2024年线性代数知识点总结

线性代数知识点总结

1行列式

（-）行列式概念和性质

1、逆序数：所有的逆序的总数

2、行列式定义：不一样行不一样列元素乘积代数和

3、行列式性质：（用于化简行列式）

（1）行列互换（转置），行列式的值不变

（2）两行（列）互换，行列式变号

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k,等于用数k

乘此行列式

（4）拆列分派：行列式中假如某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个

行列式就等于两个行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。

（6）两行成比例，行列式的值为0。

（二）重要行列式

4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积

5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘（一D2

6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

A0A*

AB

*B~0B=\t\\

0A*A

=（T邙•同

B*B0

7、n阶（n22）范德蒙德行列式

111

工=石n（%Tj）

数学归纳法证明

★8、对角线的元素为a,其他元素为b的行列式的值:

abb…b

bab…b

bba■-b=[以+(〃-l)b](Q-b)i

bbb——a

（三）按行（列）展开

9、按行展开定理：

（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值

（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘

积之和等于0

（四）行列式公式

10、行列式七大公式:

(1)|kA|=kn|A|

(2)|AB|=|A|•|B|

(3)|AT|=|A|

(4)|A」二|A「i

(5)|A*|=|A|n4

(6)若A的特性值入1、入2、……入n,则曰

(7)若A与B相似，则|A|二|B|

(五)克莱姆法则

11、克莱姆法则：

(1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解

%=芳,J=L2,…/

(2)假如非齐次线性方程组无解或有两个不一样解，则它的系数行列式必为0

(3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解；假

如方程组有非零解，那么必有D=0°

2矩阵

(-)矩阵的运算

1、矩阵乘法注意事项:

(4)(AT)-J(A】)丁

（5）（A-1）9A

5、逆的求法：

（1）A为抽象矩阵：由定义或性质求解

（2）A为数字矩阵：（A|E）玲初等行变换好（EIA-1）

（三）矩阵的初等变换

6、初等行（列）变换定义:

（1）两行（列）互换;

（2）一行（列）乘非零常数c

（3）一行（列）乘k加到另一行（列）

7、初等矩阵：单位矩阵E通过一次初等变换得到的矩阵。

8、初等变换与初等矩阵的性质:

（1）初等行（列）变奂相称于左（右）乘对应的初等矩阵

（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且E『二Eij（i,j两行互换）；

Er1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）

E『i（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）

★（四）矩阵的秩

9、秩的定义：非零子式的最高阶数

注：(1)r(A)=0意味着所有元素为0,即A=O

(2)r(Anxn)=n(满秩)<■■>|A|W0<■■>A可逆；

r(A)Vn<-->|A|=0<-->A不可逆；

(3)r(A)=r(r=l,2、…、n-1)GTr阶子式非零且所有r+1子式均为0.

10、秩的性质：(7条)

(1)A为mXn阶矩阵，则r(A)Wmin(mzn)

(2)r(A±B)Wr(A)±(B)

(3)r(AB)Wmin{r(A),r(B)}

(4)r(kA)=r(A)(kWO)

(5)r(A)=r(AC)(C是一种可逆矩阵)

(6)r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)

(7)设A是mXn阶矩阵，B是nXs矩阵，AB=O,则r(A)+r(B)Wn

11、秩的求法：

(1)A为抽象矩阵：由定义或性质求解；

(2)A为数字矩阵：A-初等行变换T阶梯型(每行第一种非零元素下面的元素

均为0),贝ijr(A)=非零行的行数

(五)伴随矩阵

12、伴随矩阵的性质：(8条)

(1)AA*=A*A=|A|E玲*A*=|A|A1

(kA)*=『5*

(3)(AB)*=B*A*

(4)|A*|=|A|n-i

(5)(AT)*=(A*)T

(6)(A-1)*=(A*)三A|A|i

(7)(A*)*=|A|9•A

★(8)r(A*)=n(r(A)=n)；

r(A*)=1(r(A)=n-l)；

(r(A)<n-l)

（六）分块矩阵

13、分块矩阵的乘法:规定前列后行分法相似。

14、分块矩阵求逆:

BO5TOO

ocoa1co\[ko

3向量

（一）向量的概念及运算

1、向量的内积：（。，P）=aTp=pTa

2、长度定义：II，||二/亚=而=1。；+后+-+。：

3、正交定义:（a,B）=a=BT。=a1bi+a2b2+…+anbn=O

4、正交矩阵的定义:A为n阶矩阵，AAT=EA4=ATATA=E|A|=±1

（二）线性组合和线性表达

5、线性表达的充要条件：

非零列向量B可由a1，a2,…，as线性表达

⑴玲非齐次线性方程组（Q1，。2，…，Qs）（X1，X2，…，Xs）T=B有解c

0（2）<—>r（ana2,-,as）=r（ana2,…，as,B）（系数矩阵的秩等于

增广矩阵的秩，用于大题第一步的检查）

6、线性表达的充足条件：（理解即可）

若a1，Q2，…，as线性无关，a1，a2，…，a”B线性有关，则B可由。1，

a2，…，as线性表达。

7、线性表达的求法：（大题第二步）

设Qi，a2，…，as线性无关，B可由其线性表达。

（。］，。2，…，。JB）今初等行变换与（行最简形|系数）

行最简形：每行第一种非0的数为1,其他元素均为0

（三）线性有关和线性无关

8、线性有关注意事项:

（1）a线性有关（玲a=0

（2）an。2线性有关<~玲。1，。2成比例

9、线性有关的充要条件：

向量组a〉a2,…，a§线性有关

（1）有个向量可由其他向量线性表达；

（2）<■■，齐次方程（a1，a2，…,as）（Xi，X2,…，Xs）有非零解;

0（3）<-->r（ana2,as）<s即秩不不小于个数

尤其地，n个n维列向量ai,。2，…，an线性有关

（1）<-->r（ai，a2，…，an）<n

（2）<-->|ai，a2，…，an|=0

（3）<-玲（ai，a2，…，an）不可逆

10、线性有关的充足条件：

（1）向量组具有零向量或成比例的向量必有关

（2）部分有关，则整体有关

（3）高维有关，则低维有关

（4）以少表多，多必有关

团推论：n+1个n维向量一定线性有关

11、线性无关的充要条件

向量组。1，a?,…，as线性无关

（1）G玲任意向量均不能由其他向量线性表达；

（2）（玲齐次方程（Qi，a2，…，­）（xi，X2，…，x§）1=0只有零解

（3）GTr（。1，a2,…，a$）=s

尤其地，n个n维向量aI，a2,…，a0线性无关

<-玲r（a1，a2,…，«n）=n（玲a2,…，an|^0矩阵可逆

12、线性无关的充足条件：

（1）整体无关，部分无关

（2）低维无关，高维无关

（3）正交的非零向量组线性无关

（4）不一样特性值的特性向量无关

13、线性有关、线性无关鉴定

（1）定义法

0（2）秩：若不不小于阶数，线性有关；若等于阶数，线性无关

【专业知识补充】

（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩二列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满

