2023考研全国统考数学三期中试卷（考点速记版）

2023考研全国统考数学三期中试卷（考点速记版）（数学三）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡上。）1.设函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上可导，且$\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=1$，$f'(x)>0$，则当$x>1$时，有（）A.$f(x)>f(1)+x$B.$f(x)<f(1)+x$C.$f(x)=f(1)+x$D.$f(x)\geqf(1)+x$2.已知函数$f(x)=\frac{1}{3}\lnx-\frac{1}{3}x^3$，则下列关于$f(x)$的描述正确的是（）A.$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增B.$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减C.$f(x)$在$(0,e)$上单调递增，在$(e,+\infty)$上单调递减D.$f(x)$在$(0,e)$上单调递减，在$(e,+\infty)$上单调递增3.设函数$f(x)=\begin{cases}(x-1)^2\sin\frac{1}{x-1}&x\neq1\\0&x=1\end{cases}$，则$f(x)在x=1处（）$A.不可导B.可导但导数不为0C.可导且导数为0D.连续但不可导4.设函数$y=y(x)$由方程$\mathrm{e}^{xy}+xy^3=1$确定，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$在点$(0,1)$处的值为（）A.1B.-1C.0D.不存在5.设函数$f(x)=\int_0^x(t^2-1)\mathrm{e}^{t^2}dt$，则$f(x)$的极值点为（）A.0B.1C.-1D.无极值点6.设函数$y=y(x)$由方程$2y^3-2y+x^2=1$确定，则$\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$在点$(1,1)$处的值为（）A.1B.-1C.0D.不存在7.设函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，则$f(x)$在$(0,+\infty)$上的渐近线为（）A.$y=0$B.$y=1$C.$y=x$D.$y=-1$8.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)\mathrm{d}t$，则$f'(x)$等于（）A.$\sin(x^2)$B.$\cos(x^2)$C.$2x\sin(x^2)$D.$2x\cos(x^2)$9.设函数$y=\ln(\sqrt{1+x^2}+x)$，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$等于（）A.$\frac{1}{1+x^2}$B.$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$C.$\frac{x}{1+x^2}$D.$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$10.设函数$f(x)=x^3\mathrm{e}^{-x}$，则$f(x)$的拐点为（）A.(0,0)B.(1,0)C.(2,0)D.不存在二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在答题卡上。）1.$\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^x-\cosx}{x^2}=$2.设函数$f(x)=\begin{cases}x^2&x\leq0\\ax+b&x>0\end{cases}$在$x=0$处可导，则$a=$，$b=$3.$\int_0^1\frac{x}{1+x^2}\mathrm{d}x=$4.设函数$y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$，则$y'$等于5.设函数$f(x)=\int_0^x\sin(t^2)\mathrm{d}t$，则$f''(0)$等于6.设函数$y=y(x)$由方程$2y^3-2y+x^2=1$确定，则$\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=1}=$三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）标准答案及解析一、单项选择题1.C解析：由$\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=1$得$f'(1)=1$，又$f'(x)>0$，故$f(x)$在$x=1$处单调递增，即当$x>1$时，$f(x)>f(1)+f'(1)(x-1)=f(1)+x$。2.C解析：$f'(x)=\frac{1}{x}-x^2$，令$f'(x)=0$得$x=\sqrt[3]{\frac{1}{\mathrm{e}}}=e^{-1}$，当$x\in(0,e^{-1})$时$f'(x)>0$，当$x\in(e^{-1},+\infty)$时$f'(x)<0$，故$f(x)$在$(0,e^{-1})$上单调递增，在$(e^{-1},+\infty)$上单调递减。3.C解析：$\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)^2\sin\frac{1}{x-1}}{x-1}=\lim_{x\to1}(x-1)\sin\frac{1}{x-1}=0$，故$f'(1)=0$。4.B解析：对方程$\mathrm{e}^{xy}+xy^3=1$两边关于$x$求导得$\mathrm{e}^{xy}(y+xy')+(y^3+3xy^2y')=0$，在点$(0,1)$处代入得$\mathrm{e}^0(1+0)+(1+0)=0$，解得$y'=-1$。5.A解析：$f'(x)=(x^2-1)\mathrm{e}^{x^2}$，令$f'(x)=0$得$x=\pm1$，当$x\in(0,-1)$时$f'(x)>0$，当$x\in(-1,0)$时$f'(x)<0$，当$x\in(0,1)$时$f'(x)<0$，当$x\in(1,+\infty)$时$f'(x)>0$，故$x=0$为$f(x)$的极大值点。