苏科版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训04坐标系与四边形压轴题(含存在性问题)(原卷版+解析)

特训04坐标系与四边形压轴题(含存在性问题)

一、解答题

1.如图1,在平面直角坐标系中，直线与)，轴交于点A,过8(6,1)的直线6与直线4交于点。(〃7,-5).

(1)求直线4的解析式;

⑵若点。是第一象限位于直线4上的一动点，过点。作。”〃)轴交4于点儿当/汨=10时，试在X轴上

找一点E,在直线4上找一点R使得的周长最小，求出周长的最小值;

(3)如图2,直线4与％轴交于点M，与)，轴交于点N,将直线绕点。逆时针旋转90。得到直线4,点尸是

直线4上一点，且横坐标为-2.在平面内是否存在一点Q,使得以点M,C,P,。为项点的四边形是平行

四劝形，若存在，请直接写出点。的坐标：若不存在，请说明理由.

2.如图，在平面直角坐标系中，四边形A3CZ)是边长为5的正方形，顶点A在)个轴正半轴上，点“在x轴

正半轴上，|0月一4|+38-3=0.

(1)求OA,。8的长；

(2)求点。坐标；

(3)在上轴上是否存在点使/C8是以BC为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存

在，请说明理由.

3.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数)=2x+2的图象分别交x轴，)，轴于A,B两点，洛一AOB绕点

。顺时针旋转90。得△COD(点4与点C对应，点8与点。对应).

(1)求直线co的解析式；

(2)点七为线段CO上一点，过点E作《尸〃)，轴交直线A6于点立作用〃“轴交直线A3于点G,当

所+EG=AD时，求点E的坐标；

(3)如图2,若点M为线段A8的中点，点N为直线C£＞上一点，点。为坐标系内一点，且以。M,N,P

为顶点的四边形为矩形，造直接写出所有符合条件的点N的坐标.

4.如图，平面直角坐标系中直线AB：)，=且x+2分别与上轴，》轴交于点A和点8,过点A的直线AC与

-3

了轴交于点C,0C=6.

(1)求直线4c的解析式；

⑵若。为线段AC上一点，E为线段8C上一点，当％.初•时，求的最小值，并求出此

JJ

时点后的坐标；

⑶在(2)的结论下，将AC»E沿射线D8方向平移得J.C'D'E，使。'落在宜线A6_L,若〃为直.线人8_£一

点，N为平面内一点，当以点M,C,。，N为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点"的坐标.

5.如图，直角三角形A8C在平面直角坐标系中，直角边8c在y轴上，8C的长分别是一元二次方程

Y-14x+48=0的两个根，ABvBCA,且BC=2OB,2为/W上一点，且工团二齐3门.

(1)求点A的坐标;

⑵求过点户的反比例函数解析式；

⑶点M在第二象限内，在平面内是否存在点M使以4,C,M,N为顶点的四边形为正方形？若存在，请

直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

6.在平面直角坐标系中存在矩形A8c。，点4。,。)、点8(内》,且。、力满足：4Ti+S-〃?)2=0(实数机＞2).

⑴求A点坐标；

(2)如图1,作，。48的角平分线交y轴于O,A。的中点为E,作EF_L8七交X轴于/，求定的值(用含

加式子表示)；

(3)如图2,在(2)的条件下,当〃?=6时，将矩形A8CO向右推倒得到矩形A'B'C'。，使A与A重合,8'落

在二轴上，现在将矩形W"CO'沿射线AO以1个单位/秒平移，设平移时间为『，用，表示平移过程中矩形

48co与矩形A'8'C'O重合部分的面积.

7.在平面直角坐标系中，已知矩形088,点C(6,4),现将矩形08。绕点。逆时针旋转(0。＜/反出＜180。)

得到矩形OEFG,点8,C,。的对应点分别为点E,F,G.

图3备用图

(1)如图I,当点七恰好落在边CQ上时，则区的长为(请直接写出答案)；

(2)皿图2,CO所在直线与OE、G/分别交于点，、M,且CH=MH.求线段Mb的长度.

(3)如图3,设点P为边FG的中点，连接PE,BE,在矩形O8CO旋转过程中，△AEP的面积是否存

在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

8.如图，在平面直角坐标系中，A(0,4),以0A为一边在第一象限内作矩形0ABe直线CO：y=~x+b

(1)求点4的坐标.

⑵点P为线段。月I•的一个动点.过点P作尸P〃N轴.交AR于点F.交x轴于点G,连接刊),设点〃的

横坐标为加，△00的面积为S,求S关于机的函数关系式.

