概念

定义设随机变量X的分布函数为F(x)，

若存在一个非负可积函数f(x),使得

x

F(x)＝P(Xx)＝f(u)du

则称X是连续型r.v.，称f(x)为r.v.X的

概率分布密度函数(p.d.f.)

Th1(密度函数的特征性质)

(1)非负性f(x)0，(-<x<)；

规范性f(x)dx＝1.

(2)

注1改变概率密度函数f(x)在个别点的函数值不影

响公式(2)规范性,故对固定的分布函数,概率密度

函数不是唯一的.

注2对满足上述两条性质的任意函数必是某一随

机变量的密度函数.

常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性

r.v.的p.d.f.

1证明f(x)1/2ex为概率分布密度函数。

2设随机变量X的概率密度为

f(x)aex

1

求常数答:a

a.2

Th2设连续型r.v.X的分布函数（c.d.f.)为F(x),概

率分布密度函数(p.d.f.)为f(x)，则

(1)F(x)为连续函数；（绝对连续函数）

(2)若x是f(x)的连续点，则

dF(x)

f(x)

dx

(3)对任意实数c，则P{X=c}＝0。

(4)P{aXb}＝P{aXb}P{aXb}

b

＝P{aXb}＝f(x)dx

a

证明xxx

(1)F(xx)F(x)f(u)duf(u)du

xxxx定义

f(u)duf(u)duf(u)du

x

xx

f(u)dux00所以为连续函数；

xF(x)

(2)dF(x)F(xx)F(x)

lim

dxx0x

（1）

1xx

limf(u)du

x0xx

f(x)

(3)0P{Xc}P{cXc}

F(c)F(c)0

F(x)的连续性

对任意实数c，有P{X=c}＝0。

(4)P{aXb}F(b)F(a)

连续性型随机变量定义

ba

f(u)duf(u)du

aba

f(u)duf(u)duf(u)du

a

b

f(u)du

a

注1密度函数的几何意义为

b

P(aXb)＝f(u)du

a

注2强调概率为0(1)的事件未必为不可能(必然)

事件.

如图，设试验T为“随机地向

Y边

长为1的正方形内投点”事件A

1为“点投在黄、蓝两个三角形内,

不落在对角线上”,

求P(A)

01x

11

S黄三角形S蓝三角形11

P(A)221

S正方形11

由于点可能投在正方形的对角线上,所以

事件A未必一定发生.

注3P{xXxx}＝F(xx)F(x)

f(x)x

设随机变量X的分布函数为

1x

ex0

F(x)2

1

1exx0

2

求f(x)

注4从上节已经得到离散型随机变量的分布函数为

F(x)piU(xxi)

i1

0x0

其中U(x)

1x0

若记(x)dU(x)/dx为U(x)的广义导数，则离散

型随机变量的密度函数可以写成

f(x)pi(xxi)

i1

这样离散与连续型随机变量就一致起来了。

需要指出的是有下列重要的性质

0x0

1)(x)

x0

2)(x)dx1

3)对任意连续函数g(x)，有

g(x)(x)dxg(0)

或

g(x)(xx)dxg(x)

00

例1：已知随机变量X的概率密度为

x0x1

f(x)2x1x2

0其它

解：当x0时，F(x)0

当0x1时，

x1

F(x)tdtx2

02

当1x2时，

1x

F(x)tdt(2t)dt

01

1

x22x1

2

当x2时，F(x)1

0,x0

1/2x2,0x1

F(x)

2

1/2x2x1,1x2

1,x2

例2、设X的密度函数为

Ax(3x2)0x2

f(x)

0其他

试确定常数A,并求P(1X1)

21

f(x)dx1Ax(3x2)dx1A

012

101

P(1X1)f(x)dxf(x)dxf(x)dx

110

111

x(3x2)dx

0126

二、几个常用的连续型分布

f(x)

1.均匀分布U(a,b)

。。

若r.v.X的p.d.f.为

0abx

1

,axb1

f(x)baI(axb)

ba

0，其它

则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作X~U(a,b)

注1对任意实数c,d(a<c<d<b)，(c,d)(a,b)

dd1dc

都有P{cXd}＝f(x)dx＝dx＝

ccbaba

解释:将(a,b)区间n等份，则落在每个小区间的

1

概率均为

n，当n时，概率趋于0。

说明r.v.X落在（a,b）区间上的任一点的可能性

都相同。

注2均匀分布的特征性质

均匀分布的特征性质：

X服从均匀分布U(a,b)的充分必要条件是:

(1)r.v.X落在(a,b)区间内的概率为1,落在(a,b)区

间外的概率为0;

(2)X落在(a,b)子区间上概率与子区间长度成正比。

例3.公共汽车起点站于每时的10分、25分、55分

发车,设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻

随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的

概率。

1545

解：设A—乘客候车时间超过10分钟

X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)

P(A)P{10X15}P(25X45}P{55X60}

52051

602

2.指数分布Exp()f(x)

若r.v.X的p.d.f.为

x

x0

e,x0

f(x)＝exI(x0)

0,x0

则称X服从参数为>0的指数分布,记作X~Exp().

