福建泉州第一中学、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中四校联盟2025-2026学年高一下学期期中考试 数学 版含解析

福建泉州市泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中四校联盟2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．复数（是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是（

）A．3 B． C．6 D．43．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（

）A．若，，，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则4．在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．在△ABC中，已知，，，则角C为（

）A．45° B．105° C．45°或135° D．15°或105°6．如图，在中，，，且与交于点，设，则（

）A．-1 B． C． D．7．如图，四边形是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则截面四边形的周长的最小值为（

）A． B．5 C． D．108．在中，，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．设为复数，则下列结论中正确的是（

）A．B．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为C．若为虚数，则也为虚数D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为10．下列关于向量的命题正确的是（

）A．在中，为边上一点，且，则B．对任意向量，，恒成立C．非零向量，，，满足，，则D．向量，共线的充要条件是存在实数，使得成立11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（

）A．若是线段的中点，则四面体的体积为B．若，则点的轨迹长度是C．若存在点，使平面，则长度的最小值是D．若为棱的中点，三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为三、填空题12．若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________.13．如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米．14．已知三边的垂直平分线交于点，且，则的取值范围是________.四、解答题15．已知为虚数单位，复数．(1)当实数取何值时，是纯虚数；(2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值．16．已知平面向量．(1)若，且，求的坐标；(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点.(1)求证：点，，，四点共面(2)求证：平面平面.(3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18．已知中，角所对的边分别为，满足．(1)求角的大小；(2)若，求周长的最大值；(3)若，为线段上一点，满足，求的面积．19．设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：.(1)已知向量，求；(2)设向量，且，证明：；(3)已知向量，若，求的值.参考答案1．A【详解】，在第一象限故选：A2．A【详解】根据斜二测画法得出，，，将直观图还原，如下图.四边形是直角梯形，上、下底分别为，，高，所以四边形的面积.故选：A.3．C【详解】A：由，可知、可能平行或相交，A错误；B：由，，可知、可能平行或异面，B错误；C：由，，，可知，C正确；D：由，，，可知、可能平行或异面，D错误.故选：C4．B【详解】由平面直角坐标系中，，，可得，则，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B.5．D【详解】由正弦定理得，即，所以，故或，当时，，当时，.故选：D6．B【详解】因为，，三点共线，且，所以又因为，，三点共线，且，所以，可得，解得，，所以.7．D【详解】由题意，平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四边形为平行四边形，则周长，沿将相邻两四边形展开，当，，三点共线时，最小，最小值为5，所以周长的最小值为10.8．B【详解】在中，设，，.根据正弦定理，为三角形外接圆半径.将条件转化为边的关系：左边:，右边：，等式两边相等得：，化简得.结合余弦定理，代入上式得:整理得.三角形面积.由，得，代入面积公式：，由基本不等式，得，即(当且仅当时取等号)，此时取得最大值，故.9．BCD【详解】对于A，设，则，又，故，故A错误；对于选项B，由题意可知，，所以，所以表示向量的复数为，故B正确；对于C，因为为虚数，为实数，所以为虚数，即也为虚数，故C正确；对于选项D，设复数，若复数满足，即，则复数对应的点在以原点为圆心半径分别为1和的同心圆形成的圆环内，所以复数对应的点所构成的图形面积为，故D正确；10．AC【详解】对于A，，，，故A正确.对于B，若，不共线，则，，可构成三角形，则，故B错误；对于C，为非零向量，当时，；当时，，，则，故C正确；对于D，若，，则，共线，但不存在实数，使得，故D错误．11．ABD【分析】对于A，当是线段的中点，此时点到平面的距离为2，所以，A正确.对于B，若，又，且平面，则，点的轨迹是正方形内以点为圆心，1为半径的四分之一圆弧，的轨迹长度为，B选项正确；对于C，取线段的中点，线段的中点，当点位于线段上时，，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，，，平面，所以平面平面，平面，平面，此时有，，，，所以为直角三角形，当位于点时，长度的最小值是，C错误.对于D，因为平面，把三棱锥补成长方体，则直径长为，则球的表面积为，D正确.12．【详解】设圆台母线长为，则，所以，所以圆台的高为，所以圆台的体积为.13．【详解】由题设，由正弦定理知，即，所以米．故答案为：．14．【详解】如图所示，由题知是的外心，取中点，连接，可得，故.因为，所以，由是的中线，可得，且，故.已知，可得：，由，，可得，将代入目标式：，设，则，为开口向上的二次函数，对称轴为，，当时，取最小值（此时，三角形存在，最小值可取）；当时，，但，故.因此的取值范围是.15．(1)(2)【详解】（1）若复数z是纯虚数，则，解得，所以得.（2）当时，，把代入方程，得，整理得，，所以，解得.16．(1)或；(2).【详解】（1）由，得，由，设，由，得，解得，所以的坐标是或.（2）依题意，，由与的夹角为锐角，得，且与不共线，因此，解得且，所以实数的取值范围是.17．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在，.【详解】（1）证明：，分别为，的中点，，底面是平行四边形，.，所以点，，，四点共面.（2）由（1）知，因为平面，平面，平面.，分别为，的中点，，因为平面，平面，平面.又，，平面，所以平面平面.（3）线段上存在一点，使得平面，且.证明如下：取的中点，连接，，，因为，，分别是，，的中点，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，此时．18．(1)(2)(3)【详解】（1）因为，所以．整理得：，即，，而,故，又因为，所以；（2），，由余弦定理可得：，即，又因为，当且仅当时，等号成立；所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以周长，当且仅当时，等号成立，所以周长的最大值为；（3）如图所示