⑶在(2)的条件下，连接8P并延长与x轴交于点M,过点P作PN，,与;v轴交于点N,当

5皿2=35四边形竹8c时，在直线C。上是否存在一点R，过点R作火Q/八轴交直线PN于点。，得

2RQ=MN-OM,若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.

9.如图，在平面直角坐标系中，AC/AC于点C,且点C在V的正半轴上，点A和点8分别在x的负半轴

和正半轴，AC=BC,AB=S.

(1)求点。的坐标；

(2)点。点。出发以I个单位/秒的速度向)'的负半轴方向运动，同时点G从点8出发向x轴的正方向运动，

连接。G交直线3C于点尸.设。、G两点运动时间为，秒，若DF=FO,连接8。，△力8G的面积为5,请

用「的式子表示一并直接写出，的式子表示一并直接写出/的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点尸作尸P_LO尸，过点C作工轴的平行线交于。于点P,连接AO,是否存在/,

使aCPb的面积等于△A。。面积的2倍，如果存在，请求出।的值，如果不存在，请说明理由.

10.在平面直角坐标系中，点8的坐标是(T,4),过点3作直线/轴于C,作直线〃?_Lx轴于A,点P、

。分别是直线，和直线小上的点，且NPOQ=45。.

(1)如图1,当点P、。分别在线段BC和线段入口上时，求V8PQ的周长；

(2)如图2,当点夕在线段4C的延长线上，点。在线段A8的延长线上时，猜想线段P。、8Q和解之间的

数量关系，并证明你的猜想；

(3)若AQ=1,直接写出CP的长.

2

11.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴正半轴上一点，且。A=4,过点A的直线与直线＞，=-；工交于

点B(3,-2),动点儿。都在线段。4上，且OP=AQ.以PQ为边在x轴下方作正方形PQC。，设

OP=x(x＞0),正方形PQ。。的周长为L.

(1)求直线A4的函数关系式.

(2)当点8在正方形PQCO的边上时，直接写出x的值.

⑶求L与％之间的函数关系式.

(4)当正方形PQ。。只有一个顶点在。43外部时，直接写出大的取值范围.

12.在平面直角坐标系中，矩形O4BC,。为原点，4(3,0),5(3,4),C(0,4),将△O8C绕点6逆时针旋转,

点6c旋转后的对应点为O\C.

⑴如图(1),当NCBC=30°时,求C'的坐标；

(2)如图(2),当点。恰好落在/轴上时，O'C与/W交于点。.

①此时OB与是否相等，说明理由；

②求点。的坐标：

⑶求AOC面枳的最大值.(直接写出答案即可)

13.在平面直角坐标系中，四边形AO5C是矩形，点0(0,0),点4(3,0),点8(0,4).以点A为中心，顺时

针旋转矩形AO8C,得到矩形点。，B,。的对应点分别为。，E,F,记旋转角为研0。＜。＜90。).

⑴如图1,当a=30。时，求点D的坐标；

(2)如图2,当点E落在AC的延长线上时，求点。的坐标；

(3)当点。落在线段0C上时，直接写出点七的坐标.

14.如图①，平面直角坐标系中，长方形A8CD的。4边在x轴上，OC边在＞轴上，且。4=10,OC=8.

CCB

0xOAx

图①图②

(1)在长方形的AK边上找•点M,使得直线OM将长方形Q48C的面积分成1:3两部分，则点M的坐标

为•

⑵如图②，已知点E在边上，且4E=3,请你在BC边上找一点尸，将△“尸沿石尸翻折，使得点夕怜

好落在x轴上的点9处.

①求线段石尸所在直线的函数表达式；

②在线段E尸上是否存在一点P,使得直线OP将四边形3环的面积分成2：3两部分？若存在，求出符

合条件的所有点尸坐标；若不存在，请说明理由.

15.如图，在平面直角坐标系中，点。为原点，直线y=-x+4分别交x轴，》轴于点C,A,点8在x轴的

(1)求直线八4的解析式；

(2)点P在线段48上(不与点A重合)，过点/,作PQ〃/轴交AC于点Q,设点P的横坐标为匕线段PQ的

长为4求d与，之间的函数关系式(不要求写出自变量，的取值范围)；

(3)在(2)的条件卜，在直线AB的右侧以线段心为斜边作等腰直角△，1/»,连接0。，以线段。。为直角

边作等腰直角三角形OQE,RDO=DE,且点E在直线0。的右侧，则点E的坐标为.(用含有，的

代数式表示)

(4)在(2)、(3)的条件下，若QP=QE,则，=.

