第九章 方差分析（课件）- 《统计学（第二版） 》同步教学（人民大学版）

§1基本问题

§2单因素方差分析

§3双因素方差分析

2

§1.1方差分析概念

§1.2方差分析的思想

§1.3方差分析中的假定

3

方差分析

–方差分析是通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型自变

量对数值型因变量是否有显著影响。

–方差分析不仅可以提高检验的效率，同时由于它是将所有的样

本信息结合在一起，也增加了分析的可靠性。

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【例9.1】某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四

种，分别为橘黄色、粉分、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、

味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置

相似、经营规模相仿的五家超市收集了前一时期该饮料的销售情况，

如表9—1所示。试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。

表9—1不同颜色饮料在五家超市的销售情况单位：箱

5

解题思路：

要判断“颜色”对“销量”是否有显著影响，实际上就是

要分析四种颜色之间销量是否有显著差异，最终被归结为检

验这四种颜色饮料销量的均值是否相等。

如果它们的均值相等，即四种不同颜色饮料之间的销售量

没有显著差异，就意味着“颜色”对销售量没有显著影响；

反之，如果它们的均值不全相等，则意味着“颜色”对销售

量是有显著影响。

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因素（因子）

在方差分析中，被检验是否有影响作用的对象称为因素或因子。

水平（处理）

因素的不同表现称为水平或处理。

观测值

每个因子水平下得到的样本数据称为观测值。

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1．两类误差

方差分析名称来源

方差分析两类误差（从误差来源的角度）

•随机误差

•系统误差

方差分析两类误差（从总误差分解的角度）

•组内误差

•组间误差

–通常数据误差分解是从总误差分解的角度来研究的。

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总平方和

如果用平方和表示数据的误差，那么反映全部数据误差大小的平

方和称为总平方和，记为SST。

误差平方

反映组内误差大小的平方和称为组内平方和，也称为误差平方和

或残差平方和，记为SSE。

因素平方和

反映组间误差大小的平方和称为组间平方和，也称为因素平方和，

记为SSA。

9

数据误差分解过程如图9—1所示。

图9—1误差分解示意图

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2．误差分析

组间均方、组内均方

组间误差、组内误差经过平均后的数值分别称为组间均方、

组内均方。

因素（自变量）与因变量的关系判定

•如果因素（自变量）对因变量没有影响，那么在组间误差中

只包含随机误差，而没有系统误差，这时组间均方与组内均

方之比就会接近1；

•如果因素（自变量）对因变量有影响，则组间误差中除包含

随机误差外，还会包含系统误差，这时组间均方就会大于组

内均方，二者的比值就会大于1。当比值大至某种程度时，

就认为因素的不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量

对因变量有显著影响。

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方差分析三个假定

1.每个总体都应服从正态分布

2.每个总体的方差相等

3.观测值彼此独立

12

§2.1数据结构

§2.2分析步骤

13

首先引入单因素方差分析的数据结构问题。进行单因素方差

分析时，所要求的数据结构形如下表9—2：

表9—2单因素方差分析的数据结构

14

单因素方差分析的步骤

1．提出假设，即设立原假设与备择假设

2．构造检验统计量及确定分布

3．依据样本信息汁算该检验统计量的实际值

4．设定检验的显著性水平并确定临界值

5．比较理论值（临界值）与实际值大小，进行决策

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1．提出假设，即设立原假设与备择假设

H0:12ir

各因子水平下因变量的均值相等（因子影响作用不显著）

，，，

H1:ii12r不全相等

各因子水平下因变量均值不全相等（因子的影响作用显著）

其中，i为因素第i个水平下的总体均值。

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2．构造检验统计量及确定分布

总平方和

反映全部数据误差大小的平方和称为总平方和，记为SST。

rm

2

SSTxijx

组间平方和i1j1

反映组间误差大小的平方和称为组间平方和，也称为因素平方和，记

为。rm

SSA.2

SSAxix

i1j1

组内平方和

反映组内误差大小的平方和称为组内平方和，也称为误差平方和或残

rm

差平方和，记为SSE。2

SSExijxi

i1j1

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下式可以用于验证计算的正确性：

SSTSSASSE

自由度

SST的自由度为n-1；