秩矩阵，矩阵的秩不变。

（2）若n维列向量a1，a?，a3线性无关，P1，32,B3可以由其线性表达,

即（Bi，32>B3）=（-i，a2,a3）C,则r（Bi,B2,B3）=r（C）,从而

线性无关。

6fr（Bi，82，B3）=3G玲r（C）=36f|C|WO

（四）极大线性无关组与向量组的秩

14、极大线性无关组不唯一

15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩

对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数

团注:向量组。1，a2，…，。s的秩与矩阵A=（J,a2，…，«s）的秩相等

团16、极大线性无关组的求法

（1）a1，。2，…，Cs为抽象的：定义法

（2）a1，a2，…，c5为数字的：

（ai,a2,…，as）f初等行变换玲阶梯型矩阵

则每行第一种非零的数对应的列向量构成极大无关组

（五）向量空间

17,基（就是极大线性无关组）变换公式：

若ai，a2,…，Qn与81，g,…，储是n维向量空间V的两组基，则基变

a

换公式为（Bl，P2»…，Bn）=（a1，a2，…，n）Cnxn

其中，C是从基CI],a2,…，an至IJB],f32,…，Bn的过渡矩阵。

C=（Qi，a2,an）"（B1，B2，…，8n）

18、坐标变换公式：

向量Y在基01，a2,…，an与基81，B2,…，Pr的坐标分别为X=（X1，X2，…，

2+・••+Xn0n=yi6i+y62+

xn）T,y=（yi，丫2,…，yn）L,KPy=xiai+x2«2

+YnPn,则坐标变换公式为X二Cy或户C】x。其中，C是从基a1，a2,…，Qn到

Bi,82,…，Bn的过渡矩阵。C=（a1,a2，…，an）-i（B1，B2,…，P

n）

（六）Schmidt正交化

19、Schmidt正交化

设ai，a2，a3线性无关

（1）正交化

令B1二ai

（%,4）

22=。2A

（%,21）8（。3•夕2）

夕3=。3Pl

（A.A）（乐功）

（2）单位化

4线性方程组

(一)方程组的体现形与解向量

1、解的形式：

⑴一般形式

(2)矩阵形式:Ax=b；

⑶向量形式：A=(«1，a2，…，an)

2、解的定义：

若”(ci>C2,…，cn)，满足方程组Ax=b,即An=b,称n是Ax=b的--种解

(向量)

(-)解的鉴定与性质

3、齐次方程组：

(1)只有零解Sir(A)=n(n为A的列数或是未知数x的个数)

(2)有非零解(A)<n

4、非齐次方程组：

(1)无解<-1r(A)<r(A|b)Sir(A)=r(A)-1

(2)唯一解G玲r(A)=r(A|b)=n

(3)无穷多解Sir(A)=r(A|b)<n

5、解的性质：

⑴若&i，&2是Ax=O的解，则ki4i+k2€2是Ax=O的解

（2）若&是Ax=O的修，n是Ax=b的解，则，+n是Ax=b的解

（3）若。1，是Ax=b的解，则是Ax=O的解

【推广】

⑴设Q1，-2，…,Qs是Ax=b的解，则k[n>+k2n2+・・・+ks，s为

一Ax=b的解（当£"1）

Ax=O的解（当2ki=0）

（2）设ni,-2,…,n5是Ax=b的s个线性无关的解，则n2・n1,n3-ni,-,

ns-ni为Ax=o的s-i个线性无关的解。

变式：®Q1-Q2，H3-Q2，…，ns-U2

（2）n2-ni>n3-n2,…，n$-ns-i

（三）基础解系

6、基础解系定义：

（1）€1，；2，…，h是Ax=O的解

（2）€i,&2,…，G线性有关

（3）Ax=O的所有解均可由其线性表达

好基础解系即所有解的极大无关组

注：基础解系不唯一。

任意n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系,

国7、重要结论：（证明也很重要）

设A施mXn阶矩阵，B是nXs阶矩阵，AB=O

（1）B的列向量均为方程Ax=O的解

（2）r（A）+r（B）（第2章，秩）

8、总结：基础解系的求法

（1）A为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解

（2）A为数字的：A玲初等行变换3阶梯型

自由未知量分别取1,0,0;0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系

（四）解的构造（通解）

9、齐次线性方程组的通解（所有解）

设r（A）=r,g2，…，为Ax=0的基础解系，

则Ax=o的通解为kin二+k2n2+…+kn-rnn-r（其中h,l<2，…，％-r为任意常数）

10、非齐次线性方程组的通解

设r（A）=r,€i，&2,…,为Ax=0的基础解系,n为Ax二b的特解，

则Ax=b的通解为n+klnl+k2n2+…+kmrnn-r（其中kl，l<2,…，kn.「为任意常数）

（五）公共解与同解

11、公共解定义：

假如a既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，则称a为其公共解

12、非零公共解的充要条件:

方程组Ax=O与Bx=O有非零公共解

(A\(A\

x=0r<n

一l刈有非零解(玲而

13、重要结论(需要掌握证明)

(1)设A是mXn阶矩阵，则齐次方程ATAx=O与Ax=O同解，r(ATA)=r(A)