16.如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形Q4BC的边。。落在％轴的正半轴上，边Q4落在丁轴的

正半轴上，点E从点A出发以每秒I个单位长度的速度沿着射线AB的方向运动，点A关于OE的对称点为

点F.运动时间为/秒，连接OF，EF,BF,CF.

(1)如图1,当/40石=30。时，求/CE8的度数.

(2)如图2,当7=1时，求证：BFLCF.

(3)皿图3,过点尸作尸GJ_b,且尸G=C尸，连接4G,M为AG的中点.连接CM,则当/=一时，CM

有最小值，CM的最小值为.

17.如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形是菱形，点八的坐标为(-3、4),点。在

工轴的正半轴上，直线AC交)，轴于点“，48边交)，轴于点儿连接8M.

(1)填空：菱形A8CO的边长=；

⑵求直线4c的解析式；

(3)动点P从点A出发，沿折线A-8—C方向以3个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PM8的面积为

S(SoO),点P的运动时间为f秒，

①当。时，求S与f之间的函数关系式：

②在点尸运动过程中，当S=2,请直接写出，的值.

18.如图，NMON=90。，四边形4BCO是正方形，且点4、。始终分别在射线0M和ON上.

(1)如图1,若A8=4,点A、。在OM,ON上滑动过程中，03何时取最大值，并求出此最大值.

(2)如图2,点尸在上，且NPD4=N"H,DP交AC于点F,延长射线交AO,ON分别于点G、Q.

①求证：BQ1ON.

②若。。二指，求S口。的周长.

19.如图，在平面直角坐标系中，已知A(7为0),8(0,-7a),点。为x轴负半轴上一点，AD-LAB,Z1=Z2.

⑴求N/WC+NQ的度数.

(2)如图I,若点。的坐标为(-3a0),CD=CB,求点。的坐标(结果用含〃的式子表示).

⑶如图2,在(2)的条件下，若a=l,过点。作。后/y轴于点E,_Lx轴于点尸，点M为线段。/上

一点，若第一象限内存在点N(〃,2〃-3),使一EMN为等腰直角三角形，请直接写出符合条件的N点坐标，

并选取一种情况计算说明.

2().如图，在平面直角坐标系中，四边形。48C是长方形，。为坐标原点，顶点A,C分别在y轴、"由上，

顶点B在第二象限内，一次函数y==x+6的图象分别与坐标轴交于点A,C.

4

①②备用图

⑴如图①，将,第8C折叠使得点C落在长方形的边A8上的点E处，折痕为求点B,七的坐标；

(2)如图②，将rABC折叠使得点8落在对角线AC上的点E处，折痕为A。，求点D的坐标；

(3)在平面直角坐标系内，是否存在一点E(除点8外)，使得一AEC与一A8C全等？若存在，写出所有符合

条件的点E的纵坐标；若不存在，请说明理由.

21.在平面直角坐标系xOy中，若点P和点£关于,，轴对称，点R和点八关于直线/对称，则称点2是点尸

⑴已知点A(TO)，直线,是经过(。,2)且平行于x轴的一条直线，则点A的”二次对称点”的坐标为

⑵如图1,正方形43co的顶点坐标分别是A(—1,0),5(1,0),C(l,2),。(-1,2),点E的坐标为(1,1),点

K是x轴上的一个动点，直线/经过点K且垂直于x轴，若止方形A3CD上存在点M,使得点W是点M关

于y轴，直线/的“二次对称点“，巨点在射线0E上，则点K的横坐标x的取值范围是:

(3)如图2,7&0)(拈0)是x轴上的动点，线段RS经过点T，且点R、点S的坐标分别是R(f/)，S(t-l),

直线/经过(0,1)且与•丫轴正半轴夹角为60。，在点7的运动过程中，若线段RS上存在点N,使得点M是点

N关于)，轴，直线/的“二次对称点”，且点N，在)，轴上，则点M纵坐标y的取值范围是______________.

22.如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=-弓x+3交)，轴于点A,交x轴于点4,点。(0,-3),

直线OE为A4的中垂线，垂足为点£,交x轴于点C.

(1)如图1,点E的坐标为,直线。。的表达式为；

⑵如图1,若点M为直线CD上一个动点，且点M在第一象限，过点M作用N〃y轴，交直线AB于点N,

当四边形4MNQ为菱形时，求点M的坐标；

(3)如图2,点尸为x釉上的一个动点，连接力,PD,将AAO户沿。户翻折得到△AOP，当人3=48时，

点P的坐标为.

23.在平面直角坐标系xOv中，已知人人点八在y轴的1F半轴卜,点a件x轴的伊半轴I•，点。在x轴

上.

