2026考研中国人民大学信号与系统习题集（精排打印版）

2026考研中国人民大学信号与系统习题集（精排打印版）一、单项选择题（共10题，每题5分，共50分）1.已知信号$f(t)=\cos(2\pit)+\sin(4\pit)$，其基本周期为多少？A.0.5sB.1sC.2sD.0.25s2.对信号$x(t)=u(t)-u(t-1)$进行傅里叶变换，其频谱$X(\omega)$在$\omega=0$处的值为多少？A.0B.1C.2D.$\pi$3.系统函数$H(s)=\frac{s+2}{s^2+3s+2}$，该系统是：A.稳定系统B.不稳定系统C.临界稳定系统D.上述都不对4.已知$F(\omega)=\frac{1}{j\omega+2}$，其傅里叶逆变换$f(t)$为：A.$e^{-2t}u(t)$B.$-e^{-2t}u(-t)$C.$2e^{-2t}u(t)$D.$-2e^{-2t}u(-t)$5.离散时间信号$x[n]=\{1,2,3,4\}$，其$z$变换$X(z)$在$z=1$处的值为：A.10B.5C.1D.06.系统差分方程$y[n]-\frac{1}{2}y[n-1]=x[n]$，其系统函数$H(z)$为：A.$\frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}$B.$\frac{\frac{1}{2}z^{-1}}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}$C.$\frac{1}{1+\frac{1}{2}z^{-1}}$D.$\frac{\frac{1}{2}z^{-1}}{1+\frac{1}{2}z^{-1}}$7.已知信号$f(t)$的傅里叶变换为$F(\omega)$，则信号$g(t)=f(2t-1)$的傅里叶变换$G(\omega)$为：A.$\frac{1}{2}F\left(\frac{\omega}{2}\right)e^{-j\frac{\omega}{2}}$B.$2F(2\omega)e^{-j\omega}$C.$\frac{1}{2}F\left(\frac{\omega}{2}\right)$D.$F(2\omega)$8.已知系统函数$H(s)=\frac{s}{s+1}$，当输入为单位阶跃信号$u(t)$时，系统的零状态响应为：A.$1-e^{-t}$B.$e^{-t}$C.$t$D.$1$9.已知$X(z)=\frac{1}{1-\frac{1}{4}z^{-1}}$，其收敛域为$|z|>\frac{1}{4}$，则其逆$z$变换$x[n]$为：A.$\frac{1}{4^n}u[n]$B.$-\frac{1}{4^n}u[-n-1]$C.$\frac{1}{4^n}u[-n-1]$D.$-\frac{1}{4^n}u[n]$10.已知信号$f(t)=e^{-at}u(t)$的傅里叶变换为$F(\omega)$，则信号$g(t)=te^{-at}u(t)$的傅里叶变换$G(\omega)$为：A.$j\frac{dF(\omega)}{d\omega}$B.$\frac{1}{a}F(\omega)$C.$-\frac{1}{a^2}F(\omega)$D.$aF(\omega)$二、填空题（共6题，每题5分，共30分）1.已知信号$f(t)=\cos(2\pit)+\sin(3\pit)$，其频谱包含______个频率分量。2.若信号$x(t)$的傅里叶变换为$X(\omega)$，则信号$y(t)=x(t)\cos(2\pif_0t)$的傅里叶变换$Y(\omega)$为______。3.系统函数$H(s)=\frac{s}{s+2}$，该系统的单位冲激响应$h(t)$为______。4.已知$X(z)=\frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}$，其逆$z$变换$x[n]$为______。5.若系统差分方程$y[n]-\frac{3}{4}y[n-1]+\frac{1}{8}y[n-2]=x[n]$，则该系统的系统函数$H(z)$为______。6.已知信号$f(t)$的傅里叶变换为$F(\omega)$，则信号$g(t)=f(2t+1)$的傅里叶变换$G(\omega)$为______。三、解答题（共6题，共70分）1.（10分）已知信号$f(t)=\frac{\sin(2\pit)}{\pit}$，求其傅里叶变换$F(\omega)$。2.（10分）已知系统函数$H(s)=\frac{s}{s^2+3s+2}$，求该系统的单位冲激响应$h(t)$，并判断系统是否稳定。3.（10分）已知离散时间信号$x[n]=\{1,2,3,4,5\}$，求其$z$变换$X(z)$，并指出其收敛域。4.（10分）已知系统差分方程$y[n]-\frac{1}{2}y[n-1]=x[n]$，求该系统的系统函数$H(z)$，并画出其零极点图。5.（15分）已知信号$f(t)=e^{-at}u(t)$的傅里叶变换为$F(\omega)$，求信号$g(t)=e^{-at}\cos(\omega_0t)u(t)$的傅里叶变换$G(\omega)$。6.（15分）已知系统函数$H(s)=\frac{s}{s+2}$，当输入为单位阶跃信号$u(t)$时，求系统的零状态响应，并画出其波形。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：$f(t)=\cos(2\pit)+\sin(4\pit)$的周期为$T_1=1s$（$\cos$项），$T_2=0.5s$（$\sin$项），基本周期为$\text{lcm}(1,0.5)=2s$。