SSA的自由度为r-1；

SSE的自由度为n-r。

n=rm为总观测值个数

r为因素水平数

m为每个水平下的观测值个数

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组间均方MSA计算公式

组间平方和SSA

MSA

自由度r1

组内均方MSE计算公式

组内平方和SSE

MSE

自由度nr

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F统计量

将MSA与MSE进行对比，得到的比值即为需要的检验统计量F统计

量。

当原假设H0为真时，该比值服从分子自由度为r-1、分母

自由度为n-r的F分布，即

MSA

F~Fr1，nr

MSE

20

3．依据样本信息计算该检验统计量的实际值

（1）计算各个因素水平下的样本均值

（2）计算所有因素水平下全部样本的总均值

（3）计算误差平方和

（4）计算组间均方和组内均方及检验统计量的样本值

21

（1）计算各个因素水平下的样本均值

1m

xixij

mj1(i1，2，，r)

（2）计算所有因素水平下全部样本的总均值

1r1rm1rm

xxixijxij

ri1rmi1j1ni1j1

（i1，2，，r；j1，2，，m）

其中：xij表示第i个水平下的第j个样本观测值；

m为该水平下的样本观测值个数；

r为所有因素水平个数，且nrm。

22

（3）计算误差平方和

rm

2

SSTxijx

i1j1

rm

2

SSAxix

i1j1

rm

2

SSExijxi

i1j1

23

（4）计算组间均方和组内均方及检验统计量的样本值

SSA

MSA

r1

SSE

MSE

nr

MSA

F

MSE

24

4．设定检验的显著性水平并确定临界值

根据事先设定的显著性水平，在F分布表中查找分子自

由度为、分母自由度为dfnr所对应的临界值

df1r12

Fr1，nr。

5．比较理论值（临界值）与实际值大小，进行决策

通过比较检验统计量的样本值和理论值（临界值）的大小

判断原假设的拒绝情况。

具体判断原则为：

，

如果FFr1nr，则拒绝原假设；

如果FFr1，nr，则不能拒绝原假设。

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这个分析步骤可以用表格9—3表示，通常称该表格为方差分

析表，具体格式如下：

表9—3单因素方差分析表的一般格式

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【例9.2】某新品药进入效果测试阶段，测试人员希望了解

该药品在不同年龄段人群身上的药效是否相同，因该药对

骨骼生长发育具有强烈抑制作用，故未成年人不在试验范

围内，因而将试药人群分为21~30、31~40、41~50和51~60

四个年龄段，每个年龄段有10名受试者，在其他各项条件

都相同情况下开展试验。试验开始后，分别测量每个受试

者某项身体指标值，数据见表9—4。

根据上面的实验数据，请分析该新药在不同年龄段人群

的药效是否相同，即年龄是否影响该药品效果的一个因素？

（）0.05

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表9—4新品药效果试验数据

受试者序号21～30年龄段31～40年龄段41～50年龄段51～60年龄段

141403938

240394137

341424239

438394035

539413936

637424238

741403936

842424740

943393541

1038413635

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解：首先，根据题意设定原假设与备择假设：

H0:1234

，，，不全相等

H1:ii1234

接下来，依据样本数据信息汁算检验统计量的实际值：

已知：m10，r4，nrm40。

（1）计算各个因素水平下的样本均值

1m1

x1x1j41403840

mj110

1

x40394140.5

210

1

x39413640

310

1

x38373537.5

410

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（2）计算所有因素水平下全部样本的总均值

1r1

xxi4040.54037.539.5

ri14

（3）计算误差平方和

rm

2

SSTxijx244

i1j1

rmr

22

SSAxix10xix55

i1j1i1

rm

2

SSExijxi189

i1j1

显然有：SSTSSASSE

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（4）计算组间均方和组内均方及检验统计量的样本值

SSA55

MSA18.333df13

r13

SSE189

MSE5.25df236

nr36

MSA18.333

F3.492

MSE5.25

根据事先设定的显著性水平0.05，在F分布表中查找分子自由度为

，

、分母自由度为所对应的临界值F0.05336在2.84~2.92

df13df236

之间，显然，，，因此拒绝原假设，即1234

FF0.05336

不成立，表明该新药在各个不同年龄段水平下的药效存在显著差异，

即年龄是影响该新药药效的一个显著因素。

31

§3.1数据结构

§3.2分析步骤

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在无交互作用的双因素方差分析中，获取数据时，往往将两个因素