⑴如图I,已知点8与点。关于y轴对称，ZB=ZBAC,若。是A8的中点，连接。。，求证：aOB。是等

边三角形

(2)如图2,已知NB4C=90。，△A8C是一个轴对称图形，E,尸分别是边A8,AC上一点，满足

连接OE,OF,EF,若点E的坐标为(-3,1).

①求点F的坐标；

②求三角形EOf的面积；

⑶如图3,已知C与坐标原点。重合，/。欣=45。，点。是)，轴的负半轴上一动点，连接80,过A作AH1BD

于〃，交线段0B于M,连接。力.

①若线段01)=2022，求点M的坐标;

②问点。在运动的过程中，乙4〃。的大小是否发生改变？若不变，求出其值；若改变，请说明理由.

⑴若正方形CMBC边长为12,

①如图1,E、尸分别在边。A、0C上，CE工BF于H,且0E=9,则点尸的坐标为(,).

②如图2,若。为x轴上一点，且。。=8,Q为)，轴正半轴上一点，且NO8Q=45。，求点。的坐标.

(2)若正方形。4BC边长为4,如图3,E、尸分别在边。4、0C上，当尸为0C的中点，CE1.BF于H,在直

线CE上E点的两侧有点。、G,能使线段AQ=OG,ADHOG,且CH=DH,求BG.

25.将正方形人放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为(0/),点石的坐标为(A0),

并且实数。，〃使式子&-6+(1-3f=0成立.

图③

(1)直接写出点。、E的坐标：D,E.

(2)乙的'=90。，且石尸交正方形外角的平分线C”于点F.

①如图①，求证AE=£F；

②如图②，连接A尸交QC于点G,作GM〃4)交AE于点M,作EN〃A8交AF于点N,连接MM求四

边形MNGE的面枳.

⑶如图③，连接正方形A8CQ的对角线4C,若点P在AC上，点。在CQ上，且AP=CQ,求(8P+8Q『

的最小值.

特训04坐标系与四边形压轴题(含存在性问题)

一、解答题

1.如图1,在平面直角坐标系中，直线4：y=x+l与)，轴交于点A,过8(6,1)的直线4与直线《交于点C(〃?,-5).

⑴求直线的解析式;

(2)若点。是第i象限位于直线上的一动点，过点。作轴交4于点当Q〃=I()时，试在X轴上

找一点E,在直线右上找一点凡使得」)E尸的周长最小，求出周长的最小值；

(3)如图2,直线4与入•轴交于点M，与)，轴交于点M将直线《绕点。逆时针旋转90。得到直线L点P是

直线4上一点，且横坐标为-2.在平面内是否存在一点Q,使得以点M,C,P,Q为项点的四边形是平行

四边形，若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)》=#2

(2)见解析，1()石

⑶。(10,13)或Q(-12,3)或Q(0,一表

【分析】(I)先求得点。的坐标，再利用待定系数法解答，即可：

⑵作点。关于x轴的对称点关于4的对称点。，连接07)〃，分别交x轴于E,交4于居求出点N

的坐标和点进而求得DE"的最小值为Q7T的长：

(3)求出点M和点N旋转后的定应点的坐标，从而求出4的解析式，进而求得点。的坐标，然后分三种情

况，结合根据平行四边形的性质，求得点。的坐标.

【解析】(1)解：把点。(皿-5)代入y=x+l,得：

m+1=-5»

777=—6»

・•・C(-6,-5),

设直线〃的解析式为：y=fcx+bf

把B（6』），C（-6,-5）代入得:

k，

6k+b=l

,解得：2,

—6k+b=-5

b=-2

，直线4的解析式为）

（2）解：如图,

・・・D”〃y轴,

，点”(x,x+l),

DH=1U,

工(x+1)-(gx-2)=10,解得：x=14,

工。(14,5),“(14,15),

作点关于x轴的对称点。'（14,-5）,关于人的对称点。，连接。7）",077交x轴于E,交乙于F,则。"（4,15）,

ZAHD=ND"HF,D"H=DH=10,J）砂的周长最小，最小值为：D'D",

•・•直线《：.y=x+i由直线）'=工沿），轴向上平移1个单位得到的，且直线）'=x为第一三象限的角平分线，

...直线个y=与坐标的夹角都为45。,

・•・ZAHD=ZETHF=45°，

工卬〃。=90。，

・・・OH〃y轴,

工点ZT的横坐标为14-10=4,

，点。的坐标为(4,15),

:.»D"=^(14-4)2+(15+5)2=10后

：,/花”的周长最小值为：1()石；

•・•点M(4,0),N(0,-2),

・••点M和点N旋转后的对应点M'(Q4),N'(2,0),

・・・直线4的解析式为:y=-2x+4f

当％=时，y=-2x(-2)+4=8,

・•・P(-2,8),

当PCWQ时，

V-2+[4-(-6)]=10,8+[0-(-5)]=13,

・•・6(10,13),

当CMPQ时，

V(-2)-10=-12,8-5=3,

・•・0(-12,3),

当，PCQM时，

..4-6、-5+021

・飞--(-2)=0,——-8=一万，

综上所述：点Q(10.⑶或Q(-12,3)或。(0.-弓).

