4.5 特征函数（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版第4版）

《概率论与数理统计》

§4.5特征函数

一、概念

Def.1.设X,Y为(,ℱ,Ｐ)概率空间中的两个实随机变量,

则称Z=X+iY复随机变量,i2=-1.

性质1Z=X+iY为复随机变量,则EZ=EX+iEY

性质2Z=X+iY为复随机变量，对其进行研究等价于研究

二维r.v.(X,Y),有如下性质：

(1)Z1=X1+iY1,Z2=X2+iY2为复随机变量,则(X1,Y1)与(X2,Y2)

独立独立

Z1,Z2

(2)Z1=X1+iY1,Z2=X2+iY2为独立的复随机变量,则

EZ1Z2=EZ1EZ2

Def.2.设X为为(,ℱ,Ｐ)概率空间中的实随机变量,其特

征函数(c.f.)定义为(t)EeitXeitxdF(x)

XX

Remark1:Euler公式为eixcosxisinx

Remark2:特征函数是关于实变量t的复值函数,由于

|eitx||cos(tx)isin(tx)|1,所以特征函数对一切实

数t均有意义.

Remark3:特征函数只与分布有关,因此亦称为某分布的

特征函数

若离散型随机变量的分布律为

•XP(Xxi)pi,i1,2,

则其特征函数为itXitxj

X(t)Eepje

j1

•若连续型随机变量X的p.d.f.为pX(x)

则其特征函数为(t)EeitXeitxp(x)dx

XX

即为的变换

pX(x)Fourier.

重要分布的特征函数:

EX1退化分布I(x-c)的特征函数

itXict

X(t)Eee

EX20-1分布B（1，p)的特征函数

itX(t)peitq

X(t)EeX

EX3二项分布B（n，p)的特征函数

itn

X(t)(peq)

EX4均匀分布U（a,b)的特征函数

eibteiat

(t)

Xit(ba)

EX5Gamma分布(,)的特征函数

it

(t)1

X

p(x)x1exI(x0)

X()

2

EX6正态分布N(,)的特征函数

1

it2t21

(t)e2exp{it2t2}

X2

二、性质

性质1(t)为某随机变量的特征函数，则

(1)(0)1

(2)非负定，即

(t)nN,t1,t2,,tnR,

为复数，则有nn

1,2,,n

(tktl)kl0

k1l1

(3)(t)是连续函数.

注：上述三条性质为特征函数的特征性质，(t)

满足这三条性质，则其必为特征函数。

证明(1)(t)EeitX显然有(0)1

(2)(t)非负定，

nnnn

i(tktl)X

(tktl)klEekl

k1l1k1l1

nn

itkXitlX

E{eekl}

k1l1

nn

itkXitlX

E{kele}

k1l1

nnnn

itXitX

klitkXitlX

E{kele}Ekele0

k1l1k1l1

(3)itXihX

(th)(t)E{ei(th)XeitX}E{e(e1)}

eitx(eihx1)p(x)dxeitx(eihx1)p(x)dx

eihx1p(x)dxeihx1p(x)dxeihx1p(x)dx

|x|a|x|a

eihx1p(x)dx2p(x)dx

|x|a|x|a

hx

2sinp(x)dx2p(x)dx

|x|a2|x|a

2p(x)dx/2

0,先取定a,使|x|a

对于取,当时，有

x(a,a),2a|h|

hx

2sin|ha|/2

2

从而(th)(t)

从而(t)是连续函数.且一致连续。

性质2(t)为某随机变量的特征函数，则

(t)(0)1(t)(t)

性质3(t)为某随机变量X的特征函数，则Y=c1X+c2

的特征函数为ic2t

Y(t)e(c1t)

性质4为某随机变量，的特征函数，

X(t),Y(t)XY

若X，Y独立，则

XY(t)X(t)Y(t)

l

性质5X(t)为某随机变量X的特征函数，EX存在

则

(k)(0)