分别作为试验数据表的行因素和列因素。

假如要考虑A因素和B因素对考察对象的影响作用，设试验中，A因

素有r个水平，B因素有k个水平，则进行双因素方差分析的试验数

据表结构应形如表9—6。

表9—6

双

因

素

方

差

分

析

的

数

据

结

构

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双因素方差分析的步骤

1．提出原假设与备择假设

2．构造检验统计量及确定分布

3．依据样本信息汁算该检验统计量的实际值

4．设定检验的显著性水平并确定临界值

5．比较理论值（临界值）与实际值大小，进行决策

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1．提出原假设与备择假设

对行因素提出的原假设应为：

H0:12ir

，，，

H1:ii12r不全相等

其中，i为行因素第i个水平下的总体均值。

对列因素提出的原假设应为：

H0:12jk

，，，不全相等

H1:jj12k

其中，j为列因素第j个水平下的总体均值。

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2．构造检验统计量及确定分布

SST是全部样本观察值x（iji1，2，，；rj1，2，，k)与

总的样本均值x的误差平方和，用公式表示为：

rkrkrkrk

2222

xxxxxxxx

SSTxijxijijij

i1j1i1j1i1j1i1j1

其中，

k

1表示行因素第个水平下的样本均值；

xixiji

kj1

1r

xjxij表示列因素第j个水平下的样本均值；

ri1

1rm

xxij表示所有样本的均值。

rmi1j1

36

总误差平方和的分解部分

rk

2

1.行因素角度SSR：SSRxix

i1j1

rk

列因素角度：2

2.SSCSSCxjx

i1j1rk

2

3.随机因素影响造成的误差平方和SSE：SSExijxixjx

i1j1

–用于验证的关系：SSTSSRSSCSSE

各平方和的自由度

SST的自由度为n-1；

SSR的自由度为r-1；

SSC的自由度为k-1；

SSE的自由度为(r-1)*(k-1)。

其中，n=rk为总观测值个数，r为行因素水平数，k为列因素水平数。

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各均方计算公式

SSR

行因素的均方：MSR

r1

SSC

行因素的均方：MSC

k1

SSE

随机误差项的均方：MSE

r1k1

构造行因素和列因素检验统计量F统计量

MSR

检验行因素的统计量：F~Fr1，r1k1

RMSE

MSC

检验列因素的统计量：F~Fk1，r1k1

CMSE

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3．依据样本信息计算该检验统计量的实际值

（1）分别计算行因素、列因素各个水平下的样本均值

（2）计算所有因素水平下全部样本的总均值

（3）计算误差平方和

（4）计算行因素、列因素检验统计量的样本值

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4．设定检验的显著性水平并确定临界值

根据事先设定的显著性水平，在F分布表中查找行因

素、列因素统计量相对应的临界值Fr1，r1k1、

Fk1，r1。k1

5．比较理论值（临界值）与实际值大小，进行决策

分别比较行、列因素检验统计量的样本值与其相对应的理

论值（临界值）大小，判断原假设的拒绝情况，进行决

策。

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双因素方差分析的步骤可以用表格9—7表示，该表也称为方

差分析表，具体格式如下：

表9—7双因素方差分析表的一般格式

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【例9.3】某品牌饮料生厂商要分析饮料颜色和销售地区对该饮料销售量

的影响作用，分别将该品牌的饮料调制成四种颜色后，在五个地区进行

销售，通过一周的销售试验，得到以下数据（表9—8）：请在置信度

0.05的水平下，分析饮料颜色和地区这两个因素对于销售量是否有

显著影响？

表9—8饮料销售试验数据

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解：根据题意：r4，k5，nrk20，0.05

对行、列因素分别建立假设：

H0:1234

行因素：

，，，不全相等

H1:ii1234

列因素：H0:12345

，，，，不全相等

H1:jj12345

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依据样本数据信息计算检验统计量的实际值：

（1）计算各个因素水平下的样本均值，用表格形式表示为：

注：右下角的灰色底纹单元格内表示全部样本观测值的均值，即x。

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（2）计算各项误差平方和

rk

2

SSTxijx17058.95

i1j1

rk

2

SSR