2022考研四川大学数学分析历年真题（查漏补缺专用）

2022考研四川大学数学分析历年真题（查漏补缺专用）（四川大学数学分析考研真题（2022）查漏补缺专用试卷）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡上对应题号后的括号内。）1.设函数$f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，且$\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^2}=1$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在$x_0$处可导，且$f'(x_0)\neq0$B.$f(x)$在$x_0$处不可导，但$f(x)$在$x_0$处取得极值C.$f(x)$在$x_0$处连续，但不一定可导D.$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$不存在2.设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$的充分必要条件是（）A.$f(x)$在$[a,b]$上单调B.$f(x)$在$(a,b)$内存在驻点C.$f(x)$在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$D.$f(x)$在$(a,b)$内可导且$f'(\xi)\neq0$3.设函数$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x^2}&x\neq0\\0&x=0\end{cases}$，则$f(x)$在$x=0$处（）A.不连续B.连续但不可导C.可导且$f'(0)=0$D.可导且$f'(0)\neq0$4.设数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+\frac{1}{a_n^2}$（$n\geq1$），则$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$等于（）A.1B.2C.$\infty$D.不存在5.设函数$f(x)$在$(a,b)$内连续，且对任意$x_1,x_2\in(a,b)$，都有$f(\frac{x_1+x_2}{2})\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在$(a,b)$内道罗夫斯基（Jensen）不等式，下列函数中满足此性质的是（）A.$f(x)=x^2$B.$f(x)=\lnx$C.$f(x)=e^x$D.$f(x)=\sinx$6.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且对任意$x\in(a,b)$，都有$\int_a^xf(t)dt\geq0$，则下列结论正确的是（）A.$f(x)$在$[a,b]$上非负B.$f(x)$在$[a,b]$上非正C.$\int_a^bf(x)dt\geq0$D.$\int_a^bf(x)dt\leq0$7.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且对任意$x_1,x_2\in[a,b]$，都有$|f(x_1)-f(x_2)|\leq|x_1-x_2|$，则称$f(x)$在$[a,b]$上一致连续，下列函数中在$[0,1]$上一致连续的是（）A.$f(x)=x^2$B.$f(x)=\ln(1+x)$C.$f(x)=\sqrt{x}$D.$f(x)=\sinx$8.设函数$f(x)$在$(a,b)$内可导，且$f'(x)$在$(a,b)$内连续，则$f(x)$在$(a,b)$内（）A.必定一致连续B.必定连续C.必定可积D.必定满足中值定理9.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且对任意$x\in[a,b]$，都有$0\leqf(x)\leq1$，则下列结论正确的是（）A.$\int_a^bf(x)dt=0$B.$\int_a^bf(x)dt=1$C.$\int_a^bf(x)dt\leqb-a$D.$\int_a^bf(x)dt\geqb-a$10.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且对任意$x\in[a,b]$，都有$f(x)>0$，则下列结论正确的是（）A.$\int_a^bf(x)dt>0$B.$\int_a^bf(x)dt<0$C.$\int_a^bf(x)dt=0$D.$\int_a^bf(x)dt$的符号无法确定二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填在答题卡上对应题号后的横线上。）1.设函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$f(0)=0$，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，则$f'(0)=$__________。2.设数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+\frac{1}{a_n^2}$（$n\geq1$），则$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$=$__________$。3.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且对任意$x_1,x_2\in[a,b]$，都有$f(\frac{x_1+x_2}{2})\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在$[a,b]$上道罗夫斯基（Jensen）不等式，若$f(x)=\lnx$，则对任意$x_1,x_2\in(0,+\infty)$，都有$\ln\frac{x_1+x_2}{2}\leq\frac{\lnx_1+\lnx_2}{2}$，请写出证明过程。4.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且对任意$x\in(a,b)$，都有$\int_a^xf(t)dt\geq0$，则$\int_a^bf(x)dt$的符号为__________。5.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且对任意$x_1,x_2\in[a,b]$，都有$|f(x_1)-f(x_2)|\leq|x_1-x_2|$，则称$f(x)$在$[a,b]$上一致连续，请证明$f(x)=\sqrt{x}$在$[0,1]$上一致连续。6.设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且对任意$x\in[a,b]$，都有$f(x)>0$，请证明$\int_a^bf(x)dt>0$。