数学【福建双百强校联考】福建厦门一中、泉州五中2026年8月2027届高三年级上开学联考(8.27-8.29)

数学试题参考答案及评分细则2026.8一、单项选择题：题号12345678答案BACCACDD使得f，则⑴的取值范围是解析：依题意，二、多项选择题：题号9答案BCDACABD11．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，前n项和9C．当Q有无数个元素时，Sn=TnD．当d<0时，Q至多有3个解析：对于选项A，等差数列{an}的散点图分布在直线y=b1+d(n_1)上，对应一次函数；等比数列{bn}的散点图分布在曲线y=b1qn_1，对应指数型函数，由一次函数和指数型函数的位置关系可知，S9>T9，故选项A正确；对于选项B，nn}的散点图所分布直线y=b1+d(n_1)和数列{bn}的散点图所分布曲线qn_1仅有2个交点，当_1<q<0，此时数列{bn}为摆动数列，由一次函数和指数型函数的位置关系可知，在n>9时，两者至多有一个交点，从而可知Q至多有3个元素，故选项D正确．综上所述，应选ABD．三、填空题：214.已知甲、乙两位同学均从9种课外读物中随机选读3种，且甲、乙的选择相互独立，记其中被甲或乙选中的课外读物的种数为随机变量X，则X的数学期望为．解析：方法一：记甲、乙选读的课外读物中相同的有Y种，则X=6_Y，将甲选读的课外读物记为a1,a2,a3，则Y可视为乙从a1,a2,a3中选中的个数，∴E(X)=E(6_Y)=6_E(Y)=5.方法二：不妨将9种课外读物编号为1,2,3,,9，则X=X1+X2+X3++X9，则E=E+E++E三、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosAasinC（1）求c；（2）若△ABC的面积为6·3，求边BC上的高．解：∵cosAA∈(0,π)，……………………2分由正弦定理，则csinA=asinC=43，…………………4分解得c……………………6分（2）△ABC的面积为SbcsinA，……………………7分代入得，解得b=3．…………………8分由余弦定理得，a2=b2+c2_2bccosA，…………………9分代入得，a=8．……………11分设BC边上的高为h，∴h…………………13分如图，三棱锥P_ABC中，PA=PC，E是AC的中点，平面PAC丄平面ABC，（1）证明：平面PBC丄平面PAC；（2）若BC=EC=PE=2，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．解1）∵PA=PC，E是AC的中点，∴PE丄AC，……………1分∵平面PAC丄平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，PEC平面PAC，∴PE丄平面ABC，……………3分∵BCC平面ABC，∴PE丄BC，……………4分∵PA丄BC，PAC平面PAC，PEC平面PAC，PAPE=P，∴BC丄平面PAC．……………5分∵BCC平面PBC，∴平面PBC丄平面PAC.……………6分∵ACC平面PAC，∴BC丄AC，……………7分过点E作Ex//BC，∴Ex丄AC，Ex丄PE，……………8分∴以E为原点，以Ex，EC，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，……………9分∴A(0,_2,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，…………10分设n=(x,y,z)是平面PAB的法向量，则设直线PC与平面PAB所成角为θ,则sinθ=|cos……………14分∴直线PC与平面PAB所成角的正弦值为．……………15分已知有三个红球和足够多的白球，它们除了颜色之外其余完全相同，现将这三个红球和其中的一个白球放入一个不透明的盒子里，并设置取球游戏的规则如下：每次从盒子里取一个球，若取到红球，则该红球不放回盒子里，但将盒子外的一个白球放入盒子里；若取到白球，则该白球不放回盒子里，且不放入盒子外的任何球.如此重复取球，直到盒子里仅有一种颜色的球时，游戏结束．（1）求恰好经过三次取球后，游戏结束的概率；（2）当游戏结束时，记盒子里的红球个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.解:（1）设事件“恰好经过三次取球后，游戏结束”为A，则有下列两种情形：①三次均取到红球，即三个红球均被替换为白球，其概率为分②第一次取到红球（将红球替换为白球且第二次，第三次均取到白球，其概率为……………3分∴P………………………4分（2）根据题意，X可取3,2,1,0，…………5分当X=3时，即游戏结束时盒子里仅有三个红球，则需第一次取到白球，∴P……………6分当X=2时，即游戏结束时盒子里仅有两个红球，则取球只能依次为红→白→白，∴P…………………8分当X=1时，即游戏结束时盒子里仅有一个红球，则取球依次为①红-红-白-白-白，其概率为……………9分或②红-白-红-白-白，其概率为…………………10分∴P………………11分当X=0时，即游戏结束时盒子里仅有白球，∴X的分布列为X0123P43969618 14∴E…………………15分1817分）记椭圆C的左顶点和左焦点分别为A，F，直线l:y=m(m≠0)与C交于P，Q两点，O为坐标原点．（1）若存在l，使四边形FOPQ是边长为2的菱形，求b2；（2）记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，C的离心率为e.（i）若e且k2_k证明：LPAQ=45O；（ii）若直线OP的斜率k∈(3,+∞)，且|FP|，|AP|，|FQ|成等差数列，求e的取值范围．解1）由题意，|OF|=2，∴a2=b2∴|OR|=3，P(1,3)，代入C得②,2=23．…………………4分（2i）不妨设P(x0,y0)，Q(_x0,y0)，则x0≠±a）…5分化简得y………………7分∵k2_k且易知LPAQ为锐角，∴tanLPAQ∴LPAQ=45O．……………………9分（ii）易知直线OP:y=kx，则P(x0,kx0)，由可知yk2x整理得x③,……10分记C的右焦点为F,，由对称性得|FQ|=|F,P|，由题意，|APa，………………12分∵A(_a,0)，∴(x0+a2+kx0)2=a，≠0，∴x④,…………14分4k∴e即e．………17分1917分）已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=alnx(a∈R)．（1）当x∈(0,+∞)时，不等式f(x)≤x恒成立，求a的取值范围；（2）已知关于x的方程f=b在区间[,e]存在实数解．（i）若a=1，求b的取值范围；（ii）求a2+4b2的最小值．解1）易知若a=0，当x∈(0,+∞)时，显然有不等式f(x)≤x恒成立，……………1分若a≠0，令g(x)=f(x)_x，x∈(0,+∞)，则g,，①若a>0，当x∈(0,a)时，g,(x)>0，g(x)单调递增，∴当x=a时，g(x)取得极大值，也是最大值， 2分 3分②若a<0，则g(ea)=alnea_ea 4分0_=b(1_x0)，…………………5分显然x0令h,x(1,e]，则h,………………6分令u=lnx则u,∴u(x)单调递增，∴h,(x)<0，∴h(x)在区间和(1,e)单调递减，……8分∴b的取值范围为[0,+∞).………………10分=0上的动点(a,2b)间的距离，………………………12分lnx0ln∴存在x(1,e]，使a2+4b…………14分令vln2x(1,