2025版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ21函数及其表示教案理含解析新人教A版

§2.1函数及其表示

最新考纲考情考向分析

1.了解构成函数的要素，会求一些简洁函数

的定义域和值域，了解映射的概念.

以基本初等函数为载体，考杳函数的表示

2.在实际情境中，会依据不同的须要选择恰

法、定义域；分段函数以及函数与其他学

当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示问的综合是高考热点，题型既有选择、填

函数.空题，又有解答题，中等偏上难度.

3.了解简洁的分段函数，并能简洁应用(函数

分段不超过三段).

基础知识自主学习

—回扣基础知识训练基础题目一

r知识梳理

i.函数的基本概念

(D函数的定义

设集合力是一个非空的数集,对力中的随意数X,依据确定的法则F,都有唯一确定的数y

与它对应，则这种对应关系叫做集合力上的一个函数，记作y=f(x),

⑵函数的定义域、俏域

函数y=〃x),中，且变量取值的范围(数集用叫做这个函数的定义域，全部函数值构

成的集合｛y4=F(x),>£』｝叫做这个函数的值域.

⑶确定一个函数的两个要素：定义域和对应法则.

2.设42是两个非空集合,假如依据某种对应法则£对一中的随是一个元素x,在8中有

一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合力到集合8的映射.这时，称y是x在映射

r的作用下的象，记作/Q).于是y=r(>),才称作y的原象.映射/■也可记为：f：

/一-(/).其中A叫做映射「的定义域(函数定义域的推广),由全部象构成的集合叫做

映射f的值域，通常记作人⑷.

3.函数解析式的求法

求函数解析式常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法.

4.函数的表示法

(1)函数的常用表示方法：列表法、图象法、解析法.

⑵分段函数：在函数的定义域内，对于自变量*的不同取值区间，有着不同的对应法则，这

样的函数通常叫做分段函数.

【概念方法微思索】

请你概括一下求函数定义域的类型.

提示（】）分式型；（2）根式型；（3）对数式型；（4）指数函数、对数函数型；（5）三角函数型.

r基础自测

题组一思索辨析

1.推断下列结论是否正确（请在括号中打”或“X”）

（D对于函数£4f氏其值域就是集合笈（X）

（2）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.（X）

⑶函数FG）的图象与直线x=l最多有一个交点.（J）

（4）若/!=R,B={x\x>0],f：x-^y=\x\,其对应是从/到笈的映射.（X）

⑸分段函数是由两个或几个函数组成的.（X）

题组二教材改编

2.函数^的定义域是.

答案（一8,

3.函数的图象如期所示，那么，八x）的定义域是：值域是：其中

只有唯一的x值与之对应的y值的范围是.

-3：-2!-l：O：12：3

答案[-3,0]U[2,3][1,5][1,2）U（4,5]

题组三易错自纠

4.已知集合々{川0W/W4},g{y|0WyW2},下列各对应关系/不能表示从严到〃的函

数的是________.（填序号）

[2

①八X②八X»y=彳才；@f：X*/=彳*；④△x*y=yl~x.

/JJ

答案③

2Q

解析对于③，因为当x=4时，尸鼻X4=”0,所以③不是从2到0的函数.

OO

5.已知f（y[x）=x—1,则f（x）=.

答案/一1（x20）

解析令，则^20,x=/,所以f‘（£）=一一1,即F（x）=/—1（x20）.

KI,

6.设函数〃*)=〈,-则使得f(x)21的自变量x的取值范围为

{4—ylx—lf介1,

答案(一8,-2]U[0,10]

解析・・・f(x)是分段函数，・・・f(x)21应分段求解.当.K1时，HX)21=(X+1)221=XW

—2或>20,—2或0Wx<l.当X21时，/,(x)21n4一，x—121,即1W3,

・・・14A<10.综上所述，彳於2或0於A<10,即：u(8,2]U[0,10].

题型分类深度剖析

--------------------------------------------真题典题深度剖析近点难点多维探究----------------------------------------------

多维

题型一函数的定义域

探究

命题点1求函数的定义域

例1(1)(2024•江苏)函数f(x)=，log2X-l的定义域为.

答案{x|x22}

解析由析g2*—120,BPlog2x^log22,解得x22,

满意x>0,

所以函数f(x)=-\/log2X—1的定义域为(x2}.

⑵函数"6一1打71—3彳十2+7一，一3*十4的定义域为________________.

X

答案[-4,0)U(0,1)

'BO,

解析曲V—3x+2>0,解得一4Wx<()或0<才<1,故函数/U)的定义域为[一

、一f—3x+420,

4,0)U(0,1).