【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的分类，勾股定理等知识，解决问题

的关键是作对称，确定点EF的位置.

2.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是边长为5的正方形，顶点A在)个轴正半轴上，点3在x轴

⑴求04,08的长；

(2)求点。坐标；

⑶在％轴上是否存在点尸，使尸C8是以8c为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点/邛勺坐标；若不存

在，请说明理由.

【答案】(1)OA=4,OB=3

(2)14,7)

(3)存在，点P的坐标为(-2,0)或(8,0)或(11,0)

【分析】(1)利用非负数的性质即可解决问题；

(2)如图，过点。作OE/y轴于点E,证明AOB^.DEA(AAS),推出DE=AO=4,£4=08=3,即

可解决问题；

(3)分三种情形分别求解即可解决问题.

【解析】(1)解：(1)・・・Q4,0B的长满足IOA—41+而口=0,

XV|CZ4-4|>0,y/OB-3>0,

A04-4=0,08-3=0,

，0A=4,08=3.

(2)如图，过点。作OE/y轴于点E,

/.ZZ)E4=90°,

•・•四边形AGCO是正方形，

：・/DAB=90。,AD=AB,

；・NE4D+NO/W=90。，

■:NOBA+NOAB=900,

：-^EAD=AOBA,

*/ZAOB=ZD£4=90°,

在，AOS和中，

NOBA=4EAD

NAOB=NDEA

AB=DA

：.AOB^.DEA(AAS)t

/.DE=AO=4,EA=OB=3,

：.OE=AE+OA=3+4=7,

，点。坐标为(4,7).

（3）存在.

如图，过点。作b_Lx轴干点F,

:.ZBFC=90°,

•・•四边形A8C。是正方形，

AZABC=90°,AB=BC,

・•.ZABO+ZF^C=90°,

■:ZABO+ZOAB=90°,

，/FBC=/OAB,

ZAOB=ZBFC=90°,

在/OB和△BFC中，

ZBAO=NCBF

NAOB=NBFC

AB=BC

:・AOgDEA(AAS),

:.BF=AO=4♦CF=OB=3，

BC=<BF、CF2="2+32=5,

当时=BC=5时，则O"68_OB=5_3=2,

A/?(-2,0),

当8g=4C=5时，则06=63+03=5+3=8,

.(8,0),

当RC=8C=5时，则根=JgC'_Cr2=J5?_32=4,

=。8+8产+松=3+4+4=11,

・・・马(11，0),

综上所述，点P的坐标为(-2,0)或(8,0)或(11,0).

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，非负数的性质，勾股

定理，等腰三角形的判定和性质等知识.解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题•

3.如图1,在平面直角坐标系中，一次函数），=2x+2的图象分别交x轴，y轴于人，8两点，将.408绕点

。顺时针旋转90。得△CO。(点人与点C对应，点B与点。对应).

图1

(1)求直线C。的解析式;

(2)点石为线段CO上一点，过点£作所〃y轴交直线/W于点八作反;〃x轴交直线44于点G,当

所+fG=A。时，求点E的坐标;

(3)如图2,若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点。为坐标系内一点，且以。，M,N,P

为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标.

【答案】(i)y=-；x+i

⑵噌」2彳4

⑶点N的坐标为N(l,鼻或N

【分析】(1)先求出点A和点B的坐标，得出04和。8的长度，再根据旋转的性质，得出点。和点。的

坐标，最后用待定系数法即可求出直线C。的解析式；

(2)设则可将点尸和点G的坐标表示出来，进而得出EEEG的表达式，最后根据

EF+EG=A。列出方程求出〃的值，即可进行解答；

(3)根据题意进行分类讨论：①OM为矩形的边时；②OM为矩形的对角线时.

【解析】(1)解：把x=0代入y=2x+2得："2,

把？=0代入y=2x+2得：0=24+2,解得：x=-l,

・•・A(-1,0),8(0,2),

：.OA=\,OB=2,

*/AOB绕点O顺时针旋转90°得丛COD,

：.OA=OC=1,OB=OD=£,

:.C(O,l),D(2,O),

设直线8的函数解析式为y=依+匕(攵/0),

把C(0,l),O(2,0)代入得：

()=2k+bk=--

，[八，解得：2,

l=b,.