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.（10分）设函数$f(x)$在$x=0$的某邻域内有定义，且$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^3}=1$，证明：$f(x)$在$x=0$处三阶可导，并求$f'''(0)$。2.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，证明：存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。3.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且对任意$x_1,x_2\in[a,b]$，都有$f(\frac{x_1+x_2}{2})\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，证明：$f(x)$在$[a,b]$上必取得最大值。4.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且对任意$x\in(a,b)$，都有$\int_a^xf(t)dt\geq0$，证明：存在$x_0\in[a,b]$，使得$f(x_0)=0$。5.（10分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且对任意$x_1,x_2\in[a,b]$，都有$|f(x_1)-f(x_2)|\leq|x_1-x_2|$，证明：$f(x)$在$[a,b]$上必取得最大值和最小值。6.（20分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且对任意$x\in[a,b]$，都有$f(x)>0$，证明：存在唯一的$c\in(a,b)$，使得$\int_a^cf(t)dt=\frac{1}{2}\int_a^bf(t)dt$，并求出$c$的值。四、证明题（本大题共4小题，共20分。请将证明过程写在答题卡上对应题号后的横线上。）1.（5分）设数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+\frac{1}{a_n^2}$（$n\geq1$），证明：${a_n}$收敛。2.（5分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且对任意$x_1,x_2\in[a,b]$，都有$f(\frac{x_1+x_2}{2})\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，证明：$f(x)$在$[a,b]$上必取得最大值。3.（5分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且对任意$x\in(a,b)$，都有$\int_a^xf(t)dt\geq0$，证明：存在$x_0\in[a,b]$，使得$f(x_0)=0$。4.（5分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且对任意$x_1,x_2\in[a,b]$，都有$|f(x_1)-f(x_2)|\leq|x_1-x_2|$，证明：$f(x)$在$[a,b]$上必取得最大值和最小值。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C解析：由$\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^2}=1$，得$\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0$，即$f'(x_0)=0$，故$f(x)$在$x_0$处连续，但不一定可导。2.C解析：这是罗尔定理的表述，故选C。3.C解析：$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x^2}}{x}=0$，故$f'(0)=0$。4.C解析：$a_{n+1}=2a_n+\frac{1}{a_n^2}>2a_n$，故${a_n}$单调递增，又$a_1=1$，故${a_n}$发散到$\infty$。5.B解析：$f(x)=\lnx$在$(0,+\infty)$上凹，故满足Jensen不等式。6.C解析：由积分保号性，$\int_a^bf(x)dt\geq0$。7.C解析：$f(x)=\sqrt{x}$在$[0,1]$上连续，且$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$在$(0,1]$上连续，故$f(x)$在$[0,1]$上一致连续。8.B解析：由连续函数性质，$f(x)$在$(a,b)$内连续。9.C解析：由积分性质，$\int_a^bf(x)dt\leq\int_a^b1dt=b-a$。10.A解析：由连续函数性质，$\int_a^bf(x)dt>0$。二、填空题1.2解析：$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=1$，故$f(x)=2x^2+o(x^2)$，故$f'(0)=4$。2.2解析：$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(2+\frac{1}{a_n^2}\right)=2$。3.证明：令$g(x)=\lnx$，则$g'(x)=\frac{1}{x}$，$g''(x)=-\frac{1}{x^2}<0$，故$g(x)$在$(0,+\infty)$上凹，由Jensen不等式，$\ln\frac{x_1+x_2}{2}\leq\frac{\lnx_1+\lnx_2}{2}$。4.非负解析：由积分保号性，$\int_a^bf(x)dt\geq0$。5.证明：对任意$x_1,x_2\in[0,1]$，$|f(x_1)-f(x_2)|\leq|x_1-x_2|$，故$\forall\epsilon>0$，取$\delta=\epsilon$，则当$|x_1-x_2|<\delta$时，$|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$，故$f(x)$在$[0,1]$上一致连续。6.证明：由连续函数性质，$\int_a^bf(x)dt>0$。三、解答题1.证明：$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^3}=1$，故$f(x)=x^3+o(x^3)$，故$f'(x)=3x^2+o(x^2)$，$f''(x)=6x+o(x)$，$f'''(0)=6$。2.证明：由罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。3.证明：由Jensen不等式，$f(\frac{x_1+x_2}{2})\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，故$f(x)$在$[a,b]$上必取得最大值。4.