(3)若函数尸“力的定义域是[0,2020],则函数g(x)=空用的定义域是()

A.[-1,2019]B.[-1,1)U(1,2019]

C.[0,2020]D.[-1,1)U(1,2020]

答案B

解析使函数f(x+l)有意义，则0W『HW2024,解得一1WXW2024,故函数F(x+D的定

L1W启2024,

义域为[-1,2019],所以函数g(M有意义的条件是.解得一IWJKI或

1<%W

2024.故函数g(x)的定义域为[-1,1)U(1,2019].

引申探究

本例(3)中,若将“函数尸〃*)的定义域为[0,2020]”，改为“函数〃*-1)的定义域为

[0,2020]”，则函数展工)=久号的定义域为.

答案[-2,1)U(1,2018]

解析由函数F(x—1)的定义域为[0,2020],

得函数y=/("的定义域为[-1,2019],

一1WX+1W2024,

令彳则一2WxW2024且xWl.

收1,

所以函数g(x)的定义域为[-2,1)U(1,2018],

命题点2已知定义域求参数的值或范围

例2(1)若函数/(*)+ahx~\~的勺定义域为｛x\1，则a+方的值为.

人29

答案一]

解析函数f(x)的定义域是不等式品十助叶心0的解集.不等式的解集

为｛x|lWxW2｝,

水0,,

_3

]+2=_b,解得Ja—_小2

1X2=-,〔。一一3,

(a

7Q

所以a+b=~­—3=--

⑵设f(x)的定义域为[0,1],要使函数fj—a)+f(x+a)有定义，则a的取值范围为

甘木2，2

解析函数f\x—a)+f(x+a)的定义域为[a,1+a]G[―a,1—a],当a20时，应有aW—a,

即(Xwg：当水。时，应有一aWl+a,即一呆水0.所以a的取值范围是-1.

思维升华(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，留意端

点值的取舍.

(2)求抽象函数的定义域

①若y=/X>)的定义域为(外抗,则解不等式水g(x)<A即可求出y=f(g(>))的定义域；

②若y=r(g(x))的定义域为(a,力)，则求出g(>)在(a,扮上的值域即得"不)的定义域.

(3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解.

跟踪训练1(1)若函数尸/U)的定义域为[0,2]，则函数以*)=甯的定义域是(；

X1

A.[0,1)B.[0,1]

C.[0,l)u(l,4]I).(0,1)

答案A

0W2xW2,

解析函数y=f(x)的定义域是[0,2],要使函数以另有意义，可得，二八解得

x-1W0,

0WK1,故选A.

⑵函数y=ln(l+'+k?的定义域为

答案(0,1]

"#0,

解析函数的定义域满意<1+30，

、1—W20,

%>0或水一1,

解得・・・0<xWl.

—1WxWl,

(3)记函数—干的定义域为力，以工)=3[(*-4-1)(24—工)](水1)的定义域为

8.若隹力，则实数a的取值范围为.

答案(一8,-2]U1)

解析由已知得力={才|水一1或x》l},B=(x\(%—ci—1)(%—2c/)<0),由水1得a+l>2a,

：.B={x\2a<x<a-V\].•:叵A,，a+l五一1或2a21,...aW—2或工,的取值范围

为aW—2或;Wa<l.

题型二求函数的解析式————-自主演练

1.若役=含，则当xWO,且xWl时，f(x)等于()

A.-B.-二€."-D.1

xX—11—xx

答案B

1

x

解析f[x)=----=---且xW1).

1x—1

1一

X

2.已知f(x)是二次函数且f(O)=2,F(x+1)—f[x)=x—1,则/'(x)=.

依e1231c

答案,x+2

解析设/(%)=ax+力x+c(aW0),

由AO)=2,得。=2,

/'(x+1)—f(x)=a(x+1)2+Z;(>+1)-\~2—a^—bx—2=x—I,即2ax+a+A=x—1,

f1

[2a=l,a=2f

・•・即《

a+〃=-1,U,=-53

1.3

/.f(x)=5^—5X+2.

乙乙

3.定义在(一1,1)内的函数f(x)满意2f(x)—f(—x)=lg(x+1),则f(x)=

91

答案Tlg(x+1)4--lg(l—jr)(—KXl)

JJ

解析当x《(-1,1)时，有2f(x)—f(—x)=lg(x+l).①

将x换成一x,则一x换成x,得

2/(—x)—r(x)=lg(—x+l).②

91

由①②消去F(—x)得，fix)="lg(x+l)+-lg(l—x)(―KKl).

JJ

思维升华函数解析式的求法

(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；

⑵换元法：已知复合函数/•(g(*))的解析式，可用换元法，此时要留意新元的取值范围；

⑶配凑法：由已知条件/t(氯彳))=尸5),可将尸(X)改写成关于g(x)的表达式，然后以X替

代g(x),使得AM的解析式；

(4)消去法：已知/'(*)与或/•(一*)之间的关系式，可依据已知条件再构造出另外一个等

式组成方程组，通过解方程组求出/to.