其分布函数为

1ex,x0

F(x)P{Xx}＝

0,x0

指数分布的特征性质

非负的连续型r.v.X服从指数分布的充分必要条件

是:无记忆性,即

P{Xst|Xs}P{Xt},s,t0

P{Xst}

证明P{Xst|Xs}

P{Xs}

1F(st)

etP{Xt}

1F(s)

G(x)P{Xx}G(st)G(s)G(t)

G(x)ax

解0.1e0.1xx0

f(x)

0x0,

(1)P{X2}0.1e0.1xdxe0.2

2

(2)P{X3.5|X1.5}

P{X3.5,X1.5}

P{X1.5}

0.1e0.1xdx

3.50.2

e

0.1e0.1xdx

1.5

解F(t)P{Tt}

当t≤0时，F(t)0

当t>0时，F(t)P{Tt}1P{Tt}

=1-{在t时刻之前无汽车过桥}

t

1P{Xt0}1e

于是ett0

f(t)F'(t)

0t0

3.Gamma分布(,)

f(x)＝x1exI(x0)

()

则称X服从参数为>0,>0的Gamma分布，记为

X~(,)

(1)()

()x1exdx

0(n)(n1)!

(1/2)

说明(,1)Exp()

4.正态分布

正态分布是应用最广

泛的一种连续型分布.

德莫佛（DeMoivre)最早发现

了二项分布的一个近似公式，这德莫佛

一公式是正态分布的首次露面.

正态分布在十九世纪前叶由高

斯(Gauss)加以推广，所以通常称

为高斯分布.

(I)正态分布的定义

亦称高斯

若X的p.d.f.为(Gauss)分布

(x)2

12

f(x)e2x

2

,为常数，0

则称X服从参数为,2的正态分布。

记作X~N(,2)

(II)正态分布N(,2)的图形特点

xx

(a)正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形

曲线.特点是“两头小，中间大，左右对称”.

(b)图形关于直线x=对称,即f(+x)=f(-x)

1

(c)在x=时,f(x)取得最大值

2

x=±为曲线y=f(x)的拐点;

曲线y=f(x)以x轴为渐近线;

曲线y=f(x)的图形呈单峰状

(d)从图形来看：P{-x<X}=P{<X+x},

有如下性质：

F(x)F(x)1

F()0.5

其中F(x)为随机变量X的分布函数。

(t)2

x

12

F(x)e2dt,x

2

(e)正态分布N(,2)的图形形状

(x)2

12

f(x)e2x

2

1）决定了图形的中心位置，固定，则图形完全

由确定，图形的形状不变，的改变，相当于图

形平移。

2）固定，则图形完全由确定.

越大，X落在附近概率越小，图形越扁平；

越小，X落在附近概率越大，图形越尖峭；

实例年降雨量问题，我们用上海99

年年降雨量的数据画出了频率直方图。

从直方图，我们可以初步看出，年降

雨量近似服从正态分布。

下面是我们用某大学大学生的身高的

数据画出的频率直方图。

红线是

拟合的

正态密

度曲线

可见，某大学大学生的身高应

服从正态分布。

人的身高高低不等，但中等身材的占大

多数，特高和特矮的只是少数，而且较

高和较矮的人数大致相近，这从一个方

面反映了服从正态分布的随机变量的特

点。

除了我们在前面遇到过的年降雨量和身

高外,在正常条件下各种产品的质量指标，

如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作

物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，

射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等

等，都服从或近似服从正态分布.

注意:

(x)2

?

12

(1)e2dx1

2

(x3)2

1?

(2)e4dx1

2

一种重要的正态分布

——标准正态分布N(0,1)

x2

1

密度函数(x)e2x

2

是偶函数，分布函数记为

t2

1x

(x)e2dtx

2

其值有专门的表供查（P.222）

注意:t2

1?

e2dt1

2

0.4

0.3(x)

0.2

0.1

-3-2-1123

0.4

0.3

0.2

0.1

-3-2-1123

(0)0.5

(x)1(x)

0.4

0.3

0.2

0.1

-3-2-x-11x23

(x)1(x)

(0)0.5

P(|X|a)2(a)1(?)

例6设X～N(0,1),查表计算PX1.4,PX2,

PX11.P222附表1

解

PX1.4(1.4)0.9192,

PX21(2)1(1(2))0.9772

PX11PX2或X0

PX2PX0

1(2)(0)0.5228

X

定理X~N(,2)，则Y~N(0,1)

证明

X

F(y)P{Yy}P{y}P{Xy}

Y

(x)2

y12

e2dx

2

1

y2

12

fY(y)eY~N(0,1)

2

X~N(,2)

aXb

（1）P{aXb}P{}

ba

（2）Xa

P(Xa)P{}

a

1

Ex7X~N(1.5,4)求P(X3.5)P(X4)P(X2)

P(X3)

X1.53.51.5

解：P(X3.5)P()(1)0.8413

22

X1.541.5

P(X4)P()1(2.75)0.003

22

X1.521.5

P(X2)1P(X2)1P()1(0.25)0.4013

22

31.5X1.531.5

P(X3)P()(0.75)(2.25)

222

0.7734(10.9878)0.7612

例8设X~N(1,4),求P(0X1.6)

01X11.61

解P(0X1.6)P{}

222

1.6101

0.30.5

22

0.3[10.5]

P236附表1

0.6179[10.6915]

0.3094

例9已知X~N(2,2)且P(2<X<4)=0.3,

求P(X<0).

022

解.P(X0)1

4222

P(2X4)

2

(