[a=]

・•・直线CD的函数解析式为y=-+1.

(2),・•A(T,0),D(N,O),

:.AD=3,

:点E在线段CD上,

・•・设E(0<^<2),

•.•E产〃y轴，£G〃x轴,

:,点F的横坐标为。，点G的纵坐标为一弓4+1,

把x=。代入y=2x+2得：y=2a+2-

把y=」a+l代入y=2x+2得：--a+\=2x+2,解得：x=--a--,

22¥N

F(a,Na+N),

*/EF+EG=AD,

(3)①当OM为矩形的边时,

过点M作MP_LOM,交直线CD于点、N,过点。作QV_LQM,交直线C。于点N,过点N作NP_LON交

MP于点、P,过点N'作NP工MP交ON于点、p,

根据作图可得：四边形OMPN和四边形QWNP都是矩形，

•：ONLOM,

:.5OB+/NOC=、0。,

,/ZMOB+ZAOM=90°,

・・・Z7VOC=NMOA,

,:AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD,

OA=OC/OCN=ZOAM,

在JOCN和△OAM中，

NOCN=/OAM

OA=OC,

4N0C=NMOA

・•・QCN包OAM(ASA),

：・0M=0N,

•・•点M为线段43的中点，AB=CD,

(1A

・,・例--J,OM=ON=—AB=—CD,即点N为CO中点,

I2JNN

VC(0.1),D(2.0),

设直线ON的解析式为)，=收，

把点代入得：k=%,

，直线ON的解析式为y=

•：ON〃MP,

:.设直线MP的解析式为y=，

把MU代入得：7=5'卜5)+小，解得：〃?［，

工直线MP的解析式为y=

联立直线M尸和直线C。的解析式为：

15

y=—x+—

,14,解得：,4

9

y=——x+1y=—

r2-8

②当。W为矩形的对角线时，

过点M作M尸_Lx轴于点P,过点M作MN±），轴于点N,

•・，d，C（O,1）,

轴，

过一点有且只有一条直线与已知直线平行，

，点。和点N重合，

・•・Ng）,

综上；点N的坐标为或或N（O,1）.

【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，

中点坐标公式，旋转的性质，矩形的性质.

4.如图，平面直角坐标系中直线AB：）,=且工+2分别与1轴，》轴交于点A和点8,过点A的直线AC与

-3

y釉交于点c,。。=6.

⑴求直线AC的解析式；

（2）若。为线段AC上一点，E为线段8。上一点，当54皿=；5小改时，求。石十3底的最小值，并求出此

时点E的坐标:

⑶在（2）的结论下，将一CQE沿射线7）4方向平移得-C'O'E',使C落在直线上，若“为直线A8上一

点、,N为平面内一点，当以点M,C,。，N为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点M的坐标.

【答案】（1）），=瓜+6

（2）25刈。，4）

（3）（26一3,4一句,（273+3,4+73）,（向），卜向）

【分析】（I）根据直线的解析式可以求得点48的坐标，再结合点。的坐标，用待定系数法可以求出

直线AC的解析式；

(2)根据S△八抄二：S”"可以求出△480的面积，设点P是)'轴上一点，且满足5八期=5.初=26,过点

P作直线48的平行线，与直线AC的交点就是点。，进而求出点。的坐标，求。E+；CE的最小值，关键

是对;CE进行转化，利用垂线段最短可求出此时点E的坐标；

(3)先根据题意，找到点C'、。'的坐标，根据菱形的性质，可求出点M的坐标.