(2)设A是mXn阶矩阵，r(A)=n,B是nXs阶矩阵，则齐次方程ABx=O与

Bx=O同解，r(AB)=r(B)

5特性值与特性向量

(一)矩阵的特性值与特性向量

1、特性值、特性向量的定义：

设A为n阶矩阵，假如存在数人及非零列向量a,使得Aa=、a,称Q是矩阵

A属于特性值人的特性向量。

2、特性多项式、特性方程的定义：

|人E-A|称为矩阵A的特性多项式(入的n次多项式)。

|入E-A|=0称为矩阵A的特性方程(入的n次方程)。

注:特性方程可以写为|A-入E|二0

3、重要结论:

（1）若。为齐次方程Ax=O的非零解，则AQ=O・Q,即。为矩阵A特性值入=0

的特性向量

（2）A的各行元素和为k,则（1,1,…，1）T为特性值为k的特性向量。

（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特性值为主对角线各元素.

团4、总结：特性值与特性向量的求法

（1）A为抽象的：由定义或性质凑

（2）A为数字的：由特性方程法求解

5、特性方程法：

（1）解特性方程|入E-A|=0,得矩阵A的n个特性值入1，入2,…，Xn

注：n次方程必须有n个根（可有多重根，写作人尸入2二…=、s=实数，不能省略）

（2）解齐次方程（入iE-A）=0,得属于特性值L的线性无关的特性向量，即其基

础解系（共n-r（XjE-A）个解）

6、性质：

（1）不一样特性值的特性向量线性无关

（2）k重特性值最多k个线性无关的特性向量

lWn-r（人jE-A）Wki

（3）设A的特性值为入i,入2，…，3,则|A|=n*,SXpZaii

（4）当r（A）=l,B|JA=a（3T,其中a,B均为n维非零列向量，则A的特性

值为入1='Hi产aT8;BTa,入2二入n=0

(5)设a是矩阵A属于特性值人的特性向量，贝J

fA-P』AP(相

AATA*

i

(A)似)

fx-

入入IAIX1X

(入)i

aa/aaP』a

(二)相似矩阵

7、相似矩阵的定义：

设A、B均为n阶矩阵，假如存在可逆矩阵P使得B=P】AP,称A与B相似，记

作A-B

8、相似矩阵的性质

(1)若A与B相似，则f(A)与f(B)相似

(2)若A与B相似，B与C相似，则A与C相似

(3)相似矩阵有相似的行列式、秩、特性多项式、特性方程、特性值、迹(即

主对角线元素之和)

【推广】

(4)若A与B相似，则AB与BA相似，人丁与相似,A」与B」相似,A*与B*

也相似

(三)矩阵的相似对角化

9、相似对角化定义：

A

假如A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P,使得P』AP=A二14」，

称A可相似对角化。

注：AaFXiai（a^O,由于P可逆），故P的每一列均为矩阵A的特性值储的

特性向量

10、相似对角化的充要条件

（1）A有n个线性无关的特性向量

（2）A的k重特性值有k个线性无关的特性向量

11、相似对角化的充足条件：

（1）A有n个不一样的特性值（不一样特性值的特性向量线性无关）

（2）A为实对称矩阵

12、重要结论：

（1）若A可相似对角化，则r（A）为非零特性值的个数，n-r（A）为零特性值

的个数

（2）若A不可相似对角化，r（A）不一定为非零特性值的个数

（四）实对称矩阵

13、性质

（1）特性值全为实数

（2）不一样特性值的特性向量正交

（3）A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP二A

（4）A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q,使得Q-1AQ=QTAQ=A

6二次型

（一）二次型及其原则形

1、二次型：

（1）一般形式

（2）矩阵形式（常用）

2、原则形：

222

假如二次型只含平方项,即f（Xi，X2，…，Xn）=diXi+d2X2+—+dnXn

这样的二次型称为原则形（对角线）

3、二次型化为原则形的措施：

（1）配措施：

通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为原则形。其中，可逆线性变换

及原则形通过先配方再换元得到。

0（2）正交变换法：