3.1 二维随机变量的概念（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版第4版）

《概率论与数理统计》

第三章随机向量及其分布

二维随机向量的概念

随机向量的边缘分布、条件分布与独立性

多维随机向量函数的分布

本章内容是第二章内容的推广

一维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布

由于从二维推广到多维一般无实质

性的困难，我们重点讨论二维随机变

量.

到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其

分布.但有些随机现象用一个随机变量来描

述还不够，而需要用几个随机变量来描述.

在打靶时,命中点的位置

是由一对r.v(两个坐标)来

确定的.

飞机的重心在空中的位

置是由三个r.v(三个坐标）

来确定的等等.

§3.1二维随机变量的概念

一、二维随机向量与分布函数定义

定义设为随机试验的样本空间，

一定法则X(),Y()R2

则称(X,Y)为二维r.v.或二维随机向量

一维随机变量X

二维随机变量（X,Y）

X的分布函数

X和Y的联合分布函数

F(x)P(Xx)

F(x,y)P(Xx,Yy)

x

x,y

注：X和Y的联合分布函数实际上是

(Xx)(Yy)

的概率。

如果把(X,Y)看成平

面上随机点的坐标.

取定x,yR1，

F(x,y)就是点(X,Y)(x,y)

落在平面上的以

(x,y)为顶点而位于

该点左下方的无限

矩形区域内的概率.

见右图.

二维分布函数F(x,y)的四条基本性质

1.(非降性)F(x,y)对每个变量单调不减.

固定x,对任意的y1<y2,

F(x,y1)F(x,y2)

固定y,对任意的x1<x2,

F(x1,y)F(x2,y)

2.(有界性)x,yR1有0≤F(x,y)≤1

yR1,F(-∞,y)=0，

xR1,F(x,-∞)=0，

F(-∞,-∞)=0，F(+∞,+∞)=1

y(,)

0F(x,y)1

F(,)1

x

y

(x,y)

F(,)0

x

(,)

y

F(x,)0

x

y

F(,y)0

x

3.（右连续性）

F(x0,y0)=F(x0+0,y0)

F(x0,y0)=F(x0,y0+0)

4.对于任意a<b,c<d

F(b,d)–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c)0

事实上

d

F(b,d)–F(b,c)c

–F(a,d)+F(a,c)

ab

PaXb,cYd0

例1设0,xy1

F(x,y)

1,xy1

讨论F(x,y)能否成为二维r.v.的分布函数？

y

解F(2,2)F(0,2)(0,2)••(2,2)

=

F(2,0)F(0,0)y

(0,0)x+(2,0)

1110••x

101

故F(x,y)不能作为某二维r.v.的分布函数.

注意对于二维r.v.

PXa,Yc1F(a,c)

PXa,Yc(a,+)(+,+)

y

P(aX,cY)

c

1F(,c)(a,c)(+,c)

F(a,)F(a,c)ax

我们介绍了二维随机向量的概念,二维

随机向量的分布函数及其性质.

二维随机向量也分为离散型和连续型,

下面我们分别讨论它们.

二、二维离散型r.v.及其概率特性

定义若二维r.v.(X,Y)所有可能的取值为有

限多对或无穷可列多对,则称(X,Y)为二维离

散型r.v.

联合分布律设(X,Y)的所有可能的取值为

(xi,yj),i,j1,2,

则称

P(Xxi,Yyj)pij,i,j1,2,

为二维r.v.(X,Y)的联合概率分布,也简称概

率分布或分布律.

(X,Y)的联合分布律

Yyy

X1j显然，

xp11p1j

1pij0,(i,j1,2,)

pij1

xppi1j1

ii1ij

二维随机变量（X,Y）一维随机变量X

离散型离散型

和的联合概率分布

XYX的概率分布

P(Xx)p,

P(Xxi,Yyj)pij,kk

i,j=1,2,…k=1,2,…

p0,i,j1,2,pk0,k=1,2,…

ij

p1

ijp1

ijk

k

二维离散r.v.的联合分布函数

设二维离散型随机向量(X,Y)的分布律为

P(Xxi,Yyj)pij,i,j1,2,

于是(X,Y)的分布函数

F(x,y)P{Xx,Yy}PXx,Yy

ij

xix,yjy

F(x,y)PXxi,Yyj

xixyjy

pij

xixyjy

F(x,y)pij

xixyjy

pijU(xxi)U(yyj)

i1j1

其中0,x0

U(x)I(x0)

1,x0

已知联合分布律可以求出其联合分布函数;反之,

由分布函数也可求出其联合分布律

F(x,y)pijpijU(xxi)U(yyj)

xixyjyi1j1

例1一个口袋中有三只大小完全相同的球,球

分别标号为1，2，2，从中任取一只球不放

回，再从中任取一只球，每次从中取到各球

是等可能的，以X,Y分别表示第一、二次取到

球的号码，试求(X,Y)的联合概率分布函数。

解依题意

1

P(X1,Y1)0P(X1,Y2)

3

211211

P(X2,Y1)P(X2,Y2)

323323

(X，Y)的分布律。

XY12

101/3

21/31/3

其分布函数为

11

F(x,y)U(x1)U(y2)U(x2)U(y1)

33

1

U(x2)U(y2)

3

例2、设r.v.X在1，2，3，4中等可能取值，另一

r.v.Y在1到X中等可能取值，求r.v.(X，Y)的分布律。

11

解：P(Xi,Yj)P(Xi)P(Yj|Xi)