【解析】(1)解：在卜=正》+2中.令“=().得v=2,

-3

秋0,2),

令？=0,得X=-2>/5,

.•.人(-260),

OC=6,

.\C(0,6),

设直线AC的解析式为广质+3将4-2石,0),C(0,6)代入得，

产"二°,解得卜色

b=6b、=6

.直线AC的解析式为y=V3x+6；

(2)解：由川-26,0)可得QA=26，

二.5也=；04"=*2石x6=66，

SABD=；SA(K：=1x6>/3=26,

JJ

设点。是)'轴上一点，且满足S八利=5人加=2百，

/.SAffP=^OABP=^x2y/3BP=2y/3,

:.BP=2,OP=4

P(0,4),

过点尸作直线A8的平行线，与直线AC的交点就是点。,

x+4,将P（0,4）代入可得〃=4,

••・直线叨的解析式为广争+4,

y=也x+6

x=—\/3

联立6，解得

y=——x+4y=3

I3

则£＞（-6,3）,显然点O为AC的中点，

如图，作点A关于“轴的对称点G,则G（26,0）,作直线CG,则直线CG的解析式为：），=-万¥+6,

过点。作于点尸，交了轴于点E,点E即为所求，

易得直线。户的解析式为：），=4%+4,则七（0,4）；

⑶I.如图,当CD为菱形的一条边时，

①C7/=CM时，如图所示，过点作轴于点了,

根据题意可得，N84O=30。，ZC4O=60°,则NC48=30。,

则AC=46,C,D,=CD=2>/3,

易得NACV=9O。，则AC*=8,

由CM，=CD=26,可得AM1-8-2>/5,

在RtAA/J中，M17'=^A/,=4->/3,AT=73^7=473-3,

/.OT=AT-AO=245-3,

.•・M(2X/5-3,4-@,

同理可得，%(2G+3,4+G)：

.•.A3M,1,

可得M(G，3)；

综上，当以点M,C,O',N为顶点的四边形为菱形时，”的坐标分别为：(2>/3-3,4-73),

(273+3,4+73),(G，3),(-V3jj.

【点睛】本题属于•次函数综合题，考查平移变换，菱形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的

关键是熟练掌握待定系数法，学会构建一次函数解决直线的交点问题.

5.如图，直角三角形ABC在平面直角坐标系中，直角边8c在)，轴上，ABAC的长分别是一元二次方程

/一14%+48=。的两个根，/WvBCA,且8C=2O8,P为A8上一点、，且S^CP=；S4ACP.

(1)求点A的坐标；

⑵求过点。的反比例函数解析式；

⑶点M在第二象限内，在平面内是否存在点M使以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形？若存在，请

直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)A(6,4)

⑵£

x

(3)存在.。(7,-3),M(-ZIO),M(—8,2)

【分析】(I)用因式分解法求出方程的两个根即可求解；

(2)根据求出点P的坐标，然后用待定系数法求解即可；

(3)分3种情况，画出图形，结合图形特点求解即可.

【解析】(I)x2-14x+48=0,

(x-6)(x-8)=0,

为=6,w=8.

•・•AB<BC,BC=2OB,

，A8=6,8C=8,OB=4.

・•・A(6,4).

(2)♦:S&BCP~2S^ACP»

/.BP=-AB=2.

3

:.点P的坐标为(2,4).

设过点P的反比例函数解析式为)=£.将点户(2,4)代入，得4=8.

Q

・•・过点P的反比例函数解析式为y=".

X

(3)存在.

如图1,当AC为正方形4MCN的对角线时，

过点M作ME_LA3交的延长线于点E,过点C作bJLME交直线EM于点F.

•••四边形AMCN是正方形,

LAMC=90°,AM=CM.

•・•立CMF+ZAME=90°,ZEAM+^AME=90。，

/.2EAM=NCMF.

•・•Z4EA/=ZCFM=90°,

：._AEM9"FC，

，EM=CF.

AC=yjAB2+BC2=10»

/.AM=NC=

设则£M=4_y=b=_x

:.x=y-4.

*：(x-6)2+(y-4)2=(5x/2)\

・・・(y-4-6『+(y-4『=(5&『，

A/-14y+33=0,

/.=3,y2=11(舍夫)，

Ax=3-4=-l,

・•・W(T,3).

・・•把M(-l,3)先向右平移7个单位,再向上平移1个单位得4(6,4),

，把C(0,-4)先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得N(7,-3)；

如图2,当AC为正方形AMNC•的边时，

过点N作M/_L3C于点〃，

•・•四边形AA/NC是正方形，

・•・ZACM=90o,4C=CN.

AHNC+ZHCN=90°,ZHCN+ZAC8=90。,

:ZCH7V=ZABC=90°,

CHN&ABC,

...HN=BC=8、CH=AB=6,

：・OH=CH-CO=2,

•••N（-8,2）；

如图3,当AC为正方形4VMe的边时,

由图2可知，M（-8,2）,

••・把C（0,-4）先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得4（6,4）,

・••把M（-8,2）先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得N（-2,10）；

综上可知，点N的坐标为：2（7,-3）,/V2（-2J0）,M（-8,2）.

【点睛】本题考查了正方形的性质，解一元二次方程，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判

定与性质，以及平移的性质，作出辅助线构造全等三角形是解（3）的关键.