题型三常见函数的值域--------a自主演练

求下列函数的值域：

⑴尸3"—*+2,%£[1,3]；

3*+1

(2)y=

x-2;

(3)y=x+4dl—x：

2x~x-\-1

(4)y=

2x-l

解（1）（配方法）

因为y=3f—*+2=3（x—葛

所以函数y=3Z-x+2在［1,3］上单调递增.

当x=l时，原函数取得最小值4；

当x=3时，原函数取得最大值26.

所以函数y=3f—x+2（x£［1,3］）的值域为［4,26］.

（2）（分别常数法）

3x+l3(%-2)+7-7

尸-?x—2=3+工，

7_7

因为Q^0»所以3+3>

X—2X—2

所以函数尸一ZV的值域为3yx3}.

X乙

（3）（换元法）

设［=、l—x,，20,则x=l—冷

所以原函数可化为p=l—"+4f=—（£—2）2+5*20）,所以.05,

所以原函数的值域为（-8,5］.

（4）（均值不等式法）

2/一叶1A（2A-1）+1

丫=2x—l=2x—l

］_

1121

=A，+2X-1=L/一［+亍

X~2

当且仅当彳一)=二7，即才=上呼时取等号.

乙JL乙

X~2

所以卢镜+g,即原函数的值域为/+8)

思维升华配方法、分别常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要留意各种方法所适用

的函数形式，还要留意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，

把无理式转化为有理式来解.二次分式型函数求值域，多采纳分别出整式再利用均值不等式

求解.

多维

题型四分段函数

探究

命题点1求分段函数的函数值

1OgaX.*>0,

例3(1)已知f(x)=,一m且/'(0)=2,f(—1)=3,则f(f(—3))等于()

[a+8xWO,

A.—2B.2C.3D.—3

答案B

解析由题意得/*(0)=a°+b=l+力=2,解得力=1；

/,(-1)=a-，+Z?=a-1+l=3,解得a=*

故f(—3)=自，+1=9.

从而/'(/'(-3))=/(9)=log39=2.

(2)已知函数N外=<则/'(2+10欧2)的值为.

』x+l),水3,

*小1

解析•・・2+log31〈2+log32〈2+log33,即2<2+1。巾2<3,Af(2+1og：i2)=A2+1og32+1)

/,\3+lQg»2/1\/.1,,

-l,PS2

F(3+log⑵，乂3<3+log32<4,AA34-log32)=j=^JX&J=—X(3)'=

系3T*2《X3%=呆呆专，・・.F(2+log⑵/.

命题点2分段函数与方程、不等式问题

(2\xWO,1

例4⑴设函数f(x)=㈠।、八则使/'3=5的x的集合为—

lllog,xl，x>0,2

答案但由

解析由题意知，若xWO,则2"=:,解得*二一1；

1---

若x>0,则|log2x|=5，解得x=2?或x=22.

故X的集合为1—1,、「，竽卜

log!x,x>0,

3若r®>5,则实数a的取值范围是

(2FW0,

答案S

解析当aWO时,令吗解得一当W0；

当a>0时，令log］。>|,解得0<水半

即a'-1,明

:,aS(-1,0]U

思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路

①求函数值：当出现F(fS))的形式时，应从内到外依次求值.

②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值,

切记要代入检验.

(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路

依据不同范围的不同段分类探讨求解，最终将探讨结果并起来.

2-a1

跟踪训练2(1)已知实数aWO,函数/<0=''若/U-a)=f(l+a),则a

一x-2a,

的值为—

答案F

解析当a>0时，1一水1,1+Gl,

由/(I—a)=r(l+a),

可得2(1—a)+H=—(1+a)—2a.

3

解得a=-5，不合题意：

当水0时，1一心1,1+水1,

由f(1—a)=F(1+a),可得

—(1—a)—2a=2(l+a)+a,

3

解得a=—［，符合题意.

综上，a=—*

27xWO,

(2)(2024•全国I)设函数fix)=、八则满意f(x+1)<F(2x)的x的取值范围是

1,x>0,

()

A.(—8,—i]B.(0,4-°°)

C.(-1,0)D.(一8,0)

答案D

次+IWO,

解析方法一①当,即后一1时，F(¥+l)<f(2x)即为2-'*)<2-2一

[2M0,

即一(>+1)〈一2心

解得求1.因此不等式的解集为(-8,-1].

x+1W0,

②当加>。时'不等式组无蟀

x+1>0,

③当/即一1CW0时，/.(*+l)〈F(2x)即1<2-0解得x<0.因此不等式的解集为(一

[2启0,

1,0).

fx+l>0,

④当即x>0时，F(x+l)=l,f(2x)=l,不合题意.