4i

(i1,2,3,4,ji)

XY1234

11000

4

21100

88

1

3110

121212

1111

416

161616

三、二维连续r.v.及其概率特性

定义设二维r.v.(X,Y)的分布函数为

F(x,y),若存在非负可积函数f(x,y),

使得对于任意实数x,y有

xy

F(x,y)f(u,v)dvdu

则称(X,Y)为二维连续型r.v.

f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度函数

简称概率密度函数简记p.d.f.

yx

F(x,y)f(u,v)dudv

二维随机变量（X,Y）

连续型一维随机变量X

连续型

X和Y的联合密度函数

的密度函数

f(x,y)X

f(x)

P{(X,Y)ÎA}

P{aXb}

f(x,y)dxdyb

AAR2f(x)dx

a

f(x,y)0

f(x)0

f(x,y)dxdy1

f(x)dx1

联合密度与联合分布函数的性质

1f(x,y)0

2f(x,y)dydx1

除p.d.f.的一般性质外还有下述性质

3对每个变元连续,在f(x,y)的连续点处

2F(x,y)

f(x,y)

xy

从而有P(xXxx,yYyy)

f(x,y)xy

4若G是平面上的区域，则

P{(X,Y)ÎG}=蝌f(x,y)dxdy

G

P(X=a,Y=b)=0

P(X=a,-<Y<+)=0

P(-<X<+,Y=a)=0

例3、设r.v.(X,Y)的密度函数

ce(2xy)x0,y0

f(x,y)

0其他

（1）试确定常数c,（2）求分布函数F(x,y)

（3）求P(YX).

解：（1）由f(x,y)dxdy1

[ce2xeydy]dx1

00c2

（2）由定义得xy

F(x,y)f(u,v)dudv

xy

2e2uevdudvx0,y0

00

0其他

(1-e-2x)(1-e-y)x0,y0

其他

0

x

2xy

（3）P(YX)f(x,y)dxdy2eedydx

00

G

2e2x(1ex)dx

0

1

3

例4设(X,Y)的概率密度函数为

A

f(x,y)x,yR

2(16x2)(25y2)

其中A是常数.(1)求常数A.

(2)求(X,Y)的分布函数；

解:(1)

A

dxdy1

2(16x2)(25y2)

A11

即dxdy1

2(16x2)(25y2)

1

dx,

16x24

1

dy

25y25

A

1A20

245

(2).F(x,y)

yx20

dudv

2(16u2)(25v2)

20x1y1

dudv

216u225v2

201x1y

arctgarctg

2442552

1x11y1

arctgarctg

4252

四、常用分布

I.多项分布

在n次独立重复试验中，每次试验有r个可能发

r

生的结果A1,A2,,Ar,P(Ai)pi,i1,r,pi1

i1

X表示这次独立重复试验中事件发生的次数

inAi

n!k1kr

P{X1k1,X2k2,,Xrkr}p1pr

k1!k2!kr!

k1k2krn

称(X1,X2,,Xr)服从多项分布。记作

(X1,X2,,Xr)~MN(n,p1,p2,,pr)

n!

注：pk1pkrn

1r为(pp)

k1!k2!kr!1r

展开式中的一项。参看第一章第六节的贝努

里定理。

II.超几何分布

一口袋中有N只球，其中有Ni只i号球,

N=N1+N2+…+Nr,从中任取n只球，以Xi表示取

出的取n只球中i号球的个数，则

Ck1Ck2Ckr

N1N2Nr

P{X1k1,X2k2,,Xrkr}n

CN

k1k2krn

称(X1,X2,,Xr)服从超几何分布。记作

(X1,X2,,Xr)~HG(n,N1,N2,,Nr)

III.均匀分布

定义设G是平面上的有界区域,面积为S

若r.v.(X,Y)的联合p.d.f.为

1/S,(x,y)G

f(x,y)

0,其他

则称(X,Y)服从区域G上的均匀分布,

记作U(G)

若(X,Y)服从G上的均匀分布，其特征性质为

（1）(X,Y)落在G中某一区域A内的概率

P{(X,Y)A},与A的面积成正比而与A的位

置和形状无关.

P{(X,Y)A}=A的面积/S;

（2）(X,Y)落在G中的概率为1，落在G外的概

率为0。

例5设(X,Y)~G上的均匀分布,

G(x,y)0yx,0x1

求

(1)f(x,y);

(2)P(Y>X2);

(3)(X,Y)在平面上的落点到

y轴距离小于0.3的概率.

解(1)

2,0yx,0x1

f(x,y)

0,其他

yy=x2

(2)P(YX2)

1xy=x

2dydx1

0x2

1/3.0G

1x

(3)P(|X|0.3)P(0.3X0.3)

1

2(0.3)20.09

2

y

y=x

1

00.31x

例7设(X,Y)服从圆域

x2+y2≤4上的均匀分布.计

算P{(X,Y)A},这里A是图

中阴影部分的区域

解:圆域x2+y2≤4的面积d=4

区域A是x=0,y=0和x+y=1三条直线所围成的三角区

域,并且包含在圆域x2+y2≤4之内,面积=0.5

∴P{(X,Y)A}=0.5/4=1/8

(IV)二维正态分布

若r.v.(X,Y)的联合为

1

f(x,y)

2

2121

1(x)2(x)(y)(y)2

12122

222

e2(1)1122

x,y

22

则称(X,Y)服从参数为1,1,2,2,的

22

正态分布,记作(X,Y)