6.在平面直角坐标系中存在矩形A8CO,点&"））、点4（。向，且〃满足：而立+仍-"。2=0（实数，〃>2）.

y

C-

\O'

D\

OA（Af）

图2

⑴求A点坐标;

(2)如图1,作NOA8的角平分线交》轴于。，A。的中点为E,作EF_L8E交x轴于尸，求右的值(用含

(Jr

机式子表示);

(3)如图2,在(2)的条件下，当阳=6时，将矩形A8CO向右推倒得到矩形A7TC'。，使A与A重合，B'落

在一轴上，现在将矩形A&CO'沿射线A。以1个单位/秒平移，设平移时间为f,用，表示平移过程中矩形

ABCO与矩形A8'。'。重合部分的面积.

【答案】(1)(2.。)

⑵条等

x/2r(0<r<2>/2)

4(20<Y4立)

(3)S=

12-V2/(4>/2<z<6x/2)

0(r>6x/2)

【分析】⑴由而立+仍-m)2=o,根据非负数的性质得GI=o,S-〃?)2=o,可求得。=2,则点A的

坐标为(2,0)；

(2)连接OE,由四边形4ACO是矩形得BC〃OA,BC=OA,NO/W=90。，则点"的坐标为(2,〃?)，

由/。48的角平分线交V轴于。得/84石=/。4。=45。，△04。是等腰宜角三角形，而£是4。中点，则

OELAD,因为所_LBE,所以NOEFuNAEBugo+NAEf,可证明.。所Z..AE8,则0/=48=/〃，所

以A/=〃L2,即可求得丝=竺匚；

OFm

(3)设矩形ABCO与矩形AB'CT/重合部分的面积为S,Ab交AA于点G,可证明一GAA'是等腰直角三角

形，则AG=AG='L，再按三种情况确定，的取值范围，并结合图形分别求出相应的用含，的代数表示S的

2

式子.

【解析】(1)如图1,

01

Ja-2>0>(b—m)~20,且Qa-2+(b—in)'=0,

Ja—2=0»(b—m)2=0,

:.a-2=0,b-m=(),

二.a=2,b=tn,

・•.A(2,0).

(2)如图1,连接OE,

•・•四边形A8co是矩形，

BCOAfBC=OA,NOAB=90°,

5(2,)〃),

AO平分/。4乩

/.ZME=Z(M£>=45°,

248=90。，

.\ZODA=ZOAD=45°,

/.OD=OA,

A。的中点为E,

:.0E=AE=-ADf/FOE=NDOE='ZAOD=45。,OELAD,

22

FOE=NBAE,

EF_LBE,

:.ZAEO=ZBEF=90°t

NOEF=ZAEB=90。+ZAEF,

OEF^AEB(ASA),

：.0F=AB=m,

：.AF=ni-2f

：.——AF=-m---2.

OFm

(3)如图2,设矩形4BCO与矩形49CO重合部分的面积为S,A5交AB于点G,

利=6,

8(2,6),

由旋转得。4=。4=2,

由平移得49〃x轴，

Z4G^=180°-ZOAB=90°，

./朋)7=45。，

,f

:.ZGAA=ZGAA=45°t

AG=A'G>

AAr=t，

AG2+AfG2=AA'1=r，

/.2AG2=2AG?=产，

:.AG=AlG=—t,

2

当点4与点。重合时，则变f=2,

2

：.t=2yf2l

当。'C与AC重合时，则4/+2=6,

.-.r=4>/2;

当点G与点3重合时，则也/=6,

2

:.t=6叵,

当0W2正时，如图2,S=O,A,A,G=2x—t=42t;

2

当2夜</W4及时，如图3,S=<M•办'=2x2=4,

J'A

Bc，

GB，

OAx

图3

当4后</K6及时，如图4,S=OA-BG=2(6--t)=\2->/2t；

2

图4

当，6夜时，如图5,5=0,

V2/(0<r<2>/2)

4(2拒<Y4扬

综上所述,

12-x/2/(4x/2</<0>/2)

0(1>6&)

【点睛】此题考查图形与坐标、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、

勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压

轴题.

7.在平面直角坐标系中，已知矩形04。，点C(6,4),现将矩形088绕点。逆时针旋转(0。vNEO8v180。)

得到矩形O瓦6,点5,C,。的对应点分别为点E,F,G.

yA

/)

图3备用图

(I)如图I,当点E恰好落在边CD上时，则EC的长为..(请直接写出答案);

(2)如图2,CO所在直线与。E、Gb分别交于点〃、M,且CH=M”.求线段M〃的长度.

(3)如图3,设点夕为边AG的中点，连接P8,PE,BE,在矩形OBCD旋转过程中，ABEP的面积是否存

在最大值？若存在，请求记这个最大值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴6-