微分方程建模举例-竞赛题-捕鱼问题

最优打鱼策略（1996年全国大学生数学建模竞赛A题）为了保护人类赖以生存自然环境，可再生资源（如渔业、林业）开发必须适度。一个合理、简化策略是，在实现可连续收获前提下，追求最大产量或最正确效益。考虑对某种鱼（鳀鱼）最有捕捞策略：鳀鱼：体长三寸到四寸，侧扁，腹部呈圆柱形，眼、口大，无侧线，生活在海中。第1页假设这种鱼分4个年纪组，称1龄鱼，…，4龄鱼。各年纪组每条鱼平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克），各年纪组鱼自然死亡率均为0.8（1/年），这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼产卵量为1.109×105(个)，3龄鱼产卵量为这个数二分之一，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年最终4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n之比）为1.22×1011/(1.22×1011+n）。第2页渔业管理部门要求，每年只允许在产卵孵化期前8个月内进行捕捞作业。假如每年投入捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年纪组鱼群条数成正比，百分比系数不妨称为捕捞强度系数。通常使用13mm网眼拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。第3页1）建立数学模型分析怎样实现可连续捕捉（即每年开始捕捞时渔场中各年纪组鱼群条数不变），而且在以前提下得到最高年收获量（捕捞总量）。2）某渔业企业承包这种鱼捕捞业务5年，协议要求5年后鱼群生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年纪组鱼群数量分别为122，29.7，10.1，3.29（×109条），假如仍用固定努力量捕捞方式，该企业应采取怎样策略才能使总收获量最高。第4页一问题分析1、给出了各年纪组鱼群转化规律；2、给出了它们相对自然死亡率；1龄鱼2龄鱼3龄鱼4龄鱼收获1，2，3季度捕捉产卵第4季度自然死亡第5页每条3龄鱼产卵量为(个)3、给出了鱼产卵时间分布；只有3、4龄鱼在每年9、10、11、12月份集中产卵。并给出3、4龄鱼产卵数量关系：在一个季节里，每条4龄鱼产卵量为(个)成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）第6页4、并固定每年投入捕捞能力（如渔船数，下网次数）及3、4龄鱼捕捞强度系数比值。捕捞强度系数k：单位时间捕捞量与各年纪组鱼群条数成正比。目标：要求选择一定捕捞强度系数，使得各年纪组鱼量在各年开始捕捞前条数不变（确保可连续捕捉要求），并在此条件下，得到以重量计最大捕捉量。第7页二主要变量说明：表示（t+1）年i龄鱼数量，：表示4龄鱼捕捞强度系数，则3龄鱼捕捞强度系数为：3,4龄鱼产卵总数i=1,2,3,4;t=0,1,2,3,4;：表示所捕捞鱼重量主要变量：各龄鱼数量。第8页三模型建立建模关键：建立各相关量与捕捞强度系数k关系，控制k到最正确数值，在满足可连续捕捉条件下到达最大收获量。第9页1鱼数量改变普通模型（1）各龄鱼数量须经一段时间，才能到达稳定状态，即到平衡年时，年末和年初各龄鱼数量基本保持不变。自然死亡情况下第10页（2）有捕捞情况下2各龄鱼数量改变详细模型设年初各龄鱼数量分别为8月末，经捕捞及自然死亡后各龄鱼群数量为12月末，各龄鱼群数量为卵总数量为n，t按年算，则第11页1~8月份，捕捞季节。经捕捞及自然死亡，8月末9~12月份，产卵季节。期间无捕捞，则12月末第12页第13页再设分别为3、4龄鱼在产卵期平均数量，n为3、4龄鱼产卵数量之和，t按月计第14页产卵期产卵总量为a为平均每条4龄鱼产卵个数，个。设为第2年各龄鱼初值数量，则有1）1龄鱼由卵孵化并成活下来那部分卵子转化而成，即第15页第16页4）4龄鱼即上一年末3龄鱼2）2龄鱼由上一年1龄鱼转化而成，即3）3龄鱼即上一年末2龄鱼第17页3鱼群连续改变递推关系第18页4捕捉量数学模型对于一个可捕捉鱼而言，设一年内捕捉量为P，初值为s(0)，则P可表示为1~8月份，捕捞3龄鱼和4龄鱼数量分别为第19页又设每条3龄鱼和4龄鱼数量分别为m3,和m4克则每年捕捉鳀鱼总重量克优化模型第20页四模型求解优化模型取一个k值，就可得到一个G，现须选取恰当k值，使年收获量G最大。详细算法以下：[1]选定k值；[2]依据递推关系分别算出第21页[3]再把作为第2年捕捉前初值重复[2]，依据递推关系算出下一年[4]再重复[2]、[3]当计算到年初与年末各龄鱼数量一致时，即鱼群稳定为止，依据算出年捕捉量；[5]另定k值，重复[1]~[4]；[6]依据年捕捉量最大标准，最终确定最正确k值。第22页四计算结果与分析k总捕捉量G(×1012g)k总捕捉量G(×1012g)0.10.021650.50.090762.00.23745.00.324810.00.367412.20.3761140.379514.950.3844615.500.3849615.60.3850215.70.3850715.80.3851215.90.3851516.00.3851816.10.3851916.20.3852016.30.3851916.40.38517170.3848180.3833第23页由计算结果表，可知，当