6.A解析：对方程$2y^3-2y+x^2=1$两边关于$x$求导得$6y^2y'-2y'+2x=0$，在点$(1,1)$处代入得$6y'-2y'+2=0$，解得$y'=1$；再对$6y^2y'-2y'+2x=0$两边关于$x$求导得$12yy''(y')+6y'^2-2y''+2=0$，在点$(1,1)$处代入得$12y''+6-2y''+2=0$，解得$y''=1$。7.A解析：$\lim_{x\to0^+}\frac{\lnx}{x}=0$，故$y=0$为$f(x)$的水平渐近线。8.A解析：由微积分基本定理得$f'(x)=\sin(x^2)$。9.D解析：$y'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}\cdot\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$。10.B解析：$f'(x)=3x^2\mathrm{e}^{-x}-x^3\mathrm{e}^{-x}=x^2\mathrm{e}^{-x}(3-x)$，令$f'(x)=0$得$x=0$或$x=3$，$f''(x)=2x\mathrm{e}^{-x}(3-x)-x^2\mathrm{e}^{-x}(1-x)=x\mathrm{e}^{-x}(5-3x+x^2)$，当$x=1$时$f''(1)=2\mathrm{e}^{-1}>0$，故$x=1$为$f(x)$的拐点。二、填空题1.1解析：$\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^x-\cosx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^x+\sinx}{2x}=\frac{1+0}{2}=1$。2.1,0解析：$f(x)$在$x=0$处可导，故$\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$，即$\lim_{x\to0^+}\frac{x^2-0}{x}=1=\lim_{x\to0^-}\frac{ax+0}{x}$，故$a=1$；又$f(0)=0$，故$b=0$。3.$\frac{1}{2}\ln2$解析：$\int_0^1\frac{x}{1+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int_0^1\frac{\mathrm{d}(1+x^2)}{1+x^2}=\frac{1}{2}\ln(1+x^2)\bigg|_0^1=\frac{1}{2}\ln2$。4.$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$解析：$y'=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\left(1+\frac{x}{2\sqrt{1+x^2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$。5.1解析：$f'(x)=\sin(x^2)$，$f''(x)=2x\cos(x^2)$，故$f''(0)=0$。6.1解析：对方程$2y^3-2y+x^2=1$两边关于$x$求导得$6y^2y'-2y'+2x=0$，在点$(1,1)$处代入得$6y'-2y'+2=0$，解得$y'=1$。三、解答题1.解：$\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^x-\cosx-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^x+\sinx-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^x+\cosx}{2}=\frac{2}{2}=1$。2.解：$f'(x)=(x^2-1)\mathrm{e}^{x^2}$，令$f'(x)=0$得$x=\pm1$，当$x\in(-\infty,-1)$时$f'(x)>0$，当$x\in(-1,0)$时$f'(x)<0$，当$x\in(0,1)$时$f'(x)<0$，当$x\in(1,+\infty)$时$f'(x)>0$，故$f(x)$在$x=-1$处取得极大值，在$x=1$处取得极小值；$f(-1)=\int_0^{-1}(t^2-1)\mathrm{e}^{t^2}\mathrm{d}t=-\int_0^{-1}(1-t^2)\mathrm{e}^{t^2}\mathrm{d}t$，$f(1)=\int_0^1(t^2-1)\mathrm{e}^{t^2}\mathrm{d}t=\int_0^1(1-t^2)\mathrm{e}^{t^2}\mathrm{d}t$，故$f(-1)=-f(1)$，即极大值与极小值互为相反数。3.解：对方程$\mathrm{e}^{xy}+xy^3=1$两边关于$x$求导得$\mathrm{e}^{xy}(y+xy')+(y^3+3xy^2y')=0$，解得$y'=-\frac{\mathrm{e}^{xy}y+y^3}{\mathrm{e}^{xy}x+3xy^2}$；再对$y'=-\frac{\mathrm{e}^{xy}y+y^3}{\mathrm{e}^{xy}x+3xy^2}$两边关于$x$求导得$y''=-\frac{(\mathrm{e}^{xy}y+y^3)'(\mathrm{e}^{xy}x+3xy^2)-(\mathrm{e}^{xy}y+y^3)(\mathrm{e}^{xy}x+3xy^2)'}{(\mathrm{e}^{xy}x+3xy^2)^2}$，在点$(0,1)$处代入得$y''=-2$。4.解：$\int\frac{x}{(1+x^2)^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}(1+x^2)}{(1+x^2)^2}=-\frac{1}{2(1+x^2)}+C$。5.证明：令$F(x)=x^2f(x)$，则$F'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)$，由罗尔定理得存在$\xi\in(a,b)$，使得$F'(\xi)=0$，即$2\xif(\xi)+\xi^2f'(\xi)=0$，故$\xif'(\xi)=-2f(\xi)$。6.解：$f'(x)=3x^2\mathrm{e}^{-x}-x^3\m