2x>0,

综上，不等式/tr+l)<f(2x)的解集为(-8,0).

故选D.

2二启0,

方法二VAx)=

1,x>0,

・•・函数Ztr)的图象如图所示.

由图可知，当x+IWO且2AW0时，函数f(x)为减函数，故f(x+l)〈f(2x)转化为『H>2x.

此时xW—1.

当2%<o且x+i>o时，r(2^)>i,r(^+i)=i,

满意f(x+l)〈f(2x).

此时一1<X<O.

综上，不等式FCr+l)<、(2力的解集为(-8,-l]U(-l,0)=(-oo,0).

故选D.

课时作业

“基础保分练

1.下列图象可以表示以"=｛x|OWxWl｝为定义域，以八三｛ylOWZD为值域的函数的是

答案C

解析A选项中的值域不满意，B选项中的定义域不满意，D选项不是函数的图象，由函数的

定义可知选项C正确.

2.下列各组函数中，表示同一函数的是()

A.f(x)=e"",g(x)=x

y—4

B.，'(4)=二7为，g(x)=x-2

八I乙

,.sin2x.、

C•八*)=五嬴？gJ)=$inx

D.f{x)=|x|,g(x)=y[x'

答案D

解析A,B,C的定义域不同，所以答案为D.

1

3.函数F(x)Fln(3x-V)的定义域是(

yjx—2)

A.(2,+°0)B.(3,+8)

C.(2,3)D.(2,3)U(3,+8)

答案C

%-2>0,

解析由34一人0,解得2<x<3,

则该函数的定义域为(2,3),故选C.

4.(2024・营口联考)若函数代/+1)的定义域为[-1,1],则Algx)的定义域为()

A.[-1,1]B.[1,2]C.[10,100]D.[0,lg2]

答案C

解析因为/'(f+1)的定义域为则一IWxWl,故0W/W1,所以1W/+1W2.因

为〃/+1)与F(lgx)是同一个对应关系，所以lWlgxW2,故10W后100,所以函数/Ugx)

的定义域为[10,100].故选C.

5.已知5：且f(a)=6,则a等于()

A.-声声/--

答案B

解析令t=^x—1,则x=21+2,

所以八。=2(2!+2)—5=4£—1,

7

所以f(a)=4a—1=6,即a=-

6.如图，△力必是始终角边长为1的等腰直角三角形，平面图形物9是四分之一圆的扇形，

点户在线段力4上，PQ1AB,且加交力。或交弧必于点0,设/仍=x(0<K2),图中阴影部分

表示的平面图形/俨。(或APQI》的面积为八则函数y=f{x)的大致图象是()

AB

答案A

解析视察可知阴影部分的面积y的改变状况为：（1）当时，y随x的增大而增大，

而且增加的速度越来越快.（2）当1＜水2时,y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢.分

析四个答案中的图象，只有选项A符合条件.

7.已知/（£。=岩，则〃力的解析式为（）

x2x

A.Ax）=-—（A-^-1）B.

C.f（x）=Y^7（xW—l）D.

答案C

解析令匿=&则*=^，所以丹。=若磊三程=?¥?，故函数f（x）的解析式

9r

为f（x）=H3（丘-1）,故选C.

1I

log2(/+0,KO,旦0=6,则F（H—2））的值为（）

8.设f(x)=

3(t-l)\栏0,

11

A.27B.243C-I)—

乙/J

答案B

解析V/^=3X(I/=6,

••f=5>

log2(V+5),KO,

AAx)=

.3X4",x20,

2

/.A—2)=log2[(-2)+5]=log?9>0,

10g210829

AA-2))=r(log29)=3X429=3x2=3X2啕“=3X81=243.故选B.

9.已知/Xx)是一次函数，且满意3F(x+l)—2F(x—1)=2x+17,则/'(x)=,

答案2*+7

解析设八x)=ax+8(aH0),则3/Xx+1)—2/'(x—1)=ax+5a+。，所以ax+5a+b=2x+

a=2,a=2,

17对随意实数1都成立'所以5，+QL7,解得J所以F(x)=2x+7.

b=7,

Y

io.函数尸—zrr的值域是一

XXI1

答案0,\

O

11

解析若x=0,则7=0：若挣0,则y=

肌的

故所求值域为[o,I

3+log2x,x>0,

11.(2必.呼和浩特模拟)已知函数«)=,一f后°,则不等式的解集

为.

答案[-2,4]

3+log2Mx>0,

解析由于f(x)—

Y—%—1,xWO,

当x>0时，令3+log2X《5,