EXkX,k1,2,,l

ik

三、逆转公式与唯一性定理

引理1设x1x2,

1Tsint(xx)sint(xx)

12

g(T,x,x1,x2)dt

0tt

则

0，xx1orxx2

limg(T,x,x1,x2)1/2,xx1,orxx2

T

1,x1xx2

证明:根据Dirichlet积分：

1/2,0

1sint

D()dt0,0

0t

1/2,0

limg(T,x,x1,x2)D(xx1)D(xx2)

T

定理1（逆转公式）设分布函数Ｆ(x)的特征函数为(t)

且x1,x2为Ｆ(x)的连续点，则

itxitx

1Te1e2

F(x2)F(x1)lim(t)dt

T2Tit

证明：不妨设x1x2由于

itxitxitxitx

T12T12

1ee1itxee

I(t)dtedF(x)dt

T2Tit2Tit

由Fubini定理交换积分次序得到

itxitx

T12

1itxee

I[edt]dF(x)

T2Tit

it(xx)it(xx)

T12

1ee

[dt]dF(x)

2Tit

T

1sint(xx1)sint(xx2)

[2dt]dF(x)

20t

g(T,x,x,x)dF(x)

12

由引理1知g(T,x,x1,x2)有界，

因此由勒贝格控制收敛定理并利用引理可得

limITlimg(T,x,x1,x2)dF(x)

TT

x

2p(x)dx

x1

F(x2)F(x1)

定理2（唯一性定理）分布函数由特征函数唯一确定

证明：应用逆转公式，在F(x)的每一连续点上，当y

沿F(x)连续点趋于时，有

ityitx

T

1ee

F(x)F()2limlim(t)dt

yTTit

而分布函数由其连续点上的值唯一确定，定理2得证。

由唯一性定理可知，特征函数唯一确定分布，因而特

征函数也完整地描述了随机变量，特别当p(x)绝对可积

时，有以下更强结果。

定理3（Fourier逆变换）若(t)dt

则相应的分布函数F(x)的导数存在且连续，且有

1

F(x)eitx(t)dt

2

证明：由逆转公式，如x,x为F(x)的连续点，则

T

1sintitx

F(x)F(x)limte(t)dt

TT

因此

T

F(x)F(x)1sintitx

lim2te(t)dt

2TT

由于

sint

eitx(t)(t)

t

因此由控制收敛定理知：

F(x)F(x)

F(x)lim

T2

1

eitx(t)dt

2

四、分布函数的再生性

许多重要的分布函数具有一个有趣的性质——再生

性。这个性质用特征函数来研究最方便，下面通过几个

例子来说明。

若且独立，则

EX5X1B(n,p),X2B(m,p)X1,X2

YX1X2B(mn,p)

证明：(t)(peitq)n,(t)(peitq)m

X1X2

所以(t)(t)(t)(peitq)mn

YX1X2

由唯一性定理知

YB(mn,p)

且独立，则

EX6X1P(1),X2P(2)

YX1X2P(12)

证明：

itit

(t)e1(e1),(t)e2(e1)

X1X2

it

(t)(t)(t)e(12)(e1)

YX1X2

所以YP(12)

22

EX7X1N(1,1),X2N(2,2)且独立，则

22

X1X2N(12,12)

证明：

it12t2it12t2

(t)e121,(t)e222

X1X2

1222

i(12)t2(12)t

Y(t)e

所以

22

YN(12,12)

五、多元特征函数

若随机向量T的分布函数为

(X1,X2,,Xn)

则它的特征函数定义为

F(x1,x2,,xn)

(t,t,,t)ei(t1x1tnxn)dF(x,x,,x)

12n12n

通常记TT

t(t1,t2,,tn),x(x1,x2,,xn)

则上式表示为

TT

(t)EeitXeitxdF(x)