但题目要求基本周期，正确选项为$1s$。2.C解析：$x(t)=u(t)-u(t-1)$的傅里叶变换为$X(\omega)=\frac{1}{j\omega}+\frac{1}{j\omega}e^{-j\omega}=\frac{1}{j\omega}(1+e^{-j\omega})$，在$\omega=0$处为$1$。3.A解析：$H(s)$的极点为$s=-1$和$s=-2$，均位于$s$平面左半平面，系统稳定。4.A解析：$F(\omega)=\frac{1}{j\omega+2}$的傅里叶逆变换为$f(t)=\mathcal{F}^{-1}\left\{\frac{1}{j\omega+2}\right\}=e^{-2t}u(t)$。5.A解析：$X(z)=\sum_{n=0}^{3}z^{-n}=\frac{1-z^{-4}}{1-z^{-1}}$，在$z=1$处为$1+2+3+4=10$。6.A解析：差分方程$y[n]-\frac{1}{2}y[n-1]=x[n]$的系统函数为$H(z)=\frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}$。7.A解析：$f(t)\rightarrowF(\omega)$，$f(2t-1)\rightarrow\frac{1}{2}F\left(\frac{\omega}{2}\right)e^{-j\frac{\omega}{2}}$（时伸缩和时移性质）。8.A解析：单位阶跃响应为$h_s(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s(s+1)}\right\}=1-e^{-t}$。9.B解析：$X(z)=\frac{1}{1-\frac{1}{4}z^{-1}}$的逆变换为$x[n]=\left(\frac{1}{4}\right)^n$，收敛域$|z|>\frac{1}{4}$对应因果序列，故为$u[-n-1]$。10.A解析：$f(t)\rightarrowF(\omega)$，$te^{-at}u(t)\rightarrowj\frac{dF(\omega)}{d\omega}$（频域微分性质）。二、填空题1.2解析：$\cos(2\pit)$和$\sin(3\pit)$各占一个频率分量，共2个。2.$\frac{1}{2}[X(\omega-2\pif_0)+X(\omega+2\pif_0)]$解析：调制性质，频谱搬移。3.$e^{-2t}u(t)$解析：$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s+2}\right\}=e^{-2t}u(t)$。4.$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}\right)=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n$解析：部分分式展开。5.$\frac{1}{1-\frac{3}{4}z^{-1}+\frac{1}{8}z^{-2}}$解析：差分方程的系统函数。6.$\frac{1}{2}F\left(\frac{\omega}{2}\right)e^{j\frac{\omega}{2}}$解析：时伸缩和时移性质。三、解答题1.解：$f(t)=\frac{\sin(2\pit)}{\pit}\rightarrowF(\omega)=\text{rect}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)$其中$\text{rect}(x)$为矩形函数。2.解：$H(s)=\frac{s}{(s+1)(s+2)}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}$$h(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{H(s)\right\}=e^{-t}-e^{-2t}$极点$s=-1$和$s=-2$位于左半平面，系统稳定。3.解：$X(z)=\sum_{n=0}^{4}z^{-n}=1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}+z^{-4}=\frac{1-z^{-5}}{1-z^{-1}}$收敛域为$|z|>0$（因果序列）。4.解：$H(z)=\frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}=\frac{z}{z-\frac{1}{2}}$零点：$z=0$极点：$z=\frac{1}{2}$零极点图略。5.解：$f(t)=e^{-at}u(t)\rightarrowF(\omega)=\frac{1}{a+j\omega}$$g(t)=e^{-at}\cos(\omega_0t)u(t)\rightarrow\frac{1}{2}\left[\frac{1}{a+j(\omega-\omega_0)}+\frac{1}{a+j(\omega+\omega_0)}\right]$$G(\omega)=\frac{a+j\omega}{(a+j\omega)^2+\omega_0^2}$6.解：零状态响应：$y_