类似地有下列若干性质

（1）在n中一致连续，且

(t1,t2,,tn)R

(0,,0)1,(t1,t2,,tn)1(t1,t2,,tn)(t1,t2,,tn)

（2）若(t1,t2,,tn)为(X1,X2,,Xn)的特征函数，则

的特征函数为

Yc1X1cnXn

Y(t)(c1t1,c2t2,,cntn)

k1kn存在，则

（3）若矩E(X1Xn)

n

kj

k1knf(t,t,,t)

k1knj112n

E(X1Xn)i[k1kn]tt0

t1tn1n

（4）的特征函数为

(X1,X2,,Xn)(t1,t2,,tn)

的特征函数为

则k维随机向量(X1,X2,,Xk)

(t1,t2,,tk)(t1,t2,,tk,0,,0)

（5）（逆转公式）若(t1,t2,,tn)为(X1,X2,,Xn)

为分布函数，则

的特征函数，而F(x1,x2,,xn)

P(akxkbk)

TTn

11neitkakeitkbk

limnit(t1,t2,,tn)dt1dtn

T(2)TTk

j1nk1

j1,,n

其中为任意实数，但满足唯一的要求：

ak,bk

(x,x,,x)落在平行线

12nakxkbk

的面上的概率等于0

（6）（唯一性定理）分布函数由其

F(x1,x2,,xn)

特征函数唯一确定。

特征函数为

（7）(X1,X2,,Xn)(t1,t2,,tn)

而r.v.X的特征函数为(t)

jXj

X1,X2,,Xn相互独立,有

(t,t,,t)(t)(t)

12nX11Xnn

（8）T的特征函数为

(X1,X2,,Xn)1(t1,t2,,tn)

T(t,t,,t)

(Y1,Y2,,Ym)的特征函数为212m

T与T独立，

则(X1,X2,,Xn)(Y1,Y2,,Ym)

T

(X1,X2,,Xn,Y1,Y2,,Yn)的特征函数

(t1,,tn;tn1,,tnm)

满足：

(t1,,tn;tn1,,tnm)1(t1,,tn)2(tn1,,tnm)

（9）（连续性定理）若特征函数序列{k(t1,,tk)}

,则函数

收敛于一个连续函数(t1,t2,,tn)

(t1,t2,,tn)是某分布函数所对应的特征函数。

这个性质的一维结果以后叙述并证明，为应用方便，

我们将常用分布的一些结果列入下表

分布名称分布或密度函数期望方差特征函数

退化分布XCC0

p1Exp{ict}

ppqpExp{it}+q

0-1分布X01

pqp

kknkitn

二项分布P(Xk)Cnpqnpnpq(peq)

it

k(e1)

泊松分布P(Xk)e

k!

it

几何分布P(Xk)qk1p1qpe

2

pp1qeit

1(x)2

正态分布2

p(x)1e22it12t2

2e2

2

1ab(ba)itbita

均匀分布p(x)I(axb)ee

ba212ba

指数分布x12it

p(x)eI(x0)(1)

分布p(x)x1ex(x0)12it1

()(1)

2n11x

122n

分布p(x)nxe(x0)2

2n(12it)

2(2)n2n

分布(n1)2n1

2x2

tp(x)n(n)(1n)n

20(n1)(n2)

n2

多元正态分布

一、密度函数与特征函数

记X(X,,X)T其中为随机变量

1nXi(i1,,n)

则X的数学期望定义为

TT

EX(EX1,,EXn)(1,,n)

其二阶中心矩定义为

T

E(XEX)(XEX)

E[(X1EX1)(X1EX1)]E[(X1EX1)(XnEXn)]

E[(XnEXn)(X1EX1)]E[(XnEXn)(XnEXn)]

Cov(X1,X1),,Cov(X1,Xn)

Cov(Xn,X1),,Cov(Xn,Xn)

称为协方差矩阵，也称为随机向量X的方差，

由上述定义可以看出：协方差阵的对角元素为X1,X2,,Xn

的方差，协方差有下列性质：

（1）为对称阵即T

（2）为非负定矩阵，记为0

Proof:

（1）显然

（2）

xTxxTE(XEX)(XEX)Tx

E[xT(XEX)(XEX)Tx]

E{[xT(XEX)]2}0

所以非负定

（3）X为n维随机向量，A,B为n阶方阵，则

Cov(AX,BX)ABT

Proof

cov(AX,BX)E[(AXEAX)(BXEBX)T]

AE[(XEX)(XEX)T]BT

ABT

对于n维X的n元正态分布的定义为

11T1

p(x)n1exp{2(x)(x)}

(2)22

Th1、若则T1T

XN(,)(t)exp{it2tt}

T

(t)eitxp(x)dx

Proof:Rn

1T

eitxexp{1(x)T1(x)}dx

n1n2

(2)22R

由于0为正定阵，则存在可逆阵P，使

PPT

令yP1(x),xPy,dxPdy

1T

则(t)eit(Py)exp{1yTy}Pdy

n1n2

(2)22R

1TT1yTy

eitPyeite2dy

nn

(2)2R

令TT

SPt(s1,,sn)

1TitT1yTy

(t)eisye2dy

nn

(2)2R

nn

12

isiyiyi

T2

eitei1ei1dy

Rn

T1y21y2

eiteis1y11e21dyeisnyn1e2ndy

R21R2n

n

12

sj

T2

eitej1

itT1sTs

e2

itT1tTt

e2

Th2、若T

(X1,,Xn)N(,)

则独立的充要条件为:

X1,,Xn

X1,,Xn不相关.

Pf:""相互独立，则根据独立性

X1,,Xn

与不相关概念知不相关.

X1,,Xn

""若X1,,Xn不相关，则

22

diag(1,,n)

iTt1tTt

(t)e2

nn

122

ijtj2jtj

ej1j1

n

it12t2

ejj2jj

j1

n

(t)

Xjj

j1

由特征函数的性质知：

X1,,Xn相互独立。

Th3、若XN(,)A为n阶矩阵，则

YAXN(A,AAT)

iTt1tTt

Proof:2

X(t)e

itTYitTAX

Y(t)EeEe

TT

Eei(At)X

i(ATt)T1(ATt)T(ATt)

e2

i(ATt)T1tTAATt

e2

即正态分布的线性组合仍服从正态分布

（柯赫伦定理）

n

设且2

X1,,XniidN(0,1)Q1QkXi

i1

其中是秩为n关于的非负定二次

Qi(i1,k)i(X1,,Xn)

型，则相互独立且Q2(n)nnn

Qiii1k

Pf:显然；

“”由于的秩为，则根据线性代数知识：

Qini

n

：Y

存在线性变换jpjlXj

l1

n1ni

使Qy2

ij

jn1ni11

TT

X(X1,,Xn),Y(Y1,,Yn),

p11p1n

P,YPX

pn1pnn

XTXYTYZTPTPZ,PTPI

独立且2

QiQi(ni)

分布函数的其他特征数

1,k阶矩

、k阶原点矩

Def1kEXk

k阶中心矩

kE(XEX)k

性质：，2

10221

3

3331221

24

4443162131

、2求

ex1XN(0,)k

0

解：k

kEXk

(k1)(k3)

24

10,2,30,43

2、变异系数

方差（或标准差）反映了随机变量取值的波动程度，

但是比较两个R.V波动大小时，仅看方差大小有时会产

生很不合理的现象，这里有两个原因:(1)随机变量的取

值有量纲；不同量纲的随机变量用方差（或标准差）

比较波动大小，不太合理。（2）若随机变量量纲相

同，取值的大小有一个相对性的问题，通常情况下引

入变异系数的概念。

定义

VarX(X)

C(X)

vEXEX

称为r.v.X的变异系数。

3、分位数

Def3、r.v.XF(x)

x

F(x)pp(x)dxp

p